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Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 1 Sistemas de equações lineares Métodos Directos.

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Apresentação em tema: "Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 1 Sistemas de equações lineares Métodos Directos."— Transcrição da apresentação:

1 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 1 Sistemas de equações lineares Métodos Directos

2 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 2 Decomposição LU A=LU L – matriz triangular inferior U – matriz triangular superior Resolução de 1 sistema quadrado Resolução de 2 sistemas triangulares

3 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 3 Método de Gauss Pivot – elemento da diagonal a kk Para anular os elementos abaixo da diagonal a ik Multiplicar (mantêm a.s.) a linha pivot pelo factor Adicionar (mantêm c.d.) a linha obtida à linha i

4 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 4 Estabilidade do método Solução aproximada de Ax=b Que é solução exacta de Método estável (2º caso) Método instável (1º caso)

5 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 5 Para o método ser estável Escolha Total de pivot. O maior elemento em valor absoluto da matriz reduzida. Desvantagens : Demora muito tempo a calcular o maior elemento da matriz reduzida em cada iteração. Troca de colunas  troca de variáveis. Não ganha muito em estabilidade quando comparado com o 2ºcaso.

6 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 6 Para o método ser estável Escolha parcial de pivot (2ºcaso). O maior elemento em valor absoluto da 1ª coluna da matriz reduzida. Vantagens : É rápido determinar o maior elemento em valor absoluto da primeira coluna da matriz reduzida. Não precisa de guardar a ordem das variáveis. Desvantagens : Nem sempre é estável.

7 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 7 Escolha parcial escalonada O elemento a * ik, da 1ª coluna da matriz reduzida, cuja razão absoluta entre a * ik e o maior elemento, em valor absoluto, da linha i de A é máxima.

8 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 8 Condição de um sistema Num sistema mal condicionado uma pequena variação nos dados pode provocar uma grande alteração na solução final Sistema mal condicionadoSistema bem condicionado

9 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 9 Como se mede a condição? Se b é exacto: Demonstração: Se A é não singular e

10 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 10 Definição de norma ∥.∥ : ℂ n  m →ℜ + 0 : ∥ A ∥=0 sse A =0

11 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 11 Normas compatíveis VectorMatriz ? ?

12 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 12 k – número de condição Se b não é exacto

13 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 13 Métodos Iterativos A = M – N e M facilmente invertível A x = b  (M – N) x = b  x =M –1 (N x + b)  M x = N x + b d =M –1 bC=M –1 N

14 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 14 Métodos Iterativos Exemplo Resolva o sistema (solução exacta x T =(2,-3,-1))

15 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 15 Exemplo x0x0 x1x1 x2x2 x3x ║x k -x k-1 ║ Processo divergente (solução exacta x T =(2,-3,-1))

16 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 16 Teorema do ponto fixo Para sistemas  (x) = M –1 (N x + b) Cálculo do erro = ║ M -1 N ║ e 0 < < 1 ( - constante de Lipschitz)

17 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 17 Teoremas Se existir uma norma para a qual então o processo é convergente. O processo é convergente sse o raio espectral de C Se  (C )>1 o processo é divergente ║C║= ║ M -1 N ║ <1  ( C )=maior valor próprio de C em módulo (  (C)) <1 Condição suficiente Condição necessária e suficiente

18 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 18 Como obter boas fórmulas de recorrência? Os métodos mais comuns usam as submatrizes:

19 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 19 Método de Jacobi M=D N=-(L+U) Condição suficiente de convergência || M -1 N || = || D -1  (L+U) || < 1 Fórmula de recorrência C=-D -1 (L+U) d=D -1 b Resolver cada equação i em ordem a x i

20 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 20 Condições suficientes de convergência Definição Uma matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (colunas) se Matriz estritamente dominanteJacobi convergente


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