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Prof. Leandro Taddeo – Transformações Geométricas – Sistemas de Coordenadas Aula 3.

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1 Prof. Leandro Taddeo – Transformações Geométricas – Sistemas de Coordenadas Aula 3

2  Transformações geométricas são operações que podem ser utilizadas visando a alteração de algumas características como posição, orientação, forma ou tamanho do objeto a ser desenhado  Ex: dado um ponto no plano podemos mudar sua posição através de transformações geométricas Introdução 2 Transformações Geométricas T 10 unidades

3  Todas as transformações geométricas podem ser representadas na forma de equações  Problema: manipulações de objetos gráficos normalmente envolvem muitas operações de aritmética simples  Solução: matrizes são mais fáceis de usar e entender do que as equações algébricas  Padrão de coordenadas:  Pontos no plano (x,y)  Matrizes 2x2  Pontos no espaço tridimensional (x,y,z)  Matrizes 3x3  Matriz de transformação: várias transformações combinadas Matrizes 3 Transformações Geométricas

4  Dado um sistema de coordenadas, pode-se definir elementos neste sistema através de suas coordenadas  Caso o sistema seja 2D Pontos são definidos por 2 coordenadas  Define-se um ponto pela sua distância em relação ao centro dos eixos (2,1)  2 unidades distante de x=0  1 unidade distante de y=0 Representações 4 Transformações Geométricas x y (2,1) 1 2

5  Convencionalmente, representa-se um ponto na forma de um vetor linha ou vetor coluna  Também corresponde à forma mais simples de representação de uma matriz (linha ou coluna) Representações 5 Transformações Geométricas x y A (2,1) 1 2 Vetor linhaVetor coluna

6  O par pode servir para representar tanto o ponto quanto o vetor em si Representações 6 Transformações Geométricas x y A (2,1) 1 2 Vetor linhaVetor coluna

7  Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores: 1. Soma e subtração de vetores t = v + ut = v + (- u) Operações 7 Transformações Geométricas x y v u t=v+u x y v -u t=v+(-u)

8  Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores: 1. Soma e subtração de vetores t = v + u Operações 8 Transformações Geométricas Seja u=[1,3] e v=[2,1], o vetor resultante t=v+u será igual a: t=[1+2,3+1] =[3,4] Seja u=[1,3] e v=[2,1], o vetor resultante t=v+u será igual a: t=[1+2,3+1] =[3,4] x y v u t=v+u Obs: os vetores precisam ter as mesmas dimensões

9  Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores: 2. Multiplicação de um vetor por um escalar (constante) u = 2v Operações 9 Transformações Geométricas x y v u=2v v Seja v=[2,1], o vetor resultante u=2v será igual a: u=[2*2,2*1] =[4,2] Seja v=[2,1], o vetor resultante u=2v será igual a: u=[2*2,2*1] =[4,2]

10  Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores: 3. Soma de um ponto com um vetor Q = P+v Operações 10 Transformações Geométricas x y v P Q Seja P=[2,3] e v=[2,-1], o ponto resultante Q=P+v será igual a: Q=[2+2,3-1] =[4,2] Seja P=[2,3] e v=[2,-1], o ponto resultante Q=P+v será igual a: Q=[2+2,3-1] =[4,2] Obs: os vetores e os pontos precisam ter as mesmas dimensões

11  Diversas operações podem ser efetuadas entre pontos e vetores: 4. Transposto de um vetor v t Operações 11 Transformações Geométricas x y v Seja v=[3,1], o vetor transposto resultante v t será igual a: v t =[1,3] Seja v=[3,1], o vetor transposto resultante v t será igual a: v t =[1,3] vtvt

12  Algumas operações são também aplicadas a matrizes Operações em Matrizes 12 Transformações Geométricas Soma de matrizes Multiplicação de matriz por escalar Transposta de uma matrizMultiplicação de matrizes Obs: Algumas operações são limitadas pelo tamanho das matrizes

13  Podemos utilizar diferentes sistemas de coordenadas para descrever os objetos modelados em um sistema 2D  Serve para nos dar uma referência de tamanho e posição dos objetos Introdução 13 Sistemas de Coordenadas

14  Sistema de Referência: sistema de coordenadas cartesianas para alguma finalidade específica  Deve-se especificar: Unidade de referência básica Limites extremos dos valores aceitos para descrever os objetos  Sistemas com denominação especial  Sistema de Referência do Universo (SRU)  Sistema de Referência do Objeto (SRO)  Sistema de Referência Normalizado (SRN)  Sistema de Referência do Dispositivo (SRD) Introdução 14 Sistemas de Coordenadas

15 Sistemas com denominação especial 15 Sistemas de Coordenadas

16  Sistema de referência utilizado para descrever os objetos em termos das coordenadas utilizadas pelo usuário em determinada aplicação  Também chamado de coordenadas do universo, ou do mundo  Ex: Sistemas CAD de arquitetura  o universo em metros ou centímetros Sistemas CAD de mecânica de precisão  o universo em milímetros ou nanômetros Sistema de Referência do Universo (SRU) 16 Sistemas de Coordenadas

17  Cada objeto seja (ou possua) um miniuniverso individual  Particularidades dos objetos descritas em função de seu sistema  O centro deste sistema costuma coincidir com o centro de gravidade do objeto Na modelagem de sólidos, este centro é conhecido como pivô Sistema de Referência do Objeto (SRO) 17 Sistemas de Coordenadas

18  Trabalha com coordenadas normalizadas  Em 2D: 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1  Funciona como um sistema de referência intermediário entre o SRU e o SRD  Função principal: tornar a geração das imagens independente do dispositivo  Coordenadas do universo são convertidas para um sistema de coordenadas padrão normalizado Sistema de Referência do Normalizado (SRN) 18 Sistemas de Coordenadas

19  Utiliza coordenadas que podem ser fornecidas diretamente para um dado dispositivo de saída  Ex: número de pixels de monitores 640×480, 800×600 Sistema de Referência do Dispositivo (SRD) 19 Sistemas de Coordenadas

20 Exemplos 20 Sistemas de Coordenadas

21 Exemplos 21 Sistemas de Coordenadas

22 Exemplos 22 Sistemas de Coordenadas

23  A habilidade de representar um objeto em várias posições no espaço é fundamental para compreender sua forma  A possibilidade de submetê-lo a diversas transformações é muito importante para aplicações em C.G.  As transformações geométricas podem ser aplicadas em 2D ou 3D e os tipos principais são:  Translação, rotação e escala Aplicação 23 Transformações Geométricas

24  Transladar significa movimentar o objeto, mas como é possível movimentar um objeto completo?  Um objeto é formado pelo que? Pontos  Então, para movimentar um objeto, basta movimentar os pontos que compõem o mesmo  Como os pontos de um objeto podem ser representados em um sistema de coordenadas, basta adicionar quantidades às suas coordenadas Translação 24 Transformações Geométricas

25 Translação – Exemplo 25 Transformações Geométricas

26 Translação – Formalização 26 Transformações Geométricas  Imagine um ponto (x,y) que representa um objeto  Pode-se mover este objeto Tx unidades em relação ao eixo x  Pode-se mover este objeto Ty unidades em relação ao eixo y  A nova posição é representada por (x’,y’) e pode ser escrita como x’ = x + Tx y’ = y + Ty x’ = x + Tx y’ = y + Ty P’ = P + T [x’ y’] = [x y] + [Tx Ty] P’ = P + T [x’ y’] = [x y] + [Tx Ty] Representação na forma de vetores (soma de dois vetores) ou

27 Translação – Formalização 27 Transformações Geométricas  Também é possível representar a translação em um espaço 3D: x’ = x + Tx y’ = y + Ty z’ = z + Tz x’ = x + Tx y’ = y + Ty z’ = z + Tz P’ = P + T [x’ y’ z’] = [x y z] + [Tx Ty Tz] P’ = P + T [x’ y’ z’] = [x y z] + [Tx Ty Tz] ou Lembre-se que esta transformação deve ser aplicada a cada um dos pontos (P) que formam um objeto

28  Escalonar significa mudar as dimensões de escala, mas como é possível escalonar um objeto completo?  Basta multiplicar os valores de suas coordenadas por um fator de escala  Cada um dos vetores que compõem o objeto são multiplicados por um mesmo fator de escala Escala 28 Transformações Geométricas

29 Escala – Exemplo 29 Transformações Geométricas

30  Imagine um ponto (x,y) que representa um objeto  Pode-se escalonar um objeto no eixo x aplicando um fator de escala S x a este ponto  Pode-se escalonar um objeto no eixo y aplicando um fator de escala S y a este ponto  A novo valor de suas coordenadas é representado por (x’,y’) e pode ser escrito como Escala – Formalização 30 Transformações Geométricas x’ = x * S x y’ = y * S y x’ = x * S x y’ = y * S y Representação matricial (multiplicação de vetor e matriz) ou

31 Escala – Formalização 31 Transformações Geométricas  Também é possível representar a escala em um espaço 3D: x’ = x * S x y’ = y * S y z’ = z * S z x’ = x * S x y’ = y * S y z’ = z * S z ou

32  Para aplicar uma escala em um objeto, é necessário que o objeto esteja na origem dos eixos  Caso contrário, essa operação de multiplicação também fará com que o objeto translade Escala – Observações 32 Transformações Geométricas

33  Rotacionar significa girar  Ao lado é mostrado o exemplo de rotação de um único ponto  O ponto P é rotacionado rumo ao ponto P’ 33 Rotação

34 Rotação – Exemplo 34 Transformações Geométricas 90º

35  Se um ponto P, distante r=(x 2 +y 2 ) 1/2 for rotacionado de um ângulo θ em torno da origem, suas coordenadas que antes eram definidas por: x=r*cos( φ), y=r*sen(φ), passam a ser dadas por: Rotação 35 Transformações Geométricas x’ = r. cos( θ + φ ) = r * cos φ * cos θ – r * sen φ * sen θ y’ = r. sen( θ + φ ) = r * sen φ * cos θ + r * cos φ * sen θ x’ = x * cos θ – y * sen θ y’ = y * cos θ + x * sen θ x’ = x * cos θ – y * sen θ y’ = y * cos θ + x * sen θ Que equivale a:

36  Imagine um ponto (x,y) que representa um objeto  Pode-se rotacionar um objeto no plano xy de um dado ângulo θ utilizando-se as expressões obtidas no slide anterior  A novo valor de suas coordenadas é representado por (x’,y’) e pode ser escrito como Rotação – Formalização 36 Transformações Geométricas ou x’ = x * cos θ – y * sen θ y’ = y * cos θ + x * sen θ x’ = x * cos θ – y * sen θ y’ = y * cos θ + x * sen θ

37  Para aplicar uma rotação em um objeto, é necessário que o objeto esteja na origem dos eixos  Caso contrário, essa operação também fará com que o objeto translade Rotação – Observações 37 Transformações Geométricas

38  Como rotacionar um objeto em torno de um dado ponto? 1. Transladar este ponto para a origem dos eixos 2. Efetuar a rotação 3. Transladar o ponto para sua posição original Rotação em Torno de um Ponto 38 Transformações Geométricas Obs: a mesma idéia é aplicada à escala

39  É possível aplicar a rotação em qualquer plano (xy, yz, xz) Rotação 3D 39 Transformações Geométricas y x z p p' y x z p y x z p

40  Pode-se criar uma transformação geométrica através da composição de várias outras Composição de Transformações Geométricas 40 Transformações Geométricas

41  Aplique transformações geométricas para que o objeto fique como especificado 41 Exercício y x y x


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