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Expressões Regulares e Gramáticas
profa. Laís do Nascimento Salvador Grande parte dos slides foi gentilmente cedida pelo prof. Ivan Carlos Alcântara de Oliveira
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Teoria dos Autômatos Expressões Regulares
A expressão regular é a maneira mais compacta e mais simples de descrever conjuntos regulares, e é usada com essa finalidade em construção de compiladores, editores, sistemas operacionais, protocolos, etc. É um formalismo denotacional, também considerado gerador.
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Teoria dos Autômatos Expressões Regulares
Definição: Uma Expressão Regular (ER) sobre um alfabeto é definida como segue: é uma ER (linguagem vazia) é uma ER (linguagem contendo somente a cadeia vazia ) para cada a , a é uma ER se e são ER´s, então | é uma ER. ( OU – alternância) se e são ER´s, então é uma ER. (concatenação) se é uma ER, então ()* é uma ER (exponenciação)
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Teoria dos Autômatos Expressões Regulares
*: | | | |..... +: | | |..... + = * ordem de precedência(decrescente): exponenciação concatenação alternância
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Teoria dos Autômatos Expressões Regulares
Expressão regular Linguagem representada aa Somente a palavra aa ba* Todas as palavras que começam com b, seguido por zero ou mais a´s (a|b)* Todas as palavras sobre {a, b} (a|b)* aa (a|b) * Todas as palavras que contém aa como subpalavra a* ba* ba* Todas as palavras contendo exatamente 2 b´s (a|b)* (aa| bb ) Todas as palavras que terminam com aa ou bb (a| ) (b | ba)* Todas as palavras que não possuem 2 a´s consecutivos
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Teoria dos Autômatos Expressões Regulares - Exercícios
1. Indique se a cadeia 1011 pertence às linguagens correspondentes a cada uma das expressões regulares a) __________ (10)*1011 b) __________ 0*(10 | 11)* c) __________ 1(00)*(11)* d) __________ (1 | 00)(01 | 0)1* 2) Escreva uma expressão regular para cada uma das seguintes linguagens sobre o alfabeto {a,b}: a) O conjunto de todas as cadeias que começam e terminam com a e contém no mínimo um b b) O conjunto de todas as cadeias que terminam em ab c) O conjunto de todas as cadeias com comprimento maior ou igual a 2
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Teoria dos Autômatos Expressões Regulares - Exercícios
3) Especificar as linguagens representadas pelas seguintes e.r´s: a) abb*c b) abb*aa* c) bb*(ab)* 4) Construa uma ER para cada uma das seguintes linguagens sobre o alfabeto {0, 1} a) O conjunto de todas as cadeias terminando em 00. b) O conjunto de todas as cadeias com 3 zeros consecutivos.
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Gramáticas Um exemplo inicial:
<frase> <sujeito> <verbo> <predicado> <sujeito> O homem <sujeito> A mulher <verbo> leu <verbo> escreveu <predicado> um <adjetivo> livro <adjetivo> ótimo <adjetivo> péssimo <adjetivo> e
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Gramática - Definição Formal (1/6)
Def. É um mecanismo gerador de cadeias de uma linguagem. Uma gramática formal é uma quádrupla: G = ( N, T, P, S ) onde: N é um alfabeto finito, conhecido como vocabulário não terminal. T é um alfabeto finito, conhecido como vocabulário terminal. P é um conjunto finito de regras ou produções da forma w i com: w (N U T )+ e i (N U T )* S é o símbolo inicial ou axioma por onde as regras começam a ser aplicadas S N
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Gramática - Definição Formal (2/6)
Observações Importantes: a) N T = b) N T = V (vocabulário de G) c) Notação que será utilizada: T letras minúsculas N letras maiúsculas d) Uma seqüência da forma: 1, 2, 3, , n, pode ser abreviada como uma única produção da forma: 1| 2 | 3| | n e) Para descobrir se uma cadeia x T* é gerada pela gramática basta fazer um processo de derivação começando do símbolo inicial S até obter a cadeia desejada.
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Gramática - Definição Formal (3/6)
Exemplo 1: Gramática que gera números binários de qualquer tamanho. G1 = (N, T, P, S), T = {0, 1}, N = {S} P = {S 0 | 1 | 0S | 1S} a) A cadeia x = é gerada pela gramática G? S 0S 01S (É gerada!!!!) b) A cadeia y = é gerada pela gramática G? S 0S 01S 010S 0101S 01010S S (É gerada!!!!) c) A cadeia z = é gerada pela gramática G? Não é gerada pois observa-se que o símbolo 2T.
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Gramática - Definição Formal (4/6)
Exemplo 2: Gramática que gera qualquer número inteiro positivo, incluindo o 0. Z+ = {0, 1, 2, ...}. G2 = ( N, T, P, S ), T = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, N = {NUMERO} S = NUMERO P = { NUMERO 0 | 1 | ... | 9 | 0 NUMERO | 1 NUMERO| ... | 9 NUMERO} a) A cadeia x = é gerada pela gramática G? NUMERO 9NUMERO 90NUMERO (É gerada!!!!) b) A cadeia y = é gerada pela gramática G? NUMERO 0NUMERO 00NUMERO 002NUMERO NUMERO 00255NUMERO (É gerada!!!!)
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Gramática - Definição Formal (5/6)
Exemplo 3 - Solução 1: Desenvolver uma gramática que gera números inteiros, não permitindo números que começam com 0, exceção para o valor 0. G3 = (N, T, P, S), T = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, N = {Num ,D} S = Num P = { Num 0 | 1 | 2 | ... | 9 | 1D | 2D | ... | 9D D 0 | 1 | 2 | ... | 9 | 0D | 1D | ... | 9D} a) A cadeia x = é gerada pela gramática G? Num 9D 90D (É gerada!!!!) b) A cadeia y = 0231 é gerada pela gramática G? Num 0 ( Não é gerada ) OK!!! Pois não se aceita zeros a esquerda.
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Gramática - Definição Formal (6/6)
Exemplo 3- Solução 2: Desenvolver uma gramática que gera números inteiros, não permitindo números que começam com 0, exceção para o valor 0. G4 = (N, T, P, S), T = {0, 1, 2, 3, ..., 9},N = { Num, D, DF}, S = Num P = { Num D| 1D | 2D| ... | 9D D 0 | 1 | 2 | ... | 9 | 1DF | ... | 9DF DF 0 | 1 | 2 | ... | 9 | 0DF | 1DF | ... | 9DF } a) A cadeia x = é gerada pela gramática G? Num D 9DF 90DF 903 (É gerada!!!!) b) A cadeia y = 0231 é gerada pela gramática G? Num D 0 ( Não é gerada ) OK!!! Pois não se aceita zeros a esquerda.
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Gramática - Exercícios (1/3)
1) Seja a gramática abaixo G = {N, T, P, S}, N = {S, A, B}, T = {a, c, d} P = {S ® AB, A ® AA, A ® B, A ® a, B ® Bcd,B ® a} Pede-se: G gera x = a a a c d, y = aaaacdcdaacd, z = aaaaaaacdaaacdcdcd, k=aacdcdcdaacdaacdcd? 2) Seja G2 o conjunto das seguintes produções: P = { ID ® a | b | c ID a | ID 0 | ID 1 } Escrever VN, VT. Mostrar as derivações possíveis para gerar as sentenças a, cba0, a0, a1, ccaaa. 3) Construir uma gramática que gera números inteiros divisíveis por 5 (negativos ou positivos). Exemplo: 0, 5, -10, 15, -225, ... )
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Gramática - Exercícios (2/3)
4) Construir urna gramática cujas sentenças sejam cadeias com igual número de 0's e 1's. 5) Criar uma gramática que gera números binários palíndromos: Exemplo: 0, 1, 010, 00100, 111, 101, 6) Construir urna gramática que gera {a (bn) a | am0, n>=0, m >=2}
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Gramática - Exercícios (3/3)
7) Desenvolver uma gramática que gere expressões aritméticas com parênteses balanceados, dois operadores (representado por * e +) e um operando representado por x. Exemplo: x, x* (x + x) e ((((x)))) 8) Escrever uma gramática cuja linguagem seja o conjunto dos números inteiros pares positivos sem zeros à esquerda. 9) Escrever uma gramática que seja capaz de gerar qualquer identificador da linguagem JAVA.
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Gramática - Outros Conceitos
Exemplo: a) Qual a L(G)? L(G) = {a bn c, n>= 0} b) Encontrar G' equivalente a G Basta encontrar um conjunto de produções diferentes que satisfaz L(G') = L(G). G' = ( N, T, P, S ) T = { a, b, c }, P = { A ® aBc, B ® bB | }, N = { A, B}, S = A, L(G') = {a bn c, n>= 0} Observa-se que L(G) = L(G’) \G' º G
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Gramática - Outros Conceitos
Def. Árvore de derivação sintática: É um tipo de árvore voltada a análise sintática de sentenças que utilizaremos para montar as possíveis derivações de uma dada sentença e, com isto, verificar se ela pertence ou não a uma determinada gramática G. A montagem de uma árvore de derivação a partir de uma gramática G = (N, T, P, S) é realizada da seguinte maneira: a) A raiz da árvore é o símbolo inicial. b) Os vértices interiores pertencem ao N. c) Os nós folhas pertencem ao T.
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Gramática - Outros Conceitos
Exemplo: Seja a gramática G = (N, T, P, S) como definida abaixo: T = { a, b, c }, N = { A, B }, S = A P = {A ® aB, B ® bB | c } Verificar se x = abbbc, y = ac, z = abbca, w = a são sentenças de L(G).
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Gramática - Outros Conceitos
Árvore de derivação sintática - Exemplos: c) Verificar se x = abbbc, y = ac, z = abbca, w = a são sentenças de G. Para isto basta verificar se realizando algumas derivações é possível obter a sentença solicitada. Logo, x e y são sentenças de G, z e w não são. z w x y b | c
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Gramática - Outros Conceitos
Def. Gramáticas Ambíguas: Uma gramática é ambígua se gera uma sentença para a qual existem duas ou mais árvores de derivação sintática. Exemplo: Seja G = (N, T, P, S) a gramática definida abaixo: T = { a, c, d }, N = { S, A, B }, P = { S ® AB, A ® AA | B | a, B ® Bcd | a } Pede-se: a) Qual é a L(G) ? b) G é ambígua? c) Se G for ambígua, encontrar G' equivalente a G não ambígua.
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Gramática - Outros Conceitos
a) Qual é a L(G) ? Como esta gramática é um pouco complexa, vamos por partes: As produções B Bcd | a geram sentenças no formato: a(cd)* As produções A AA | B | a geram formas sentenciais no formato A+, onde cada A gera um B ou um a. Logo estas regras geram sentenças no formato: (a(cd)*|a)+ A regra inicial, por sua vez, é SAB, então temos que L(G) = (a(cd)*|a)+a(cd)*
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Gramática - Outros Conceitos
b)Para a sentença x = aaacd encontra-se duas árvores de derivação como ilustrado abaixo: Logo G é ambígua.
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Gramática - Outros Conceitos
c) Se G for ambígua encontrar G' equivalente a G não ambígua. Sabemos que L(G) = (a(cd)*|a)+a(cd)* . Observa-se que esta própria expressão é ambígua (por exemplo: há duas formas de se gerar a sentença aa). Ao simplificar a e.r. chegamos em: (a(cd)*)+a(cd)* . Com base nesta 2a. e.r. podemos retirar a produção Aa, observe que ela é uma fonte de ambigüidade, e a linguagem gerada continua a mesma. Logo temos a seguinte gramática modificada: P = { S ® AB, A ® AA | B , B ® Bcd | a } Porém esta gramática ainda é ambígua. Onde está o problema?
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Gramática - Outros Conceitos
Observe que a produção A AA também é uma fonte de ambigüidade, por quê? Logo devemos substituir a produção por outra, que não gere sentenças ambíguas, sem prejuízo da linguagem gerada. Assim, chegamos na seguinte gramática: P = { S ® AB, A ® BA | B, B ® Bcd | a } Ainda podemos simplificar e chegar numa outra solução: P = { S ® BS | BB, B ® Bcd | a } Observe que ambas gramáticas não são ambíguas.
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Gramática - Exercícios (1/4)
1) Dada a linguagem: L(G) = {an bm ek, n >= 2, m>=0, k>=1} Encontrar a gramática G 2) Dadas as produções de duas gramáticas G1 e G2 determinar a linguagem gerada: a) G1 P = {S ® a S a S | } b) G2 P = {S ® a S a | } Pede-se: São ambíguas?Justifique a sua resposta.
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Gramática - Exercícios (2/4)
3) Produzir uma gramática G tal que a) L(G) = {abn c com n >= 0} b) L(G) = {an bm com n <= m; n, m>=1} 4) Encontre gramáticas não ambíguas que gerem os seguintes conjuntos: a) números binários múltiplos de 4, sem zeros não significativos. c) números inteiros pares, positivos ou negativos, com sinal (exceto o zero), sem zeros não significativos.
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Gramática - Exercícios (3/4)
5) Dadas as produções de 3 gramáticas a) Quais as linguagens geradas? Descrever informalmente se for impossível formalizar. b) Quais gramáticas são ambíguas? Por quê? (G1) S aBC | a BC bcS | (G2) S [S]S | | a | b S S[S] (G3) S 01ZY | ZY 0DC | S DC 1CC | CC 1DC |
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Gramática - Exercícios (4/4)
6) Seja uma gramática G dada pelas produções abaixo: P: {S AB | C, A aAb | ab, B cBd | cd, C aCd | aDb, D bDc | bc } Pede-se: a) Qual a linguagem gerada pela gramática? b) Ela é ambígua? c) Encontrar uma G1 equivalente a G.
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Gramáticas Livres de Contexto
Extremamente úteis; Usadas na construção de compiladores; Exemplos de Gramáticas Livres de Contexto: G = (N,T,P,S) onde N = {S} T = {a,b} P = { S aSb S } L(G) = ? Gramática para expressão com parênteses balanceados: G’ : P = { S (S) S }
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Gramáticas Livres de Contexto
Exemplos de Gramáticas Livres de Contexto: Vamos construir uma definição recursiva para expressões aritméticas: . x é uma expressão aritmética Assumindo que e seja uma expressão aritmética então: (e) é uma expressão aritmética; e + e é uma expressão aritmética; e * e é uma expressão aritmética;
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Gramáticas Livres de Contexto
Exemplos de Gramáticas Livres de Contexto: A partir desta definição é fácil construir a gramática para esta linguagem, G1 = (N,T,P,S) onde N = {E}, T = {+,*,(,),x}, S = E P = { E E+E | E*E | (E) | x} G1 é ambígua. Por quê?
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Gramáticas Livres de Contexto
Analise a sentença: x+x*x Quantas árvores de derivação podem ser construídas para esta sentença, com base em G1? E E E * + E E x x x
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Gramáticas Livres de Contexto
Outra árvore de derivação para a sentença: x+x*x E E E + x * E E x x
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Gramáticas Livres de Contexto
Uma outra gramática para expressões aritméticas: G1’ = (N, T, P, S) onde N = {T, F, E} T = {x, +, *, (, )} S = E P = { E E + T, (1) L(G1´) ? E T, (2) G1´ é ambígua ? T T * F, (3) T F, (4) F (E), (5) F x, (6) }
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Gramáticas Livres de Contexto
Uma gramática para comandos condicionais aninhados: <programa> ... <comando> ... <comando> <condicional> <condicional> if < condição > then <comando> <condicional> if < condição > then <comando> else <comando> < condição > ... Provar que esta gramática é ambígua.
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Gramáticas Livres de Contexto
Atividade: 1- Pesquise um gramática para a linguagem objeto de implementação do projeto de compiladores. 2- Verifique se ela é ambígua.
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