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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período Professor:

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

2 Tema de aula 1: Tensão SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS: 1.1 Introdução 1.2 Equilíbrio 1.3 Tensão 1.4 Tensão Normal Média em uma Barra com Carga Axial 1.5 Tensão de Cisalhamento Média 1.6 Tensão Admissível OBJETIVOS: Revisar alguns princípios importantes da estática e usar para determinar os esforços internos resultantes em um corpo. Introduzir os conceitos de tensão normal e tensão de cisalhamento e discutir aplicações específicas da análise e do projeto de elementos submetidos a carga axial ou cisalhamento. “Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.” THOMAS FULLER, M.D.

3 1.1-Introdução. A resistência dos materiais: estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e forças internas que atuam dentro do corpo. Abrange o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando submetido a forças externas. É necessário primeiro usar estática para determina as forças que atuam tanto sobre como no interior de seus vários membros. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das cargas como também do tipo de material. Assim, a determinação precisa e a compreensão do comportamento do material são de vital importância para o desenvolvimento das equações usadas na resistência dos materiais.

4 1.2 - Equilíbrio. Forças Externas: Classificadas como força de superfície ou de corpo; Forças de Superfície são causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície e distribuídas pela área de contato entre os corpos. Se área for pequena é força concentrada em um ponto do corpo. Se aplicada ao longo de uma área estreita é carga linear distribuída, w(s) (N/m), representada por setas ao longo da reta s, A força resultante de w(s), FR, equivale à área sob a curva de distribuição da carga, e sua resultante atua no centróide C ou centro geométrico dessa área. Força de Corpo. Desenvolve-se sem contato físico direto entre eles. No caso da gravidade, essa força é chamada peso e atua no centro de gravidade desse corpo.

5 Reações do Apoio. São forças de superfície nos pontos de contato entre corpos submetidos a sistemas de forças coplanares. Determinar reação do apoio imaginando que se o apoio impede a translação em dada direção, então deve ser desenvolvida uma força naquela direção; se a rotação for impedida, deve ser aplicado um conjugado sobre o elemento.

6 Equações de Equilíbrio. O equilíbrio de forças, evita translação ou movimento acelerado. O equilíbrio de momentos, evita a rotação do corpo. Num sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto O as equações podem ser decompostos em componentes: A melhor maneira de considerar essas forças e conjugados para aplicar as equações é desenhar o diagrama de corpo livre.

7 Força interna resultante: Determina força resultante e o momento que atuam no interior do corpo, para manter o corpo unido quando submetido a cargas externas. O diagrama de corpo livre de uma das partes é desenhado. As forças internas representam os efeitos do material da parte superior atuando sobre a parte inferior. Exemplo; Consideremos o corpo mostrado mantido em equilíbrio por quatro forças externas. Para determinar as cargas internas; fazer uma seção ou 'corte' através da região em que as cargas internas devem ser determinadas (método das seções) Obter a força resultante F R e o momento resultante Mro no Centróide O da área e relacioná- las às forças externas.

8 As componentes de F R e Mro na direção normal ou perpendicular à área definem; Força Normal, N, perpendicular à área se as forças externas tendem a empurrar ou puxar as duas partes secionadas do corpo. Força de Cisalhamento, V, quando as cargas externas tendem a provocar o deslizamento das duas partes secionadas do corpo. Momento de Torção ou Torque, T, quando as cargas externas tendem a torcer uma parte do corpo secionado em relação à outra (regra da mão direita). Momento Fletor, M, quando as cargas externas tendem a fletir o corpo no plano da área secionada.

9 Exemplo 1:

10 Vamos treinar: 1-A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determinar a carga interna resultante nas seções transversais que passam pelos pontos D e E. Assumir que as reações nos apoios A e B sejam verticais.

11 Exemplo 2:

12 Vamos treinar: 2-A prensa manual de metal está submetida a uma força de 120 N na extremidade. Determine a intensidade da força de reação no pino A e no elo BC. Determinar também a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal que passa pelo ponto D do cabo.

13 1.3-Tensão. supondo que o material é contínuo, (sem vazios), e coeso, (bem unido e sem trincas), a força finita (ΔF), atuante sobre ΔA, tem três componentes; ΔFz, normal, ΔFx e ΔFy tangentes à área, que geram as seguintes tensões nesta área: Para estabelecer o conceito de tensão, considere que a seção da área seja subdividida em áreas pequenas ΔA; Tensão Normal, se ΔFz 'empurra' o elemento é denominada tensão de compressão, se 'puxa‘ é chamada tensão de tração. Tensão de Cisalhamento, que atuam tangentes à ΔA. Onde z indica a orientação da área, enquanto x e y referem-se às retas de direção das tensões de cisalhamento. Estado Geral da Tensão. Representado ao ‘cortar' um elemento cúbico do volume do material. Em cada face atuam as 3 componentes do estado geral da tensão. Unidades. No SI, (N/m2= pascal (Pa). No sistema norte- americano, (ou sistema Pés- Libras-Segundo) expressamos a tensão em libras por polegada quadrada (psi) ou quilolibra por polegada quadrada (ksi).

14 1.4-Tensão normal média em uma barra com carga axial. Caso todas as áreas da seção transversal da barra sejam iguais, a barra será denominada prismática. Desprezando o peso da barra, para o equilíbrio do segmento inferior, a resultante da força interna que atua na seção transversal deverá ser igual em intensidade, oposta em sentido à força na extremidade inferior. Supomos: 1-considerar tensão no interior da seção média da barra onde a deformação é uniforme (longe das forças externas das extremidades que causam distorções). 2- P aplicada ao longo do eixo centróide para uniformizar deformação. 3- material homogéneo e isotrópico. Tensão Normal Média. Com as considerações acima, cada área ΔA está sujeita a uma força ΔF = σ Δ A, e o somatório resulta na força interna resultante P no centróide da seção; Nota: P passar pelo centróide implica tensão uniforme e produzirá momentos nulos em torno de quaisquer eixos x e y que passem por esse ponto: Igualdades satisfeitas porque no centróide;

15 Tensão Normal Média Máxima. Ocasionalmente, a barra pode ser submetida a várias cargas externas ao longo de seu eixo, ou pode ocorrer uma mudança na área de sua seção transversal. Resultado: tensão normal no interior será diferente de uma seção para a outra. É importante determinar o local em que a relação P/A chega ao máximo, para tal, havendo mudança de área, mostrar por meio do gráfico da força normal P contra posição x ao longo da barra. EXEMPLO: A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determinar a tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado. Interpretação gráfica: P é equivalente ao volume sob o diagrama de tensão. A resultante passa pelo centróide do volume considerado. OBS: As hipóteses podem ser usadas para barras levemente cónicas. Por exemplo, em barra cónica de seção transversal retangular, com ângulo de 15° entre dois lados adjacentes, a tensão normal média calculada é 2,2% menor.

16 Como a área da seção transversal da barra é constante, a maior tensão normal média ocorre em BC; Sol: força axial interna na região AB: força axial interna na região BC: força axial interna na região CD: Diagrama: Graficamente, o volume (ou 'bloco') dessa distribuição de tensão equivale à carga de 30 kN; isto é, 30 k N = (87,5 MPa)(35 mm)(10 mm).

17 Fazer: O mancal de encosto está submetido às cargas mostradas. Determinar a tensão normal média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B,C e D. Fazer o desenho esquemático dos resultados para um elemento de volume infinitesimal localizado em cada seção.

18 Exemplo: O pedestal tem seção transversal triangular como mostrado. Supondo que esteja submetido a uma força de compressão de 500 lb, especificar as coordenadas de localização do ponto P (x, y), em que a carga deve ser aplicada na seção transversal, de modo que a tensão normal média seja uniforme. Calcular a tensão e desenhar sua distribuição atuando em uma seção transversal fora do ponto de aplicação da carga. Solução: Para obter as coordenadas e do centróide devemos nos lembrar que em triângulos ele se encontra à x= 1/3 da altura relativa a base, então podemos dividir em dois triângulos e obter as coordenadas x e y do centróide por somatórrio; Sendo a tensão média uniforme, podemos calcular por; A distribuição em uma seção qualquer será:

19 Fazer: O bloco pequeno tem espessura de 5 mm. Supondo que a distribuição de tensão desenvolvida pela carga no apoio varie como mostrado, determinar a força F aplicada ao bloco e a distância d até o ponto em que ela se aplica.

20 1.5-Tensão de cisalhamento média. Ao lado F=2v, logo a tensão de cisalhamento média sobre cada uma das duas seções será ; Ela é a uniforme em cada ponto da seção; Geralmente ocorrem dois tipos de cisalhamento: Cisalhamento simples: Cisalhamento duplo:

21 Para estar em equilíbrio de forças (em z e y), e momentos, um elemento removido da superfície onde atue a tensão de cisalhamento média; requer as quatro tensões de cisalhamento com intensidades iguais e sentido contrário nas bordas opostas. (propriedade complementar do cisalhamento) Exemplo: A embreagem de dentes é usada para transmitir um torque de 450 lb pés em uma única direção. Supondo que cada eixo tenha apenas dois dentes em torno da circunferência, como mostrado, determinar a tensão de cisalhamento média ao longo da raiz AB de cada dente. Sol: Façamos o DCL com os momentos e Forças na seção; Passando tudo para polegada (1ft=12in), o equilíbrio de momentos dará F: Como a área é 1/6 da área do anel; A tensão média de cisalhamento será

22 1.6-Tensão Admissível 1.7-Projeto de Acoplamentos Simples O fator de segurança (F.S.) é a relação entre a carga de ruptura Frup e a carga admissível Fadm. Se a carga aplicada ao elemento for relacionada linearmente à tensão, como σ= P/A e τ= V/A, então; O F.S. é maior que 1. Seja um elemento sujeito a uma força normal; a área requerida da seção será: Seja um elemento sujeito a uma força cortante; a área requerida da seção será: Vejamos 4 tipos comuns: Área da Seção Transversal de um Elemento de Tração Área da Seção Transversal de um Acoplamento Submetido a Cisalhamento. Área Requerida para Resistir ao Apoio Área Requerida para Resistir ao Cisalhamento Provocado por Carga Axial

23 Exemplo : A estrutura está submetida a uma carga de 1,5 kip. Determinar o diâmetro necessário dos pinos em A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material for 6 ksi. O pino A está submetido a cisalhamento duplo, enquanto o pino B está submetido a cisalhamento simples. Sol: Precisamos dos esforços em B e A; Usando DCL no braço DC: Façamos DCL da estrutura: Pelas Eq. Equil. obtemos os esforços em A e D: Vamos finalmente obter os diâmetros em A e B:

24 Fazer : O mancal de encosto consiste de um colar circular A preso ao eixo B. Determinar a força axial máxima P que pode ser aplicada ao eixo de modo que não provoque tensão de cisalhamento admissível de 170 MPa ao longo das superfícies cilíndricas a ou b.

25  MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO! – Bibliografia: – R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.


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