Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 1 Métodos Iterativos A = M – N e M facilmente invertível A x = b  (M – N) x = b  x =M –1.

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1 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 1 Métodos Iterativos A = M – N e M facilmente invertível A x = b  (M – N) x = b  x =M –1 (N x + b)  M x = N x + b d =M –1 bC=M –1 N

2 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 2 Teorema do ponto fixo Para sistemas  (x) = M –1 (N x + b) Cálculo do erro = ║ M -1 N ║ e 0 < < 1 ( - constante de Lipschitz)

3 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 3 Método de Jacobi M=D N=-(L+U) Condição suficiente de convergência || M -1 N || = || D -1  (L+U) || < 1 Fórmula de recorrência C=-D -1 (L+U) d=D -1 b Resolver cada equação i em ordem a x i

4 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 4 k 00.000000000000 12.000000000000-1.555555555564.714285714294.8 20.425396825397 - 2.98412698413 4.555555555561.60 c.d. 3 0.774603174603- 3.43844797178 3.92244897959 0.640 c.d. 4 1.11871000252- 3.0 4066515495 3.84252960443 0.400 c.d. 5 1.07112118922- 2.89044315669 4.0 0533995609 0.170 c.d 6 0.9 75952648902- 2.9 7866625074 4.0 4146212512 0.096 1 c.d. 7 0.9 79148400101- 3.0 2644339486 4.00 266002106 0.0481 c.d. 8 1.0 0422467055- 3.0 0813276488 3.9 8946594434 0.0261 c.d 9 1.0 0584017524- 2.99 827987726 3.99 827987726.00951 c.d 10 0.99 9470043892- 2.99 728877592 4.00 257431819 0.0064 2 c.d. 11 0.99 8428027910- 3.00 132079345 4.00 069892744 0.00412 c.d. 12 0.9999 8458771- 3.00 083462511 3.99 939806300 0.00162 c.d. 13 1.000 40769982- 2.9997 3760987 3.999 75933393 0.00113 c.d. 141.00004378840-2.999757137364.000133211440.00038. Método de Jacobi TP7

5 Estimativa do erro Método de 1ª ordem Método de 1º ordem ( nas proximidades da raiz) Como então e Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 5

6 6 Exercício TP7 Método de Jacobi Critério de paragem x (1) x (2) … x (4) … x (7) … x (11) … x (14) 20.42539…1.118710.979148 0.99842… 1.0000437 -1.5555…-2.9841…-3.0406-3.02644-3.0013…-2.999757 4.71428…4.55555…3.84254.00266 4.00069… 4.000133 4.81.60.400.048 0.41  10 -2 0.38  10 -3 (solução exacta x T =(1,-3,4))

7 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 7 Método de Gauss-Seidel M = L+D N = - U Condição suficiente de convergência || M -1 N || = || (L+D) -1  U || < 1 Fórmula de recorrência Só inverte D. Em vez de inverter L, resolve o sistema por substituição. Usa a matriz de Jacobi

8 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Directos 8 Método de Gauss-Seidel TP7 k 00.000000000000 12.000000000000-0.888888888894.746031746034.8 20.279365079365-3.57178130511 3.73368606702 2.7 3 1.22088183422- 2.80801097394 4.08640855519 0.950 c.d.c. 4 0.9 27038772711- 3.0 627242114 3.9 7165576427 0.300 quase 1 c.d.c 5 1.0 2388253657- 2.9 7944171637 4.0 0928558626 0.0971 c.d.c. 6 0.99 2174108771- 3.00 673555764 3.99 69575705 0.0321 quase 2 c.d.c 7 1.00 256408333- 2.99 779311467 4.00 099683628 0.0112 c.d.c 8 0.999 15988842- 3.000 72307554 3.999 67339105 0.00352 quase 3 c.d.c 9 1.000 27525869- 2.999 76308757 4.000 10701194 0.00123 c.d.c 100.999909812740-3.000077623283.999964938030.00037

9 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 9 Exercício TP7 Método de Gauss-Seidel Critério de paragem x (1) x (2) … x (4) … x (6) … x (8) … x (10) 20.27936…0.927030.992174 0.9995… 0.99990981 -0.8888…-3.5717…-3.0627-3.00673-3.0007…-3.0000776 4.74603…3.73368…3.971653.996957 3.99967… 3.99996493 4.82.70.300.032 0.35  10 -2 0.37  10 -3 (solução exacta x T =(1,-3,4))

10 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 10 Condições suficientes de convergência Definições Uma matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (colunas) se Uma matriz A é Positiva Definida (PD) se x T Ax >0  x  0. Matriz estritamente dominante Matriz PD Jacobi convergente Gauss-Seidel convergente

11 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 11 Transformar o sistema Ax=b ( A não singular) Determinar um sistema equivalente cuja matriz tenha diagonal estritamente dominante. Multiplicar o sistema por A T A*=A T A é uma matriz PD Demonstração: x T A*x = x T A T Ax A não singular A T Ax=A T b =( Ax ) T ( Ax )=|| Ax || 2 Ax=0 sse x =0

12 Análise Numérica - Resolução de Sistemas - Métodos Iterativos 12 Eficiência dos métodos directos versus iterativos Métodos iterativos: Por iteração Em k iterações Métodos directos n 2 -n produtos k(n 2 -n) ≲ k n 2 Os métodos iterativos são mais eficientes