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1 Lógica de Predicados BCC101 Matemática Discreta I.

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Apresentação em tema: "1 Lógica de Predicados BCC101 Matemática Discreta I."— Transcrição da apresentação:

1 1 Lógica de Predicados BCC101 Matemática Discreta I

2 2 O que é um Predicado?  Predicado  Coleção parametrizada de proposições  Exemplos: P(x): x é par D(x,y): x é divisível por y  Tipicamente uma proposição diferente para cada x P(2) é True P(5) é False D(10,5) é True D(20,3) é False  Domínio (ou universo de discurso) Conjunto de valores que as variáveis podem assumir Deve ser especificado explicitamente

3 3 Conjunto verdade de um Predicado Seja P(x) um predicado e suponha que P(x) tem domínio D O conjunto verdade de P(x) é o conjunto dos x  D tais que P(x) é True { x  D | P(x) }  Exemplo  P(x): 5

4 4  — Quantificador Universal, (para todo)   x p(x)  É uma fórmula se p(x) é uma fórmula  True se p(x) é True para cada valor de x no Domínio  False se existe algum valor de x no Domínio tal que p(x) é False  Exemplo – P(x): x é primo  D = {2,5,11} -  x P(x) é True  x P(x) significa P(2)  P(5)  P(11)  D = {3,6,9} -  x P(x) é False Contra-exemplos: P(6) e P(9)  D = N = {0, 1, 2, … } -  x P(x) é False  x P(x) significa P(0)  P(1)  P(2)  … “  ” provê uma maneira de escrever fórmulas que teriam um número infinito de símbolos na Lógica Proposicional

5 5  — Quantificador Existencial, (existe)   x p(x)  É uma fórmula se p(x) é uma fórmula  True se p(x) é True para algum valor de x no Domínio  False p(x) é False para todo valor de x no Domínio  Exemplo – P(x): x é primo  D = {3,6,9} -  x P(x) é True  x P(x) significa P(3)  P(6)  P(9)  D = {6,9,15,28} -  x P(x) é False  x P(x) significa P(6)  P(9)  P(15)  P(28)  D = N = {0, 1, 2, … } -  x P(x) é True  x P(x) significa P(0)  P(1)  P(2)  … “  ” provê uma maneira de escrever fórmulas que teriam um número infinito de símbolos na Lógica Proposicional

6 6 Universo Vazio  Qual o significado de  x p(x) se o universo de discurso é vazio?   x p(x) é True  Isso é compatível com o fato de que o  é uma generalização do ∧ e a identidade do ∧ é true.  Qual o significado de ∃ x p(x) se o universo de discurso é vazio?  ∃ x p(x) é False  Isso é compatível com o fato de que o ∃ é uma generalização do ∨ e a identidade do ∨ é false.

7 Exercícios  P(0)  P(1)  P(2)  P(-1)  P(y)   x P(x)   x P(x)   x  P(x)   x  P(x)   x  P(x) 7  Seja P(x): x == x 2 e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir:

8 Fórmulas com vários quantificadores  Seja N o domínio de discurso N = {0, 1, 2, 3, … } e se R (x,y ) = “ x < y ”. Q1: O que significa  x  y R (x,y ) ?  Todo número x admite um número maior y  Verdadeiro ou falso? Q2: O que significa  y  x R (x,y ) ?  Algum número y é maior que todo x  Verdadeiro ou falso? 8 Inverter a ordem dos quantificadores  e  em uma fórmula pode alterar seu sifnificado

9 Fórmulas com vários quantificadores   x.  y. p(x,y) é True se p(x,y) é True para todo par (x,y) em DxD  Exemplo (D = N):  x  y y=x+1 -> x < y é True   x.  y. p(x,y) é True se, para cada x ∈ D, é possível escolher um y ∈ D tal que p(x,y) é True  Exemplos (D = N):  x  y y ≥ x é True   y.  x. p(x,y) é True se existe um determinado y ∈ D, tal que p(x,y) é True, para todo x ∈ D  Exemplo (D = N):  y  x y ≥ x é False   y.  x. p(x,y) é True se existe um par (x,y) ∈ DxD tal que p(x,y) é True  Exemplo(D = N):  y  x y ≥ x é True 9

10 Exercícios  Q(1,1)  Q(2,0)   y Q(1,y)   x Q(x,2)   y Q(2,y)   x Q(x,y)   x  y Q(x,y)   x  y Q(x,y)   x  y Q(x,y)   y  x Q(x,y)   y  x Q(x,y) 10  Seja Q(x,y): x+y == x-y e suponha que o universo é o conjunto dos números inteiros. Qual é o valor verdade de cada uma das afirmações a seguir:

11 Lógica de Predicados – sintaxe formal 11 formula ::= true | false |pred (termo 1, …, termo n ) n ≥ 0 |(¬ formula) |(formula ∧ formula) |(formula ∨ formula) |(formula -> formula) |(formula formula) |(  var. formula) |(  var. formula) Termos denotam objetos do Domínio Fórmulas denotam valores lógicos (T ou F) termo ::= var | func (termo 1, …, termo n ) n ≥ 0 Precedência dos operadores

12  Termos denotam objetos do domínio 12 Termos funções aplicadas a termos x+2 (y+1) 2 constantes 2 5 variáveisx y Domínio = N Lógica de Predicados - semântica

13  Fórmulas denotam valores lógicos 13 Fórmulas x > y (x > y) -> (y+1 = 3)  x x=3 Bool T F Lógica de Predicados - semântica  x x+3=2y A interpretação depende dos valores de x e y -- x e y são variáveis livres x=3, y=6 T ou F? A interpretação não depende do valor de x! -- x é uma variável ligada A interpretação não depende do valor de x, mas depende do valor de y! -- x é uma variável ligada e y é livre

14 Variáveis livres e ligadas 14 variável ligadavariável livre escopo de ocorrência ligadaocorrência livre

15 Traduzindo para Lógica de Predicados G(x,y): x gosta de y 1.João gosta de Maria 2.João gosta de todo mundo 3.Todo mundo gosta de João 4.Maria gosta de alguém 5.Maria não gosta de ninguém 6.Todo mundo gosta de alguém 7.Ninguém gosta de todo mundo 8.João gosta de todo mundo de quem Maria não gosta 15 G(João,Maria)  y G(João,y)  x G(x,João)  y G(Maria,y) ¬  y G(Maria,y)  y ¬ G(Maria,y) → G(João,y)  x  y G(x,y)  x  y ¬ G(x,y)

16 Exercícios  Traduza a seguinte sentença para a Lógica de Predicados: Todo número par maior que 2 é a soma de 2 primos 16 ∀ x. par(x) ∧ x>2 → ∃ y. ∃ z. primo(y) ∧ primo(z) ∧ x=y+z


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