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Campus de Caraguatatuba Aula 15: Sistemas de Equações Lineares (3)

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1 Campus de Caraguatatuba Aula 15: Sistemas de Equações Lineares (3)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 15: Sistemas de Equações Lineares (3)

2 Método de Eliminação de Gauss (1)
No escopo dos Métodos Diretos, destacam-se os Métodos de Eliminação, os quais evitam o cálculo direto da matriz inversa e não possuem problemas de tempo de execução como a Regra de Cramer. Destaca-se o Método de Eliminação de Gauss, o qual consiste em transformar o sistema linear original num outro equivalente com a matriz dos coeficientes num formato de matriz triangular superior, o que facilita a sua resolução. Lembrar que dois sistemas lineares são considerados equivalentes quando possuem a mesma solução.

3 Método de Eliminação de Gauss (2)
Seja o sistema linear Ax = b, onde a matriz A, de tamanho n×n, é uma matriz triangular superior, com os elementos da sua diagonal diferentes de zero. O sistema pode se descrito como a seguir,

4 Método de Eliminação de Gauss (2)
Com base na última equação do sistema, tem-se que

5 Método de Eliminação de Gauss (3)
A incógnita xn-1 pode ser obtida da penúltima equação, como se segue,

6 Método de Eliminação de Gauss (4)
E sucessivamente, a incógnita x1 pode ser obtida da primeira equação, como se segue,

7 Método de Eliminação de Gauss (5)
Dado um sistema linear triangular superior n×n com os elementos da matriz A não nulos, as variáveis xn,xn-1, xn-2,...,x2,x1 são obtidas da seguinte forma (Algoritmo 1): 1º Passo: 2º Passo:

8 Método de Eliminação de Gauss (6)

9 Método de Eliminação de Gauss (7)
Algumas observações: Det(A) ≠ 0. Eliminação feita por colunas. Etapa k ou iteração k ou k-ésima iteração ou k-ésima etapa é a fase em que se elimina a variável xk das equações k+1, k+2, ..., n. aij(k) é o coeficiente da linha i e da coluna j no final da k-ésima etapa. bi(k) é o i-ésimo elemento do vetor constante b no final da k-ésima iteração. Considerando que det(A)≠0, sempre é possível reescrever o sistema linear de modo que o elemento da posição a11 seja diferente de zero, usando a operação elementar i) (lembrar do Teorema 1 anterior).

10 Método de Eliminação de Gauss (8)

11 Método de Eliminação de Gauss (9)
Etapa 1: A eliminação da variável x1 das equações i = 2,3,...,n é realizada da seguinte forma a seguir, Da equação i subtrai-se a 1ª equação multiplicada por mi1. Observar que para esta eliminação seja realizada, a única escolha possível para mi1 é, Denomina-se de multiplicadores os elementos Denomina-se de pivô

12 Método de Eliminação de Gauss (10)
Ao final dessa etapa (1ª iteração) tem-se, Onde,

13 Método de Eliminação de Gauss (11)
Etapa 2: É sempre possível reescrever a matriz A(1), sem alterar a posição da linha 1, de tal forma que o pivô a22(1) seja não nulo. Multiplicadores desta etapa (iteração) são A variável x2 é eliminada das equações i = 3,...,n da seguinte forma, Da equação i subtraí-se a segunda equação multiplicada por mi2.

14 Método de Eliminação de Gauss (12)
Ao final dessa etapa (2ª iteração) tem-se, Onde,

15 Método de Eliminação de Gauss (13)
Procede-se até a etapa (n-1) e ao final da iteração tem-se, Onde,

16 Método de Eliminação de Gauss (14)
Exemplo 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir, 1ª Etapa Seja Li a representação do vetor linha formado pela i-ésima linha da matriz A(k)|b(k), sendo a linha L1 apresentada a seguir, O objetivo é eliminar x1 das equações 2 e 3.

17 Método de Eliminação de Gauss (15)
Seja a matriz ampliada do sistema linear a seguir, Então

18 Método de Eliminação de Gauss (16)
Na iteração 1 tem-se como resultado final, 2ª Etapa Objetivo é eliminar x2 da equação 3

19 Método de Eliminação de Gauss (17)
Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver o sistema abaixo, A solução do sistema acima é,

20 Método de Eliminação de Gauss (18)
Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de Gauss. Hipóteses

21 Método de Eliminação de Gauss (19)
Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de Gauss.

22 Método de Eliminação de Gauss (20)
Número de Operações Primitivas do Algoritmo 2. Fase de Eliminação Fase de Resolução Total de operações primitivas

23 Método de Eliminação de Gauss (21)
Exercício 1: Resolver o sistema a seguir,

24 Método de Eliminação de Gauss (22)
Exercício 1: Resolver o sistema a seguir, Solução do Exercício 1: x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3

25 Método de Eliminação de Gauss (23)
Exercício 2: Resolver o sistema a seguir,

26 Método de Eliminação de Gauss (24)
Exercício 2: Resolver o sistema a seguir, Solução do Exercício 2: x1 = -1,1918 x2 = 1,7121 x3 = -1,1918

27 Estratégias de Pivoteamento
Sabe-se que para executar o método de Eliminação de Gauss, requer-se o cálculo dos multiplicadores a seguir, em cada k-ésima etapa do algoritmo. Problemas que podem ocorrer: Pivô nulo Impossível de se trabalhar. Pivô próximo de zero Pode conduzir a resultados totalmente imprecisos (erros de arredondamento). Deve-se adotar Estratégias de Pivoteamento Adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.

28 Pivoteamento Parcial (1)
Estratégia de Pivoteamento Parcial No início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher para o pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes Trocar as linhas k e i, se for necessário.

29 Pivoteamento Parcial (2)
Exemplo 2: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a seguir, Início da Etapa 2: i) escolher o pivô mais adequado

30 Pivoteamento Parcial (3)
ii) trocar as linhas 2 e 3, e assim, Os multiplicadores serão

31 Pivoteamento Parcial (4)
A escolha do maior elemento em módulo entre os candidatos a pivô faz com que os multipicadores, em módulo, se localizem entre 0 e 1, o que evita a ampliação de erros de arredondamento.

32 Pivoteamento Parcial (5)
Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando pivoteamento parcial, com 4 casas decimais.

33 Pivoteamento Parcial (6)
Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando pivoteamento parcial, com 4 casas decimais. Solução do Exercício 3: x1 = -1,1919 x2 = 1,7121 x3 = 3,1252

34 Pivoteamento Completo (1)
Estratégia de Pivoteamento Completo No início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher para o pivô o elemento de maior módulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação, ou seja,

35 Pivoteamento Completo (2)
Exemplo 3: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a seguir,

36 Pivoteamento Completo (3)
Início da Etapa 2: i) escolher o pivô mais adequado Observa-se que o pivô dessa etapa é O que acarreta a troca das colunas 2 e 4 e em seguida, das linhas 2 e 3.

37 Pivoteamento Completo (4)
Isso gera a matriz abaixo, Essa estratégia envolve uma comparação extensa entre os elementos e troca linhas e colunas. Esforço computacional maior que a estratégia anterior.

38 Pivoteamento Completo (5)
Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a estratégia de pivoteamento completo.

39 Pivoteamento Completo (6)
Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a estratégia de pivoteamento completo. Solução do Exercício 4: x1 = x2 = x3 =

40 Sem Pivoteamento Parcial (1)
Exemplo 4: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir, O referido sistema linear será resolvido de duas formas: Sem pivoteamento parcial; e Com pivoteamento parcial.

41 Sem Pivoteamento Parcial (2)
Sem pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos. O sistema linear é, Então tem-se,

42 Sem Pivoteamento Parcial (3)
Etapa 1:

43 Sem Pivoteamento Parcial (4)
Etapa 1: Solução do sistema

44 Sem Pivoteamento Parcial (5)
Solução do sistema Verifica-se que a solução acima não satisfaz a segunda equação, pois

45 Com Pivoteamento Parcial (1)
Com pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos. O sistema linear é, Etapa 1:

46 Com Pivoteamento Parcial (2)
Etapa 1: Solução do sistema


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