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The One-dimensional Cutting Stock Problem with Usable Leftovers and Handling Constraints: a Case Study Kelly Cristina Poldi, Gerhard Wäscher Otto-von-Guericke-Universität.

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1 The One-dimensional Cutting Stock Problem with Usable Leftovers and Handling Constraints: a Case Study Kelly Cristina Poldi, Gerhard Wäscher Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

2 2 Conteúdo Apresentação da empresa Definição do problema Modelo matemático Método de solução Exemplos Perspectivas

3 3 Motivação Produção de lamelado colado (“glued laminated timbers”) para atender mercado internacional Nordlam GmbH, in Magdeburg. Nordlam GmbH Localizada em Magdeburg

4 4 Magdeburg está situada no coração da Europa, com excelente conexão internacional (rodovia, ferrovia e navegação fluvial). Nordlam GmbH

5 5 Logística – Rio Elba Rio Elba: nasce na República Tcheca, desagua no Mar do norte, em Hamburgo, no maior porto da Alemanha. República Tcheca. Porto em Hamburgo. Aqueduto de 918m. (228m sobre a água) Wasserstraßenkreuz

6 6 Produtos: Lamelados Colados Resistência à incêncio (embora metal não queime, ele deforma rapidamente); Resistência a terremoto (tipo de encaixe); Transferência de calor. Meio-ambiente: recurso renovável, enquanto metal consome muita energia (recurso não- renovável) para ser produzido. Madeira x Metal

7 7 Produtos

8 8 Classificação Dimensão: Produtos Firmeza: BS11, BS14, BS16, BS18 Qualidade: view (85%) industry (15%)

9 9 Objetos são estocados em diferentes cassetes (aprox. 990 cassetes); Perda aceitável de até 2000mm; Sobra de 8000mm a 19999mm. Informações adicionais

10 10 Cherri, A. C., Arenales, M. N., Yanasse, H. H. (2008). The one dimensional cutting stock problem with usable leftover – a heuristic approach. EJOR. Literatura Gradisar, M., et al. (1997). Optimization of roll cutting in clothing industry. C&OR. Constrói padrões de corte adicionando-se e retirando-se itens no padrão. Algoritimos baseados em níveis de apiração. Abuabara, A., Morabito, R. (2008). Cutting optimization of structural tubes to build agricultural light aircrafts. AOR Indústria de aeronaves. Koch, S.; König, S.; Wäscher, G. (2008). Linear Programming for a Cutting Problem in the Wood Processing Industry – A Case Study. Working paper. Padrões de corte gerados a priori.

11 11 Formulação matemática Custo de movimentação de cassetes Custo de padrão de corte

12 12 Formulação matemática

13 13 Um padrão de corte p (p  P(j)) para um objeto tipo j é representado por um vetor: que satisfaz: Um padrão de corte é factível factível quando:  não há perda:  Perda aceitável:  Sobra: Padrões de corte

14 14 n = m + m’ m m’ A=A= NB 1. Partição básica 2. Solução básica inicial : 3. Variáveis duais: multiplicadores simplex 4. Custos relativos: 5. Direção simplex 6. Tamanho do passo 7. Atualização e volta ao passo 3. Dantzig: Método de solução: Simplex com GC

15 15 Custos relativos Custos relativos: Problema da mochila: zjzj Custo relativo é dado por: Minimizar custos totaisFunção objetivo

16 16 Problema Mestre Relaxado (PMR) Subproblema tipo 1 (SP1) Padrão de corte Procedimento para a solução Resolver o PCE usando geração de colunas, com ILOG Concert. Subproblema tipo 2 (SP2) Padrão de corte com sobra

17 17 (a)Construir o Problema Mestre Relaxado (com padrões de corte homogêneos). (b)A cada iteração, resolve-se os Subproblemas tipo 1 e tipo 2, para todos os objetos em estoque, em todos os cassetes. A melhor solução para cada subproblema (menor custo relativo) é adicionada ao Problema Mestre. Porém, todas as colunas são armazenadas. Quando o processo de geração de colunas termina, tem-se uma solução fracionária para o PMR e todas as colunas que foram geradas no processo. (c)Converte-se o PM em um problema inteiro a adiciona-se as variáveis binárias y k relativas ao movimento de cassetes. (d)Resolve-se o PM e obtém-se uma solução inteira para o problema. Procedimento

18 18 Custo de movimentação: 6€ por movimentação de cassete Custo de material: 320€/m 3 Custo de sobra: 5% do custo do material ONMAX: 50% da disponibilidade do objeto padrão Perda aceitável: 2000 mm Sobra aceitável: entre 8000 mm e mm Dados da empresa

19 19 Exemplo Itens demandados Comprimento Número Cassete mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm748 Grupo: BS11 80 x 180 view

20 20 Solução para o exemplo Freq Cassete Perda/sobra (mm) Custo por padrão (€) , , , ,00921 Custo material=4.10€ Custo mov=12.00€ Total=16.10€ Perda=482 mm(0,46%) Sobra=8160 mm

21 21 Experimentos computacionais 53 grupos de produtos

22 22 Experimentos computacionais deaté Número de tipos de itens216 Número de tipos de objetos582 Número de cassetes113 Média (53 exemplos): Perda 748 mm3,44€0,71% Sobra18324 mm4,22€ Número de cassetes1,649,84€ Função objetivo17,51€ Tempo computational 4,7 s

23 23 Conclusões e Perspectivas Um problema prático foi modelado e uma abordagem por geração de colunas foi desenvolvida para resolvê-lo. A abordagem desenvolvida foi capaz de resolver todos os problemas fornecidos pela empresa em um tempo computacional aceitável e também apresentou solução de qualidade (min valor da f.o.). Testes com variação no parêmetro ONMAX. Comparação com solução ótima.

24 Obrigada!


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