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Resistências dos Materiais 1 TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES Introdução Geral Todas as fórmulas fundamentais para determinar das tensões em uma seção de um elemento.

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1 Resistências dos Materiais 1 TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES Introdução Geral Todas as fórmulas fundamentais para determinar das tensões em uma seção de um elemento estrutural já foram bem estabelecidas em capítulos anteriores: Fórmulas que permitem a determinação das tensões normais; Fórmulas que permitem a determinação das tensões de cisalhamento; Superposição ou composição de tensões.

2 2 No entanto, em certos casos, tensões normais e de cisalhamento podem agir SIMULTANEAMENTE em um elemento de uma peça estrutural. EX.: eixo circular que transmite torção com uma força normal (todos os seus elementos com exceção dos situados no centro das seções) estão SIMULTANEAMENTE submetidos a tensões de cisalhamento devido a torção e a tensões normais, devido à força normal. tensões normais e tensões de cisalhamento ESTADO DE TENSÃO

3 3

4 4 O estado de tensão mais geral em um ponto qualquer (Q) pode ser representado por 6 componentes: O mesmo estado de tensão é representado por um conjunto de componentes diferentes se o sistema de eixos rotacionar.

5 5 Portanto, o principal objetivo dessa primeira parte dos estudo de transformação de tensões é determinar DE QUE MANEIRA SE TRANSFORMAM AS COMPONENTES DAS TENSÕES QUANDO OCORRE UMA ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS.

6 6 Estado Plano de Tensão Nossa dedução da lei de transformação das tensões se voltará principalmente para o ESTADO PLANO DE TENSÕES O ESTADO PLANO DE TENSÃO ocorre quando duas faces do elemento cúbico são livres de tensões. Para o exemplo ilustrado, se adotarmos o eixo z perpendicular a essas duas faces teremos:

7 7 O estado plano de tensões ocorre numa placa fina submetidas a forças atuando no ponto central. O estado plano de tensões também ocorrem nas três faces de um elemento estrutural ou componente de máquina, i.e., em algum ponto da superfície não submetido a força externa.

8 8 A ideia é determinar as componentes de tensão normal e de cisalhamento, referentes a rotação do cubo elementar, no plano.

9 9 Considerar a condição para o equilíbrio de um elemento prismático com faces perpendiculares ao eixos x, y e x` As equações podem ser reescritas para o campo de tensões:

10 10 Direção e Intensidade da Máxima Tensão Normal O interesse é geralmente dirigido à determinação dos maiores valores possíveis das tensões normais (tensões principais) e os planos sobre os quais ocorrem essas tensões (planos principais). Estas equações se relacionam com as equações paramétricas de uma circunferência.

11 11 Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos o ponto M de abscissa  x’ e ordenada  x’y’, para qualquer valor do parâmetro , vamos sempre obter um ponto que se encontra em uma circuferência.

12 12 Ponto A = máximo valor da tensão normal. Ponto B = mínimo valor da tensão normal. Para esses mesmos pontos, a tensão de cisalhamento é nula.

13 13 Direção e Intensidade da Máxima Tensão de Cisalhamento Ponto D e E = corresponde ao máximo valor da tensão de cisalhamento. OBS: tg 2  c é o inverso negativo de tg 2  s Os planos de máxima tensão de cisalhamento formam ângulos de 45 com os planos principais.

14 14 Exemplo 01 Para o estado de tensão mostrado, determine: a) o plano principal; b) a tensão principal; c) a tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal. SOLUÇÃO: Encontrar a orientação para as tensões principais: Determinar as tensões máxima e mínima: Calcular a tensão de cisalhamento máxima

15 15 Solução: Encontrar a orientação do elemento das tensões principal, Determinar as tensões principais

16 16 Cálculo de tensão de cisalhamento máxima A correspondência tensão normal é,

17 17 Exemplo 02 Uma força horizontal P de 150lb é aplicada na extremidade D da alavanca ABD. Determine: (a) as tensões normal e de cisalhamento em um elemento no ponto H, possuindo lados paralelos aos eixos x e y; (b) os planos principais e as tensões principais no ponto H.

18 18 Solução: Determinar uma força equivalente no sistema no centro da seção transversal passando por H Tensões normais e de cisalhamento em H:

19 19 Determinação dos planos principais e das tensões principais. Planos Principais: Tensões Principais

20 20 Ciclo de Mohr para o Estado Plano de Tensões O traçado do denominado círculo de Mohr é um método gráfico que pode ser utilizado para determinar as tensões normais e de cisalhamento que atuam num plano genérico, cuja normal faz um ângulo θ com a direção X,

21 21 Define-se o elemento com as tensões,  x,  y e  xy ; Adota-se o sistema de eixos (  ;  ) paralelos aos eixos xy; Marcam-se no sistema os pontos X = (  x ; -  xy ) e Y = (  y ;  xy ) ; Unem-se os dois pontos por uma reta que vai cortar o eixo σ no ponto C; Desenha-se o círculo de centro C e diâmetro XY. Para a construção do círculo de Mohr segue-se o seguinte roteiro básico:   (  x, -  xy ) (  y ;  xy )   (  x, -  xy ) (  y ;  xy ) C   (  x, -  xy ) (  y ;  xy ) C

22 22 centro = (  méd ; 0)

23 23 Informações obtidas apartir do traçado do Círculo de Mohr Planos Principais e Tensões Principais Normais: Cisalhamento:

24 24 Com o Círculo de Mohr definido, outros estados de tensões em outras orientações podem ser descrito. Para o estado de tensões um ângulo  com relação aos eixos xy, constrói-se um novo diâmetro x’y’ com ângulo de 2  com os eixos xy. As tensões normal e de cisalhamento são obtidas das coordenadas X’Y’.

25 25 Círculo de Mohr para carregamento concêntrico axial Círculo de Mohr para carregamento de torção

26 26 Exemplo 03 Para o estado de tensão mostrado, determine: a) o plano principal; b) a tensão principal; c) a tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal.

27 27 Tensões principais Planos principais SOLUÇÃO: Construção do círculo de Mohr

28 28 Tensão máxima de cisalhamento

29 29 Exemplo 04 SOLUÇÃO: Construção do circulo de Mohr Determinar, para o estado plano de tensão indicado: a) os planos principais e as tensões principais; b) as componentes de tensões que se exercem no elemento obtido rodando-se o elemento dado de 30 º, no sentido horário

30 30 Tensões e plano principais

31 31 Componentes de tensões após rotação de 30 º Os pontos X’e Y’, que correspondem as tensões no elemento girado de 30 º, são obtido girando XY, no sentido anti- horário de 2  =60 o


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