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CÔNICAS Cônicas 2 CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS CÔNICAS NÃO DEGENERADAS Cônicas 3.

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Apresentação em tema: "CÔNICAS Cônicas 2 CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS CÔNICAS NÃO DEGENERADAS Cônicas 3."— Transcrição da apresentação:

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2 CÔNICAS

3 Cônicas 2 CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS

4 CÔNICAS NÃO DEGENERADAS Cônicas 3

5 Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um plano. Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um plano. Cônicas 4 CÔNICAS

6 Cônicas 5

7 6

8 7

9 Vamos definí-las como conjunto de pontos que satisfazem certas propriedades e determinar as equações na forma mais simples. Vamos definí-las como conjunto de pontos que satisfazem certas propriedades e determinar as equações na forma mais simples. Cônicas 8

10 ELIPSE 9

11 DEFINIÇÃO Dados dois pontos F 1 e F 2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(P,F 1 )+d(P,F 2 )=2a. Dados dois pontos F 1 e F 2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(P,F 1 )+d(P,F 2 )=2a. Cônicas 10

12 ELIPSE Cônicas 11 Elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a

13 Cônicas 12 ELIPSE

14 Focos: são os pontos F 1 e F 2, Focos: são os pontos F 1 e F 2, Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F 2, Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F 2, Vértices: são os pontos A 1, A 2, B 1 e B 2, Vértices: são os pontos A 1, A 2, B 1 e B 2, Eixo maior: é o segmento A 1 A 2 de comprimento 2a ( o segmento A 1 A 2 contém os focos e os seus extremos pertencem a elipse), Eixo maior: é o segmento A 1 A 2 de comprimento 2a ( o segmento A 1 A 2 contém os focos e os seus extremos pertencem a elipse), Eixo menor: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2b (B 1 B 2 ḻ A 1 A 2 no seu ponto médio). Eixo menor: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2b (B 1 B 2 ḻ A 1 A 2 no seu ponto médio). Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c

15 Cônicas 14 Equação Reduzida da Elipse Eixo maior sobre o eixo dos x: Eixo maior sobre o eixo dos x: Eixo maior sobre o eixo dos y Eixo maior sobre o eixo dos y Relação fundamental: Relação fundamental:

16 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x: Proposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é Cônicas 15

17 Cônicas 16 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x: a c

18 Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é Cônicas 17 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos y:

19 Cônicas 18 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo maior sobre o eixo dos y: a c

20 OBSERVAÇÕES Como temos que. Como temos que. Então, sempre o maior dos denominadores da equação reduzida representa o número onde a é a medida do semi-eixo maior. Então, sempre o maior dos denominadores da equação reduzida representa o número onde a é a medida do semi-eixo maior. E mais, se na equação da elipse o número é denominador de, a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo x. E mais, se na equação da elipse o número é denominador de, a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo x. Cônicas 19

21 EXEMPLOS 1. Determinar: a medida dos semi-eixos, um esboço do gráfico, os focos e a excentricidade: (a)(b) Cônicas 20

22 2. Deduza uma equação da elipse de focos F1 = (-3, 0) e F2 = (0, 4) e eixo maior Determine a equação da elipse que tem centro C(0,0), um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0). Cônicas 21 EXEMPLOS

23 APLICAÇÕES 22 A figura mostra os planetas girando em torno do Sol. Foi o astrônomo e matemático Johannes Kepler ( ) que formulou 3 leis que regem o movimento planetário. Uma delas diz que um planeta gira em torno do Sol em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.

24 Cônicas 23APLICAÇÕES No caso da Terra os semi-eixos são a = km e b = km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra: (quase uma circunferência)

25 Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos) Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos) Cônicas 24APLICAÇÕES

26 Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias. Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias. Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos). Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos). Cônicas 25 APLICAÇÕES

27 HIPÉRBOLE Cônicas 26

28 Cônicas 27 Dados dois pontos F 1 e F 2 chamamos hipérbole o conjunto dos pontos P do plano tais que |d(P,F 1 ) - d(P,F 2 )|=2a (0<2a<2c, 2c= d(F 1,F 2 ) ). DEFINIÇÃO

29 Elementos da Hipérbole Focos: são os pontos F 1 e F 2, Focos: são os pontos F 1 e F 2, Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F 2, Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F 2, Vértices: são os pontos A 1 e A 2, Vértices: são os pontos A 1 e A 2, Eixo Real ou transverso: é o segmento A 1 A 2 de comprimento 2a, Eixo Real ou transverso: é o segmento A 1 A 2 de comprimento 2a, Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2b, Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2b, Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1. Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1. Cônicas 28

30 Eixo real sobre o eixo dos x: Eixo real sobre o eixo dos x: Eixo real sobre o eixo dos y: Eixo real sobre o eixo dos y: Cônicas 29 Equação Reduzida da Hipérbole

31 Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é Cônicas 30 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:

32 Cônicas 31 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:

33 Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é Cônicas 32 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:

34 Cônicas 33 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:

35 Cônicas 34 Assíntotas As retas são chamadas assíntotas da hipérbole. São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos.

36 EXEMPLO 1. Determinar na hipérbole a) a) A medida dos semi-eixos b) b) Um esboço gráfico c) c) Os vértices d) d) Os focos e) e) A excentricidade f) f) As equações das assínotas Cônicas 35

37 Cônicas 36 EXEMPLO 2. Determinar na hipérbole a) a) A medida dos semi-eixos b) b) Um esboço gráfico c) c) Os vértices d) d) Os focos e) e) A excentricidade f) f) As equações das assínotas

38 3. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida 6. R: 4. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(-2,1) e F2(1,3) e eixo real 2. R: Cônicas 37 EXEMPLO

39 Recentemente, experimentos físicos mostraram que partículas carregadas atiradas em núcleos de átomos se espalham ao longo de trajetórias hiperbólicas. Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol). Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco). Cônicas 38 APLICAÇÕES

40 O O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole. Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão). Cônicas 39APLICAÇÕES

41 Cônicas 40 APLICAÇÕES

42 PARÁBOLA Cônicas 41

43 Cônicas 42 Parábola Dados um ponto F e uma reta d, com, seja p = d(F,d). Chamamos parábola o conjunto dos pontos P do plano que são equidistantes de F e d, i. é., d(P,F)= d(P,d).

44 Cônicas 43 Parábola

45 Cônicas 44 Elementos da Parábola Foco: é o ponto F, Foco: é o ponto F, Diretriz: é a reta d, Diretriz: é a reta d, Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz, Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz, Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com seu eixo, Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com seu eixo, d(V,F)=d(V,A) d(V,F)=d(V,A)

46 Cônicas 45 Equação Reduzida da Parábola O eixo da parábola é o eixo dos y: Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para cima e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para baixo.

47 Cônicas 46 Equação Reduzida da Parábola O eixo da parábola é o eixo dos x: Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda.

48 1. Achar as coordenadas do foco e a equação da diretriz das parábolas a) b) Cônicas 47 EXEMPLO

49 2. Determine a equação da parábola sabendo que: a) Vértice V(0,0) e foco F(-1,0) b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima. Cônicas 48 EXEMPLO

50 (a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola. Cônicas 49APLICAÇÕES

51 Cônicas 50 APLICAÇÕES (b) Se um espelho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo). Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e confluem para o retransmissor).

52 (c) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola. Cônicas 51 APLICAÇÕES

53 TRANSLAÇÃO DE EIXOS Cônicas 52

54 Translação de Eixos Consideremos no plano cartesiano xoy um ponto o’(h,k), arbitrário. Vamos introduzir m novo sistema x’o’y’ tal que os eixos o’x’ o’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos ox e oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos. Cônicas 53

55 Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: x e y em relação ao sistema xoy, x’ e y’ em relação ao sistema x’o’y’. Pela figura anterior, obtemos: x=x’+h e y=y’+k Ou x’=x-h e y’=y-k que são as fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro. Cônicas 54 Translação de Eixos

56 Cônicas 55 Translação de Eixos

57 Cônicas 56 Translação de Eixos

58 Cônicas 57 Translação de Eixos

59 Cônicas 58 Translação de Eixos

60 1º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y. A equação da parábola de vértice V(h,k) é: 2º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x. Cônicas 59 Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema

61 Sabemos que a equação da parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma padrão: Uma equação nessa forma pode ser escrita como: que é chamada forma explícita da equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo dos y. Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é correspondente à forma padrão. Cônicas 60 Equação da Parábola na Forma Explícita

62 Exemplo 1. Determine a equação da parábola de foco em F(1,2) e diretriz d:x=5 Observação: Para completar o quadrado da expressão: somamos o quadrado da metade do coeficiente de y, isto é,. 2. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o foco e a equação da diretriz da parábola Cônicas 61

63 1º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x. A equação da elipse de centro C(h,k) é: 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y. Cônicas 62 Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema

64 1. Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação Cônicas 63 Exemplo

65 1º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x. A equação da hipérbole de centro C(h,k) é: 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y. Cônicas 64 Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do Sistema

66 1. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os vértices e os focos da hipérbole de equação: Cônicas 65 Exemplo

67 Cônicas 66 Exemplo 2. Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e esboçar o gráfico da equação. A) A) B) B) C) C)

68 Cônicas 67 Equação Geral do Segundo Grau

69 Cônicas 68 Equação Geral do Segundo Grau

70 Cônicas 69 Equação Geral do Segundo Grau +

71 Cônicas 70 Equação Geral do Segundo Grau

72 Cônicas 71 Equação Geral do Segundo Grau

73 Cônicas 72 Equação Geral do Segundo Grau Portanto o gráfico de uma equação do segundo grau pode ser: Uma elipse Uma hipérbole Uma parábola Um par de retas Uma única reta Um ponto ou Conjunto vazio De 1 a 6 chamamos cônicas e de 4 a 6 cônicas degeneradas.

74 Cônicas 73 Proposição Proposição: O gráfico de uma equação do 2º grau, isto é, o gráfico de uma equação da forma ax 2 + by 2 +cxy + dx + ey + f = 0, a, b ou c não nulo é uma cônica.

75 Cônicas 74 Sessões Cônicas

76 Cônicas 75 Sessões Cônicas

77 Cônicas 76 Sessões Cônicas

78 Cônicas 77 Sessões Cônicas

79 Cônicas 78 FIM


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