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©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 1/44Cálculo Numérico Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 15: Sistemas de Equações Lineares (3) Instituto Federal.

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1 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 15: Sistemas de Equações Lineares (3) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 1 0 Semestre de 2013

2 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n No escopo dos Métodos Diretos, destacam-se os Métodos de Eliminação, os quais evitam o cálculo direto da matriz inversa e não possuem problemas de tempo de execução como a Regra de Cramer. n Destaca-se o Método de Eliminação de Gauss, o qual consiste em transformar o sistema linear original num outro equivalente com a matriz dos coeficientes num formato de matriz triangular superior, o que facilita a sua resolução. H Lembrar que dois sistemas lineares são considerados equivalentes quando possuem a mesma solução. Método de Eliminação de Gauss (1)

3 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico Seja o sistema linear Ax = b, onde a matriz A, de tamanho n × n, é uma matriz triangular superior, com os elementos da sua diagonal diferentes de zero. n O sistema pode se descrito como a seguir, Método de Eliminação de Gauss (2)

4 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Com base na última equação do sistema, tem-se que Método de Eliminação de Gauss (2)

5 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico A incógnita x n-1 pode ser obtida da penúltima equação, como se segue, Método de Eliminação de Gauss (3)

6 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico E sucessivamente, a incógnita x 1 pode ser obtida da primeira equação, como se segue, Método de Eliminação de Gauss (4)

7 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico Dado um sistema linear triangular superior n × n com os elementos da matriz A não nulos, as variáveis x n, x n-1, x n-2,..., x 2, x 1 são obtidas da seguinte forma (Algoritmo 1): H 1º Passo: H 2º Passo: Método de Eliminação de Gauss (5)

8 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico Método de Eliminação de Gauss (6)

9 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Algumas observações:  Det( A ) ≠ 0. H Eliminação feita por colunas.  Etapa k ou iteração k ou k-ésima iteração ou k-ésima etapa é a fase em que se elimina a variável x k das equações k+1, k+2,..., n.  a ij (k) é o coeficiente da linha i e da coluna j no final da k-ésima etapa.  b i (k) é o i-ésimo elemento do vetor constante b no final da k-ésima iteração. Considerando que det( A )≠0, sempre é possível reescrever o sistema linear de modo que o elemento da posição a 11 seja diferente de zero, usando a operação elementar i ) (lembrar do Teorema 1 anterior). Método de Eliminação de Gauss (7)

10 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico Método de Eliminação de Gauss (8)

11 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Etapa 1:  A eliminação da variável x 1 das equações i = 2,3,...,n é realizada da seguinte forma a seguir,  Da equação i subtrai-se a 1ª equação multiplicada por m i1. Observar que para esta eliminação seja realizada, a única escolha possível para m i1 é, H Denomina-se de multiplicadores os elementos H Denomina-se de pivô Método de Eliminação de Gauss (9)

12 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico H Ao final dessa etapa (1ª iteração) tem-se, H Onde, Método de Eliminação de Gauss (10)

13 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Etapa 2:  É sempre possível reescrever a matriz A (1), sem alterar a posição da linha 1, de tal forma que o pivô a 22 (1) seja não nulo. H Multiplicadores desta etapa (iteração) são  A variável x 2 é eliminada das equações i = 3,...,n da seguinte forma,  Da equação i subtraí-se a segunda equação multiplicada por m i2. Método de Eliminação de Gauss (11)

14 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico H Ao final dessa etapa (2ª iteração) tem-se, H Onde, Método de Eliminação de Gauss (12)

15 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico  Procede-se até a etapa ( n-1 ) e ao final da iteração tem-se, H Onde, Método de Eliminação de Gauss (13)

16 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exemplo 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir, H 1ª Etapa  Seja L i a representação do vetor linha formado pela i-ésima linha da matriz A (k) |b (k), sendo a linha L 1 apresentada a seguir,  O objetivo é eliminar x 1 das equações 2 e 3. Método de Eliminação de Gauss (14)

17 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico 4 Seja a matriz ampliada do sistema linear a seguir, 4 Então Método de Eliminação de Gauss (15)

18 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico 4 Na iteração 1 tem-se como resultado final, H 2ª Etapa  Objetivo é eliminar x 2 da equação 3 Método de Eliminação de Gauss (16)

19 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico  Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver o sistema abaixo, 4 A solução do sistema acima é, Método de Eliminação de Gauss (17)

20 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de Gauss. H Hipóteses Método de Eliminação de Gauss (18)

21 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de Gauss. Método de Eliminação de Gauss (19)

22 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Número de Operações Primitivas do Algoritmo 2. H Fase de Eliminação H Fase de Resolução H Total de operações primitivas Método de Eliminação de Gauss (20)

23 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exercício 1: Resolver o sistema a seguir, Método de Eliminação de Gauss (21)

24 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exercício 1: Resolver o sistema a seguir, n Solução do Exercício 1: H x 1 = 1 H x 2 = 2 H x 3 = 3 Método de Eliminação de Gauss (22)

25 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exercício 2: Resolver o sistema a seguir, Método de Eliminação de Gauss (23)

26 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exercício 2: Resolver o sistema a seguir, n Solução do Exercício 2: H x 1 = -1,1918 H x 2 = 1,7121 H x 3 = -1,1918 Método de Eliminação de Gauss (24)

27 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Sabe-se que para executar o método de Eliminação de Gauss, requer-se o cálculo dos multiplicadores a seguir, em cada k-ésima etapa do algoritmo. n Problemas que podem ocorrer: H Pivô nulo 4 Impossível de se trabalhar. H Pivô próximo de zero 4 Pode conduzir a resultados totalmente imprecisos (erros de arredondamento). n Deve-se adotar Estratégias de Pivoteamento H Adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal. Estratégias de Pivoteamento

28 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Estratégia de Pivoteamento Parcial H No início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher para o pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes  Trocar as linhas k e i, se for necessário. Pivoteamento Parcial (1)

29 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico Exemplo 2: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a seguir, H Início da Etapa 2: 4 i) escolher o pivô mais adequado Pivoteamento Parcial (2)

30 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico 4 ii) trocar as linhas 2 e 3, e assim, 4 Os multiplicadores serão Pivoteamento Parcial (3)

31 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico 4 A escolha do maior elemento em módulo entre os candidatos a pivô faz com que os multipicadores, em módulo, se localizem entre 0 e 1, o que evita a ampliação de erros de arredondamento. Pivoteamento Parcial (4)

32 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando pivoteamento parcial, com 4 casas decimais. Pivoteamento Parcial (5)

33 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando pivoteamento parcial, com 4 casas decimais. n Solução do Exercício 3: H x 1 = -1,1919 H x 2 = 1,7121 H x 3 = 3,1252 Pivoteamento Parcial (6)

34 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Estratégia de Pivoteamento Completo H No início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher para o pivô o elemento de maior módulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação, ou seja, Pivoteamento Completo (1)

35 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico Exemplo 3: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a seguir, Pivoteamento Completo (2)

36 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico H Início da Etapa 2: 4 i) escolher o pivô mais adequado 4 Observa-se que o pivô dessa etapa é 4 O que acarreta a troca das colunas 2 e 4 e em seguida, das linhas 2 e 3. Pivoteamento Completo (3)

37 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico 4 Isso gera a matriz abaixo, 4 Essa estratégia envolve uma comparação extensa entre os elementos e troca linhas e colunas. 4 Esforço computacional maior que a estratégia anterior. Pivoteamento Completo (4)

38 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a estratégia de pivoteamento completo. Pivoteamento Completo (5)

39 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a estratégia de pivoteamento completo. n Solução do Exercício 4: H x 1 = H x 2 = H x 3 = Pivoteamento Completo (6)

40 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Exemplo 4: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir, H O referido sistema linear será resolvido de duas formas: 4 Sem pivoteamento parcial; e 4 Com pivoteamento parcial. Sem Pivoteamento Parcial (1)

41 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Sem pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos. n O sistema linear é, n Então tem-se, Sem Pivoteamento Parcial (2)

42 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Etapa 1: Sem Pivoteamento Parcial (3)

43 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Etapa 1: n Solução do sistema Sem Pivoteamento Parcial (4)

44 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Solução do sistema n Verifica-se que a solução acima não satisfaz a segunda equação, pois Sem Pivoteamento Parcial (5)

45 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Com pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos. n O sistema linear é, n Etapa 1: Com Pivoteamento Parcial (1)

46 ©Prof. Lineu MialaretAula /44Cálculo Numérico n Etapa 1: n Solução do sistema Com Pivoteamento Parcial (2)


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