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Zeros de funções Prof. Rafael mesquita

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Apresentação em tema: "Zeros de funções Prof. Rafael mesquita"— Transcrição da apresentação:

1 Zeros de funções Prof. Rafael mesquita

2 Introdução

3 Introdução Podemos resolver f(x) = 0 por dois caminhos distintos Podemos resolver f(x) = 0 por dois caminhos distintos –Métodos diretos  Métodos analíticos  Numero finito de operações  Processos particulares –Cada tipo de função deve possuir seu próprio caminho para a solução –Métodos iterativos  Partem de uma aproximação inicial da solução  A cada iteração, uma nova aproximação é gerada –Até que uma solução satisfatória seja encontrada

4 Introdução Para algumas equações, como as polinômiais de grau 2 existem fórmulas diretas para se encontrar as raízes Para algumas equações, como as polinômiais de grau 2 existem fórmulas diretas para se encontrar as raízes –Métodos diretos! No entanto em polinômios de grau mais alto e no caso de funções mais complicadas essa tarefa não é trivial No entanto em polinômios de grau mais alto e no caso de funções mais complicadas essa tarefa não é trivial –Métodos iterativos! –Uso de aproximações –Precisão prefixada

5 Introdução Idéia central de métodos numéricos baseados em aproximações para encontrar zeros de funções: Idéia central de métodos numéricos baseados em aproximações para encontrar zeros de funções: 1. Localização ou isolamento das raízes Obtenção de um intervalo contendo a raízObtenção de um intervalo contendo a raíz 2. Refinamento Melhorar a aproximação inicial do intervalo até que seja obtida a precisão prefixadaMelhorar a aproximação inicial do intervalo até que seja obtida a precisão prefixada

6 Aproximação Inicial Graficamente, os zeros reais são representados pelas abcissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo x Graficamente, os zeros reais são representados pelas abcissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo x

7 Aproximação Inicial

8

9 Não significa que exista exatamente uma raíz !

10 Aproximação Inicial Graficamente Graficamente –Se f’(x) existir e preservar o sinal em (a,b), então esse intervalo contém um único zero de f(x)

11 Aproximação Inicial

12 Conclusão: Conclusão: –Uma forma de isolar as raízes de f(x) é tabelar f(x) para diversos valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal

13 Aproximação Inicial Exemplo 1 Exemplo 1

14 Aproximação Inicial Exemplo 1 Exemplo 1 Intervalos contém pelo menos um zero de f(x)

15 Aproximação Inicial Exemplo 1 Exemplo 1 Como o polinômio é de grau 3, sabemos que cada intervalo contem exatamente uma raíz! Intervalos contém pelo menos um zero de f(x)

16 Aproximação Inicial Exemplo 2 Exemplo 2 Intervalo contém pelo menos um zero de f(x)

17 Aproximação Inicial Para saber se existe um único zero no intervalo, analisamos o sinal de f’(x) Para saber se existe um único zero no intervalo, analisamos o sinal de f’(x) f(x) é continua dentro do intervalo [1;2] f(x) é continua dentro do intervalo [1;2] f’(x) não muda de sinal dentro do intervalo [1;2] f’(x) não muda de sinal dentro do intervalo [1;2] Como f(1).f(2)<0, concluímos que existe exatamente uma raíz no intervalo [1;2] Como f(1).f(2)<0, concluímos que existe exatamente uma raíz no intervalo [1;2]

18 Aproximação Inicial

19

20

21

22

23 g(x) < h(x)

24 Aproximação Inicial g(x) < h(x)

25 Aproximação Inicial g(x) < h(x)

26 Aproximação Inicial g(x) > h(x) Curvas se interceptam no intervalo [1,2] !

27 Métodos iterativos

28 Como definir uma aproximação suficientemente boa?

29

30 MÉTODO DA BISSEÇÃO

31 Método da bissecção

32

33

34 Exercícios

35 Precisão preestabelecida

36 MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO

37 Falsa posição

38 Idéia geométrica Idéia geométrica

39 Falsa posição

40

41 Exercícios


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