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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS ESCOLA DE INFORMÁTICA MESTRADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Disciplina:Estruturas de Dados Aluno:Christiano Otero Avila Prof.

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1 UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS ESCOLA DE INFORMÁTICA MESTRADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Disciplina:Estruturas de Dados Aluno:Christiano Otero Avila Prof. Dr. Paulo Roberto Gomes Luzzardi

2 ÁRVORES DE EXPANSÃO MÍNIMA

3 Sumário Introdução Termo em Inglês e Sinônimos Aplicações Conceito Construção passo-a-passo Algoritmos Exercícios Animações Bibliografia

4 Introdução

5 Termo em Inglês e Sinônimos Termo em inglês: Minimum Spanning Tree (MST) Alguns sinônimos encontrados: Árvores de Expansão Mínima Árvores Geradora Mínima Árvores de Cobertura Mínima Árvores Espalhadas Mínimas

6 Aplicações Projetos de redes de telecomunicações: Redes de computadores Redes de fibra ótica Redes de telefonia Redes de televisão a cabo Projetos na área de transportes: Rodovias, ferrovias, gasoduto (ops....) Irrigação – “transporte de água” Logística (distribuição) Projetos de redes de distr. de energia Mineração de dados em clustering

7 Aplicações Sistemas de Informações Geográficas:

8 Conceito Árvore que interliga todos os vértices do grafo utilizando arestas com um custo total mínimo

9 Conceito Dado um grafo não dirigido ponderado G, desejamos encontrar uma árvore T que contenha todos os vértices de G e minimize sua soma.

10 Construção passo-a-passo

11 Conceito

12 Construção passo-a-passo

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17 Algoritmos - Algoritmo de Prim - Algoritmo de Kruskal - Algoritmo de Boruvka

18 Algoritmos - Prim O célebre algoritmo de Prim resolve o problema da árvore geradora de peso mínimo num grafo simétrico com função-peso simétrica. O algoritmo foi inventado por R.C. Prim (Bell Systems Techncal Journal, 1957). No início de cada iteração temos dois tipos de vértices, os pretos e os brancos, e uma árvore com raiz r que "cobre" o conjunto dos vértices pretos. O algoritmo tem um caráter guloso: cada iteração acrescenta à árvore o arco mais leve dentre os que ligam um vértice preto a um vértice branco.

19 Algoritmos - Prim A implementação a seguir supõe que os vértices do grafo são 1, 2, …., n e devolve um vetor de predecessores pai que representa uma r-árvore geradora de peso mínimo. O algoritmo usa uma "fila" de arcos que contém todos os arcos com ponta inicial preta e ponta final branca. Os detalhes de implementação da fila ficam por conta da imaginação do leitor, mas tudo se passa como se os arcos estivessem na fila sempre em ordem crescente de f. Cada arco é representado como um par ordenado de vértices.

20 Algoritmos - Prim Animação: u.ac.jp/~ikeda/suuri/dijkstra/PrimApp.shtml?demo6

21 Algoritmos - Kruskal Animação: www-b2.is.tokushima-u.ac.jp/~ikeda/suuri/kruskal/KruskalApp.shtml?demo4

22 Algoritmos Algoritmo de Boruvka Também conhecido como Baruvka A idéia geral desse algoritmo consiste em começar por ligar cada vértice ao seu vizinho mais próximo, criando, no máximo, V/2 árvores. Depois, ligar cada árvore à outra árvore que lhe estiver mais próxima, até que todos os vértices do grafo estejam inseridos na árvore.

23 Algoritmos - Boruvka O algoritmo de Boruvka compreende os seguintes passos: 1. Para cada vértice escolher o seu arco com peso mínimo. Deste passo poderão resultar vários subgrafos. 2. Caso o passo 1 dê origem a grafos não conectados, considere cada subgrafo gerado no passo anterior como um vértice do grafo final. Para cada um dos subgrafos gerados execute-se de novo o passo Parar quando todos os vértices estiverem conectados entre si formando assim a AGM/MST.

24 Algoritmos - Boruvka

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26 Exercícios Pretende-se construir novas estradas de modo que 5 cidades (A,B,C,E e E) fiquem ligadas. Os custos de construção das estradas são os indicados na tabela. Informe o valor da árvore geradora mínima.

27 Exercícios Dica – construir o grafo

28 Animações

29 Bibliografia Goodrich, Michael T; Projeto de Algoritmos: Fundamentos análise e exemplos da Internet; Bookman, Sampaio, Rudini; Yanasse, Horácio; Estudo e Implementação de Algoritmos de Roteamento sobre Grafos em um Sistema de Informações Geográficas;UFLA,INPE. Cormen, T. H.; Leiserson, C. E.; Rivest, R. L. Introduction to Algoritms; MIT Press, 1999.

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