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Cálculo Diferencial e Integral A Derivada de uma função: Definição Me. Gilcimar Bermond Ruezzene.

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1 Cálculo Diferencial e Integral A Derivada de uma função: Definição Me. Gilcimar Bermond Ruezzene

2 O conceito foi introduzido em meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de problemas de Física. Destacam-se Isaac Newton, Leibniz e Lagrange. Mais tarde essas idéias foram introduzidas em outras áreas. Derivadas

3 3 Considere uma função f(x) e sejam x 0 e x 1 dois pontos de seu domínio Sejam f(x 0 ) e f(x 1 ) as correspondente imagens x0x0 ΔxΔx ΔyΔy x1x1 f(x 0 ) f(x 1 ) ● ●

4 4 Derivadas Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de x 0 até x 1, ao quociente

5 5 Exemplo1 Seja a função f(x)=x 2, o ponto inicial de abscissa x 0 =1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é: Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x 0 =1), a variação de f será 4 vezes maior, pois Δf=8, enquanto Δx=2.

6 6 Exemplo Suponhamos que um objeto seja abandonado a m de altura e que a função f(t)= t 2 altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos: f(0)=2.000 e f(5)=1.750 Δf 1 =-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m. Δf 2 =f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m.

7 7 Exemplo 3 Para uma mesma variação de t (5 segundos), a variação de altura é diferente. A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado. 1º intervalo: Velocidade média: 2º intervalo: Velocidade média:

8 8 Taxa instantânea Muitas vezes estamos interessados na taxa instantânea de variação de determinado fenômeno. Por exemplo: velocidade de um objeto num determinado instante (velocidade instantânea).

9 A derivada representa a função que expressa a variação de uma função

10 Podemos calcular a média de variação entre os dois pontos. Mas, isso é apenas uma estimativa...Mas...

11 Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais. Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x para x + Δx : m=

12 Derivada: Definição ou

13 Taxas de variação: Derivada em um Ponto A expressão É chamada de quociente de diferença de f em x 0 com incremento h. Se o quociente de diferença tem um limite quando h tende a zero, esse limite é chamado de derivada de f em x 0. Se interpretamos o quociente de diferença como um coeficiente angular da secante, a derivada nos dá o coeficiente angular da tangente e da curva no ponto onde x = x 0. Se interpretamos o quociente de diferença como uma taxa média de variação, a derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a x no ponto x = x 0. A derivada é uma das mais importantes ferramentas matemáticas usadas em cálculo.

14 Todas estas afirmações referem-se à mesma coisa 1. O coeficiente angular de y = f (x) em x = x O coeficiente angular da tangente à curva y = f (x) em x = x A taxa de mudança de f (x) em relação a x em x = x A derivada de f em x = x 0. 5.

15

16 Uma reta tangente à função, no ponto em que ela toca na curva, ela é a derivada da referida função.

17 Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada 1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h). 2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença 3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o Limite:

18 Reta Tangente Nas figuras abaixo vemos o gráfico de uma função f em uma vizinhança de um ponto P, de uma para outra figura aumentamos o "zoom" para melhor observar o gráfico próximo do ponto P. Observe que bem próximo do ponto P o gráfico se parece com a parte de uma certa linha reta ; e esta linha é o que chamamos reta tangente.

19 Reta tangente ao gráfico

20 Exemplo 1 – Aplicando a Definição a) Encontre a derivada de e 1) e 2) 3) b) Determine a reta tangente que passa pelo ponto (9,3).

21 Exemplos: 1)Utilizando a definição, determine a derivada da função em um ponto dado. Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele ponto : a) y= x, (3,2); b) f(x) = x 2, (2,4); determine f’(-2); f’(3). c) f(x) = x 3,(2,8); determine f’(5); f’(1). d) y = x 2 +4x+4, (-1,1); f’(-1); f’(2).

22 Exercícios Thomas, George B. Cálculo. V1, Ed.12ª.São Paulo: Pearson Education do Brasil, Página: 120 exercícios de 11 à 20 exceto 16 e 18. Página: 126 exercícios de 1 à 16, apenas os ímpares.


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