A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Variáveis Aleatórias O cálculo de probabilidades é mais expedito quando a cada acontecimento corresponde um número. Uma variável aleatória, X(.) é uma.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Variáveis Aleatórias O cálculo de probabilidades é mais expedito quando a cada acontecimento corresponde um número. Uma variável aleatória, X(.) é uma."— Transcrição da apresentação:

1 Variáveis Aleatórias O cálculo de probabilidades é mais expedito quando a cada acontecimento corresponde um número. Uma variável aleatória, X(.) é uma função que a cada acontecimento do espaço de resultados, faz corresponder um valor real, x = X(  ). Variáveis aleatórias discretas O contradomínio é um conjunto finito ou infinito numerável. Variáveis aleatórias contínuas O contradomínio é um conjunto infinito não numerável.

2 Tempo que um tentilhão se demora numa árvore de Clethra arborea  = {t: t > 0} X(  ) = {x i : x i > 0} Temperatura média diária no Parque Florestal da Macela a três altitudes  = {(t 1, t 2, t 3 ): 0 < t i < 25} Y(  ) = {t i : t i = max(t 1, t 2, t 3 )} Z(  ) = {t i : t i = min(t 1, t 2, t 3 )} Larvas de Mythimna unipuncta (lagarta das pastagens) capturadas ao acaso, parasitadas por Apanteles militaris (himenóptero parasitóide), por nemátodos, ou saudáveis  = {(A, N, S): A+N+S = 1 ⋀ 0 ≤ A, N, S ≤ 1} Y(  ) = {A+N (parasitadas)}Z(  ) = {S (saudáveis)} Variáveis Aleatórias

3 Vigor de Clethra arborea  = {Morta, Pouco, Razoável, Bom, Excelente} X(  ) = {1, 2, 3, 4, 5} Gosto pela matemática  = {Nenhum, Pouco, Algum, Gande, Muito Grande} X(  ) = {1, 2, 3, 4, 5} Género  = {Masculino, Feminino} X(  ) = {0, 1} Variáveis Aleatórias

4 Variáveis aleatórias bidimensionais Uma VA diz-se bidimensional se for uma função que a cada elemento de  faz corresponder um elemento de ℝ 2. O par ordenado (x, y)  ℝ 2, A = {  X(  Y  x, y)} Generalizando, podem considerar-se variáveis aleatórias n-dimensionais. Exemplo: captura aleatória de um tritão-de-crista num charco. X - comprimento total do tritão. Y - comprimento da cabeça do mesmo tritão. Z - sexo do tritão capturado. Variáveis Aleatórias

5 Função de Probabilidade Lançamento de um dado  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X - número da face virada para cima P(X=1) = 1/6 P(X=2) = 1/6 f(x) = P(X=x), função de probabilidade de X Domínio em ℝ e conjunto chegada [0,1] Xx = 1x = 2x = 3x = 4x = 5x = 6 f(x)1/6 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

6 Se f(x) é uma Função de Probabilidade de uma VA discreta X, que assume valores x 1, x 2,..., x n, então a função f(x) é definida por P(X=x) se X = x f(x) = 0 se X ≠ x É uma função de probabilidade de uma VA discreta X, qualquer função f(.) com domínio em ℝ e conjunto chegada em [0,1], que satisfaça as seguintes propriedades: a) 0≤ f(x) ≤ 1  x  ℝ n b) Se n é finito então  f(x i ) = 1; Se n é infinito então  f(x i ) ----> 1 i=1 i=1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS {

7 Variável aleatória X - Número de amostras de 1 m 2 até que apareça uma lagarta da pastagem. x = 1, 2, 3,..., n,... P(X = x) = P N, N, N,..., L - A amostragem pára quando surge a primeira lagarta. p é a probabilidade de aparecer uma lagarta 1-p é a probabilidade de não aparecer lagarta P(X = x) = (1-p) x-1. p Calcular as probabilidades se p = 0,2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS {

8 Função de distribuição Qual a probabilidade de X assumir um conjunto de valores? Probabilidade que seja necessário fazer até 5 amostras para encontrar uma larva: P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 5 =  f(x i ) i=1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

9 Função de distribuição, F(.) de uma VA F(x) = P(X ≤ x) Tem conjunto de chegada em [0,1] e a) 0 ≤ F(x) ≤ 1,  x  ℝ b) F(x 2 ) ≥ F(x 1 ),  x 1, x 2 com x 2 > x 1 c) lim F(x) = 0 e lim F(x) = 1 x  - ∞ x  + ∞ d) P( x 1 x 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

10 Função de distribuição Gráfico em degrau O caso do lançamento do dado VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

11 Distribuição Binomial Provas de Bernoulli p probabilidade de sucesso q = 1 - p probabilidade de insucesso x sucessos em n provas f(x) = P(X=x) = n C x p x.q n-x Distribuição de Poisson X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3,.... f(x) = P(X=x) = x.e - /x! VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS {

12 Função de probabilidade conjunta da VA (X, Y) f(x,y) = P(X=x, Y=y) 1. 0 ≤ f(x, y) ≤ 1  (x,y)  ℝ 2 n m 2. =   f(x i, y j ) = 1 i=1 j=1 Função de probabilidade marginal m de X, f X (x) =  f(x, y j ) j=1 n de Y, f Y (y) =  f(x i,y) i=1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

13 Função de probabilidade conjunta da VA (X, Y) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Tem Cancro Não tem Cancro Fumador0,50,20,7 Não Fumador 0,10,20,3 0,60,41 X Y Função de probabilidade marginal de X Função de probabilidade marginal de Y

14 Variáveis aleatórias independentes X e Y são variáveis aleatórias discretas Se os acontecimentos X = x e Y = y são independentes para todo o x e todo o y, então X e Y são variáveis aleatórias independentes P(X=x, Y=y) = P(X=x). P(Y=y) f(x,y) = f1(x). f2(y) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

15 ESPERANÇA MATEMÁTICA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA n E(X) = x 1 P(X=1) x n P(X=x n ) =  x i P(X=x i ) i=1 P(X=x i ) = f(x i ) n E(X) = x 1 f(x 1 ) x n f(x n ) =  x i f(x i ) i=1 Quando as probabilidades são todas iguais E(X) = (x 1 + x x n )/n  x = esperança de X ou média de X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

16 1. Se c é uma constante E(cX) = cE(X) 2. E(X±Y) = E(X) ± E(Y) 3. X e Y independentes E(XY) = E(X). E(Y) 4. E(c) = c 5. E[g(X)] =  [g(x). f(x)] VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

17 A VARIÂNCIA Var (X) = E[(X-  ) 2 ]  x 2  x 2 = E[(X-  ) 2 ] =  (x i -  ) 2 f(x i )  x 2 = E[(X-  ) 2 ] = E(X 2 ) - [E(X)] 2 1. Se c é constante Var (cX) = c 2 Var(X) 2. X e Y são independentes Var (X±Y) = Var(X) + Var(Y) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

18 A VARIÂNCIA 3. Var (c) = 0 4. Variável aleatória padronizada X* = (X-  )/  E(X*) = 0Var(X*) = 1 5. X e Y não são independentes Var (X±Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2 Cov (X,Y) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

19 Covariância Cov (X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E[(X-  x )(Y-  y )] n E(XY) =  [x i. y j. f(x i, y j )] i=1 j=1 Se X e Y forem independentes, então Cov (X, Y) = 0 Coeficiente de correlação linear _______________  xy = Cov(X,Y) / √ Var(X). Var(Y) =  xy / (  x  y ) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

20 Momentos O momento central de ordem r de uma variável aleatória  r = E[(X-  ) r ] r = 0, 1, 2,... A Variância é o segundo momento central n  r =  (x i -  ) r f(x i ) i=1 O momento de ordem r em relação à origem  r ' = E[(X) r ] r = 0, 1, 2,... VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

21 Prova de Bernoulli Experiência aleatória A, sucesso, com probabilidade p Ā, insucesso, com probabilidade q =1 - p  = {A, Ā} Sucessão de provas de Bernoulli 1- Dois resultados possíveis e exclusivos; 2- p é constante em todas as provas; 3 - As provas são independentes. Função de probabilidade P(X=x) = f(x) = p x (1-p) 1-x, x = 0, 1 E(X) = p Var (X) = pq VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

22 amostrar

23 A distribuição binomial Conjunto finito de objectos que possuem determinada qualidade com probabilidade p Baseia-se numa sucessão de provas de Bernoulli X - número de sucessos em n provas de Bernoulli X  b (x; n; p) Função de probabilidade f(x) = P(X=x) = n C x p x.q n-x x = 0, 1, 2,..., n n e p são os parâmetros E(X) = npVar (X) = npq VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

24 A distribuição multinomial Mais de dois resultados possíveis em n provas. 1. k resultados possíveis mutuamente exclusivos; 2. Cada um com uma probabilidade associada; 3. As provas são independentes. X i - número de vezes em n, em que ocorre A i Acontecimentos A 1, A 2,..., A k, com probabilidades p 1, p 2,..., p k P(X 1 =n 1, X 2 =n 2,..., X k =n k ) = [n!/(n 1 ! n 2 !... n k !)].(p 1 n 1 p 2 n 2... p k n k ) Onde n e p i são os parâmetros VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

25 A distribuição binomial negativa Provas de Bernoulli X- número de provas a realizar até se obterem k sucessos x - número de provas k - número de sucessos Uma vez que a experiência termina com o kº sucesso, então há (k-1) sucessos em (x-1) provas. P(sucesso) = p X  bn (x; k; p) P(X = x) = x-1 C k-1 p k.q x-k x = k, k+1,... E(X) = k/p Var (X) = k(1-p)/p 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

26 Na V.A. binomial x é o número de sucessos em n provas (n é fixo). Na V.A. binomial negativa x é o número de provas e k é o número de sucessos (k é fixo). VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Bioestatística A variável aleatória binomial corresponde a uma repetição de n provas de Bernoulli. Atenção !!

27 A distribuição geométrica ou de Pascal Provas de Bernoulli X - número de provas a realizar até se obter um sucesso P(sucesso) = p P(X=x) = (1-p) x-1 p E(X) = 1/p Var (X) = (1-p)/p 2 É um caso particular da distribuição binomial negativa VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

28 A Distribuição hipergeométrica Amostragem sem reposição X - número de sucessos ocorridos em n extracções sem reposição. X  h (x; M; n; p) M - Número total de objectos; p - Probabilidade de sucesso; n - Número de extracções. P(X=x) = [ Mp C x. M(1-p) C n-x ] / M C n x = 0, 1, 2,..., n E(X) = np Var (X) = npq(M-n)/(M-1) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

29 A Distribuição de Poisson X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3,.... f(x; ) = P(X=x) = x.e -  / x! O processo de Poisson Ocorrência de um acontecimento num intervalo de tempo ou de espaço. 1) Número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são v.a. independentes; 2) O número de ocorrências depende da dimensão do intervalo e não da sua posição; 3) A probabilidade de se verificarem duas ou mais ocorrências é negligenciável. E(X) = Var(X) = A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson quando n   e p  0 com = npq VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

30 Na v.a. de Poisson considera- se a ocorrência de acontecimentos em intervalos de espaço ou de tempo. Ex: qual é a probabilidade de ter amostras com 0, 1, 2, 3,..., n lagartas da pastagem. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Bioestatística Na v.a. binomial considerava- se a ocorrência de sucessos (Ex: amostras com lagarta das pastagens) e de insucessos (Ex: amostras sem lagarta das pastagens). Atenção !!


Carregar ppt "Variáveis Aleatórias O cálculo de probabilidades é mais expedito quando a cada acontecimento corresponde um número. Uma variável aleatória, X(.) é uma."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google