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Capítulo 4: Matrizes e Sistemas lineares Aula 14  Definição de matrizes;  Tipos de matrizes;  Operações com matrizes;  Propriedades;  Exemplos e exercícios.

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1 Capítulo 4: Matrizes e Sistemas lineares Aula 14  Definição de matrizes;  Tipos de matrizes;  Operações com matrizes;  Propriedades;  Exemplos e exercícios. 1

2 Matrizes Definição: 2

3 Matrizes 3

4 4 Tipos de matrizes mxn 1. Matriz linha: é a matriz mxn que possui m = 1. mxn 2. Matriz coluna: é a matriz mxn que possui n = 1. mxn 3. Matriz quadrada: é a matriz mxn na qual m = n. mxn 4. Matriz retangular: é a matriz mxn na qual m ≠ n.

5 5 Tipos de matrizes mxn 5. Matriz nula: é a matriz mxn que possui todos elementos iguais a zero. 6. Matriz triangular: é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. 7. Matriz diagonal: é uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero. 8. Matriz Identidade: uma matriz quadrada (A ij ) mxn é dita identidade se e somente se a ij = 1 se i=j e a ij = 0 se i ≠ j.

6 6 mxn 8. Matriz oposta: é a matriz mxn que possui todos os elementos com sinal oposto a matriz original. nxm mxn 9. Matriz transposta: é a matriz nxm na qual os elementos da linha da matriz eram elementos da coluna da matriz original mxn. mxn 10. Matriz simétrica: é a matriz mxn tal que: mxn 11. Matriz anti-simétrica: é a matriz mxn tal que: Tipos de matrizes

7 7 Exemplo: Dadas as matrizes A e B: Sabendo que A é simétrica e B anti-simétrica, determine o valor de S. S = a + b + c + d + e + f A é simétrica  a = 4 e b = 3. B é anti-simétrica  d = 1, e = –3, c = f = 0 Portanto, S = (– 3) + 0 = 5. Resposta: 5 Solução:

8 8 Operações com matrizes Exemplo: Calcule x, y e z de modo que se tenha x 2 = 4x = ± 2 x = 2 x – y = 1y = 1 x = 2 y + z = 8 z = 7 y = 1 1. Igualdade de matrizes:

9 9 Operações com matrizes 2. Adição e subtração de matrizes: Exemplo: Sendo Solução:

10 10 Operações com matrizes Exemplo: Dadas as matrizes: Obtenha a matriz X tal que 2 ⋅ X t + 2 ⋅ A = B 2 ⋅ X t = B – 2A Solução:

11 11 Operações com matrizes 3. Multiplicação de matrizes por escalar: Exemplos...

12 12 Operações com matrizes 4. Multiplicação de matrizes: Sejam as matrizes A = (a ij ) m x n e B = (b ij ) n x p. Define-se produto de A por B (nesta ordem) como sendo a matriz C = (c ij ) m x p onde cada elemento c ij de C é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B e somando-se os produtos obtidos. c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a in b nj Observamos que: Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. = A.B  A m x n · B n x p m x p = C m x p

13 13 Operações com matrizes Exemplo: Obter o produto das matrizes em cada caso abaixo. Exemplo: Qualificar como V (verdadeiro) ou F (falso). a) ( ) Se existe o produto da matriz A pela matriz B, então existe o produto de B por A. b) ( ) Se existe o produto da matriz A pela matriz B e existe o produto de B por A, então AB = BA. c) ( ) Existe o produto da matriz A pela transposta de A. d) ( ) Se o produto da matriz A pela matriz B é uma matriz nula, então A ou B é nula. d) resolução

14 14 Operações com matrizes Exemplo: Dadas as matrizes obtenha a matriz X tal que A.X = B. = A 2 x 2 ⋅ X 2 x 1 2 x 1 Solução: 2.a + 0.b = 2 → a = 1 1.a – b = – 1 → b = 2

15 15 Propriedades

16 16 Propriedades

17 17 Exercícios

18 18 Exercícios

19 19 Exercícios

20 20 Exercícios 8. O valor de x para que as matrizes sejam comutáveis é: a) 0 b) 1c) –1d) 2e) –2 9. Considere a matriz. Sabendo-se que, conclui-se que o número real a pode ser: a) b) c) 2d) – e) – Lista exercícios...

21 Capítulo 4: Matrizes e Sistemas lineares Aula 15  Definição de sistema linear;  Método de Gauss-Jordan;  Exemplos e exercícios. 21

22 22 Sistemas lineares

23 23 Sistemas lineares

24 24 Sistemas lineares

25 25 Sistemas lineares Exemplo 1: Exemplo 2: Em um estacionamento temos motos e carros. A soma das unidades no estacionamento é igual a 20. A quantidade de pneus no estacionamento é igual a 60. Qual a quantidade de carros e motos neste estacionamento? x + y = 20 x = carros ; y = motos 4x + 2y = 60 A solução do sistema acima é x = 10 e y = 10 (verifique).

26 26 Sistemas lineares Exemplo 3:

27 27 Sistemas lineares Solução de uma equação linear: A solução de uma equação linear a 1 α 1 + a 2 α a n α n = b é toda ênupla (seqüência de n elementos) de números (α 1, α 2,...,α n ) t al que a sentenca a 1 α 1 + a 2 α a n α n = b seja verdadeira. Se não existe tal ênupla, dizemos que a equação é impossível. Exemplos... Classificação de um sistema linear: Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções que existir. SPD ( Sistema possível e determinado): é todo sistema que admite uma única solução. SPI (Sistema Possível e indeterminado): é todo sistema que admite mais de uma solução. Se um sistema admite mais de uma solução então ele admite infinitas soluções. SI (Sistema indeterminado): é todo sistema linear que não admite solucao alguma. Exemplos...

28 28 Sistemas lineares Sistema linear homogêneo: Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos ( b n = 0 em (1) ), o sistema é chamado homogêneo. ( 1 ) Uma solução evidente deste sistema homogêneo é a chamada solução trivial, na qual todas as variáveis são tomadas como nulas. Num sistema linear homogêneo existe, sempre, pelo menos uma solução que é a trivial, que consiste em todas as variáveis iguais a zero. Se existirem outras, além da trivial, são chamadas de não-triviais. Exemplos... = 0 Exercícios...

29 29 Solução de sistemas lineares 1. Método de Gauss-Jordan

30 30 Gauss-Jordan

31 31 Gauss-Jordan

32 32 Gauss-Jordan

33 33 Gauss-Jordan Exemplo:

34 34 Gauss-Jordan Exemplo:

35 35 Gauss-Jordan

36 36 Gauss-Jordan Exemplo:

37 37 Gauss-Jordan

38 38 Gauss-Jordan

39 39 Exercícios 1. 2.

40 40 Exercícios

41 Capítulo 4: Matrizes e Sistemas lineares Aula 15  Método Fatoração LU  Método da matriz inversa;  Exemplos e exercícios. 41

42 42 Fatoração LU

43 43 Fatoração LU Exemplo:

44 44 Exercícios Determine a solução da matriz formada pelo sistema abaixo, usando o método fatoração LU. Seja a matriz A formada por, resolva o sistema AX=B pelo método fatoração LU e pelo método escada, comparando os resultados. OBS: A matriz dos coeficientes deste sistema é dada por: B = [1 2 4] T

45 45 Matriz inversa Uma pequena modificação no método de Gauss-Jordan dá origem a um método para determinar a inversa de uma matriz. Neste caso, ao invés de adicionar apenas um vetor à matriz aumentada, adiciona-se a matriz identidade do lado direito de A, resultando [ A ⁞ I ]. Uma sucessão de operações com as linhas é realizada para eliminar tanto os elementos acima como os abaixo da diagonal da matriz aumentada. O objetivo é obter a matriz identidade do lado esquerdo e os vetores solucão do lado direito da matriz aumentada, resultando [ I ⁞ inv(A) ]. Esquema:

46 46 Matriz inversa

47 47 Matriz inversa

48 48 Matriz inversa

49 49 Matriz inversa

50 50 Matriz inversa

51 51 Matriz inversa Exemplo 3:

52 52 Exercícios

53 53 Exercícios 4. 5.

54 Referência Bibliógráfica Material de apoio da disciplina de Equações Diferenciais. Professora Daniela Buske. 54


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