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Funções de mais de uma variável Derivadas Parciais Everton Lopes.

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1 Funções de mais de uma variável Derivadas Parciais Everton Lopes

2 Derivadas Parciais Dada uma função de duas variáveis z = f(x,y), podemos, a partir de f, formar duas funções de uma só variável, bastando para isto considerarmos a outra variável constante. g 1 (x) = f(x,y o ) g 2 (y) = f(x o,y) Quando isto acontece, dizemos que temos as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente.

3 Derivadas Parciais Seja z = f(x,y). A derivada parcial de f em relação à variável x é uma função denotada por, tal que, seu valor num ponto (x,y) do domínio de f é dado por, se esse limite existir Analogamente, a derivada parcial de f em relação à variável y é definida como

4 Derivadas Parciais Observemos que, no primeiro caso, para, demos um acréscimo à variável x, mantendo y constante e no segundo caso, para, demos um acréscimo à variável y, mantendo x constante. Também são usadas as seguintes notações:

5 Derivadas Parciais Podemos usar também as seguintes expressões para as derivadas parciais num ponto (x o,y o ): Exemplo 1: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 3x + 2y Exemplo 2: Usando a definição calcule as derivadas parciais da função f(x, y) = 4x 2 + 5xy

6 Derivadas Parciais  Observemos que teríamos o mesmo resultado se tivéssemos derivado f, supondo y constante para e derivado f supondo x constante para. Todas as regras para funções de uma variável se aplicam nesse caso. De maneira análoga, define-se e calcula-se as derivadas parciais para funções de mais de duas variáveis Exercícios no quadro

7 Derivadas Parciais Interpretação Geométrica: Seja z = f(x,y). O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Consideremos a curva C 1 obtida quando interceptamos o plano y = y o com a superfície z = f(x,y). A equação de C 1 é dada por : yoyo xoxo zozo C111C111 t1t1

8 Derivadas Parciais Tomando y = y o temos que z = f(x, y o ) = g(x) e é o coeficiente angular de t 1, reta tangente a C 1 no ponto P o (x o, y o, f(x o,y o )) = P o (x o, y o, z o ). Assim, t 1 tem as seguintes equações

9 Derivadas Parciais Consideremos agora a curva que é o traço da superfície z = f(x,y) sobre o plano x = x o Tomando x = x o temos que z = f(x o, y) = g(y) e é o coeficiente angular de t 2, reta tangente a C 2 no ponto P o (x o, y o, f(x o,y o )) = P o (x o, y o, z o ) Assim, t 2 tem as seguintes equações

10 Derivadas Parciais Exemplos: 1)Encontre as equações da reta tangente à curva de intersecção da superfície z = x 2 + y 2 com o plano y = 1 no ponto ( 2, 1, 5 ). 2) Determine as equações da reta tangente à curva que é intersecção da superfície com o plano x = 2 no ponto em que y = 1.

11 Derivadas Parciais Interpretação Física Uma derivada parcial também pode ser interpretada como uma taxa de variação. Se z = f(x,y), temos que a taxa média de variação de f em relação à variável x, mantendo-se y constante, é dada por x x+  x y

12 Derivadas Parciais Assim, no ponto P o (x o,y o ), por unidade de variação de x, para y constante, isto é, y = y o. Interpretação análoga é dada para dá a taxa instantânea de variação de z = f(x,y) Exercícios no quadro

13 Derivadas Parciais de ordem superior Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis definida em D  R 2, tal que e e As derivadas parciais são funções de x e y. Logo, é natural se pensar nas derivadas parciais dessas funções. Estas derivadas são chamadas de derivadas parciais de 2 a ordem e são em número de 4 existam em D. ( Deriva-se duas vezes em relação a x )

14 Derivadas Parciais de ordem superior ( Deriva-se duas vezes em relação a y ) ( Deriva-se em relação a x e depois em relação a y ) ( Deriva-se em relação a y e depois em relação a x ) Os dois últimos casos são chamados de derivadas parciais de 2a ordem mistas.

15 Derivadas Parciais de ordem superior Observações: Analogamente, define-se as derivadas parciais de 2 a ordem para funções de mais de duas variáveis Analogamente define-se derivadas parciais de 2 a,3 a, n-ésima ordem. Exemplo: Encontre as derivadas parciais indicadas 1)f(x,y) = x 2 + y 3 ; f xx ; f yy ; f xy ; f yx 2) f(x,y) = e x seny + lnx + lny f xx ; f yy ; f xy ; f yx 3) f(x,y) = ln( cos(x 2 – y )) f xx ; f yy ; f xy ; f yx

16 Derivadas Parciais de ordem superior Observação: Vimos nos três exemplos anteriores que as derivadas f xy e f yx são iguais. Isto nem sempre ocorre mas, para a maioria das funções com as quais iremos trabalhar as derivadas mistas são iguais, ou seja, não importa a ordem de derivação f xy = f yx. Este fato está expresso num teorema chamado de Teorema de Schwartz que nos diz que se f for uma função contínua em determinada região do plano com derivadas parciais contínuas, então f xy = f yx.

17 Derivadas Parciais de ordem superior As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial é chamada de equação de Laplace em homenagem ao matemático Pierre Laplace ( 1749 –1827 ). As soluções dessa equação são chamadas de funções harmônicas e são importantes no estudo da condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. No exemplo anterior temos uma função harmônica u(x,y) =

18 Derivadas Parciais de ordem superior A equação da onda, sendo a uma constante, descreve o movimento de uma onda ( onda do mar, onda de som, onda luminosa, onda de uma corda vibrante, etc ). Uma solução para a equação da onda é uma função u(x,t). Por exemplo, se u(x,t) representa o deslocamento da corda de um violino, no instante t e x a distância a uma extremidade da corda, então u(x,t) satisfaz a equação da onda. Neste caso, a constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada. A equação da onda u(x,t) x


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