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CÔNICAS.

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Apresentação em tema: "CÔNICAS."— Transcrição da apresentação:

1 CÔNICAS

2 CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS

3 CÔNICAS NÃO DEGENERADAS

4 CÔNICAS Estudaremos as (seções) cônicas, curvas planas que são obtidas da intersecção de um cone circular com um plano. Cônicas

5 Cônicas

6 Cônicas

7 Cônicas

8 Vamos definí-las como conjunto de pontos que satisfazem certas propriedades e determinar as equações na forma mais simples. Cônicas

9 ELIPSE Cônicas

10 DEFINIÇÃO Dados dois pontos F1 e F2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(P,F1)+d(P,F2)=2a. Cônicas

11 ELIPSE Elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a Cônicas

12 ELIPSE Cônicas

13 Elementos da Elipse Focos: são os pontos F1 e F2,
Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2, Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2, Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a ( o segmento A1A2 contém os focos e os seus extremos pertencem a elipse), Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2 ḻ A1A2 no seu ponto médio). Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1. Cônicas

14 Equação Reduzida da Elipse
Eixo maior sobre o eixo dos x: Eixo maior sobre o eixo dos y Relação fundamental: Cônicas

15 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:
Proposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é Cônicas

16 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:
Cônicas

17 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos y:
Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é Cônicas

18 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo maior sobre o eixo dos y:
Cônicas

19 OBSERVAÇÕES Como temos que .
Então, sempre o maior dos denominadores da equação reduzida representa o número onde a é a medida do semi-eixo maior. E mais, se na equação da elipse o número é denominador de , a elipse tem seu eixo maior sobre o eixo x. Cônicas

20 EXEMPLOS Determinar: a medida dos semi-eixos, um esboço do gráfico, os focos e a excentricidade: (a) (b) Cônicas

21 EXEMPLOS 2. Deduza uma equação da elipse de focos F1 = (-3, 0) e F2 = (0, 4) e eixo maior 7. 3. Determine a equação da elipse que tem centro C(0,0), um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0). Cônicas

22 APLICAÇÕES A figura mostra os planetas girando em torno do Sol. Foi o astrônomo e matemático Johannes Kepler ( ) que formulou 3 leis que regem o movimento planetário. Uma delas diz que um planeta gira em torno do Sol em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.

23 APLICAÇÕES No caso da Terra os semi-eixos são a = km e b = km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra: (quase uma circunferência) Cônicas

24 APLICAÇÕES Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos) Cônicas

25 APLICAÇÕES Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias. Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos). Cônicas

26 HIPÉRBOLE Cônicas

27 DEFINIÇÃO Dados dois pontos F1 e F2 chamamos hipérbole o conjunto dos pontos P do plano tais que |d(P,F1) - d(P,F2)|=2a (0<2a<2c, 2c= d(F1,F2) ). Cônicas

28 Elementos da Hipérbole
Focos: são os pontos F1 e F2, Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2, Vértices: são os pontos A1 e A2, Eixo Real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a, Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b, Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1. Cônicas

29 Equação Reduzida da Hipérbole
Eixo real sobre o eixo dos x: Eixo real sobre o eixo dos y: Cônicas

30 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é Cônicas

31 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
Cônicas

32 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é Cônicas

33 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
Cônicas

34 Assíntotas As retas são chamadas assíntotas da hipérbole.
São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Cônicas

35 EXEMPLO 1. Determinar na hipérbole A medida dos semi-eixos
Um esboço gráfico Os vértices Os focos A excentricidade As equações das assínotas Cônicas

36 EXEMPLO 2. Determinar na hipérbole A medida dos semi-eixos
Um esboço gráfico Os vértices Os focos A excentricidade As equações das assínotas Cônicas

37 EXEMPLO 3. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida 6. R: 4. Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(-2,1) e F2(1,3) e eixo real 2. Cônicas

38 APLICAÇÕES Recentemente, experimentos físicos mostraram que partículas carregadas atiradas em núcleos de átomos se espalham ao longo de trajetórias hiperbólicas. Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol). Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco). Cônicas

39 APLICAÇÕES O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole. Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observações de grande precisão). Cônicas

40 APLICAÇÕES Cônicas

41 PARÁBOLA Cônicas

42 Dados um ponto F e uma reta d,
Parábola Dados um ponto F e uma reta d, com , seja p = d(F,d). Chamamos parábola o conjunto dos pontos P do plano que são equidistantes de F e d, i. é., d(P,F)= d(P,d). Cônicas

43 Parábola Cônicas

44 Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz,
Elementos da Parábola Foco: é o ponto F, Diretriz: é a reta d, Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz, Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com seu eixo, d(V,F)=d(V,A) Cônicas

45 Equação Reduzida da Parábola
O eixo da parábola é o eixo dos y: Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para cima e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. Cônicas

46 Equação Reduzida da Parábola
O eixo da parábola é o eixo dos x: Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. Cônicas

47 EXEMPLO 1. Achar as coordenadas do foco e a equação da diretriz das parábolas a) b) Cônicas

48 a) Vértice V(0,0) e foco F(-1,0)
EXEMPLO 2. Determine a equação da parábola sabendo que: a) Vértice V(0,0) e foco F(-1,0) b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima. Cônicas

49 APLICAÇÕES (a) A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola. Cônicas

50 APLICAÇÕES (b) Se um espelho parabólico é apontado para o Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco (em latim focus significa fogo). Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar e antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e confluem para o retransmissor). Cônicas

51 APLICAÇÕES (c) Em balística, quando se lança um projétil sobre o qual atua somente a força da gravidade, a trajetória é uma parábola. Cônicas

52 TRANSLAÇÃO DE EIXOS Cônicas

53 Translação de Eixos Consideremos no plano cartesiano xoy um ponto o’(h,k), arbitrário. Vamos introduzir m novo sistema x’o’y’ tal que os eixos o’x’ o’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos ox e oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos. Cônicas

54 Translação de Eixos Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: x e y em relação ao sistema xoy, x’ e y’ em relação ao sistema x’o’y’. Pela figura anterior, obtemos: x=x’+h e y=y’+k Ou x’=x-h e y’=y-k que são as fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro. Cônicas

55 Translação de Eixos Cônicas

56 Translação de Eixos Cônicas

57 Translação de Eixos Cônicas

58 Translação de Eixos Cônicas

59 Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema
1º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y. A equação da parábola de vértice V(h,k) é: 2º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x. Cônicas

60 Equação da Parábola na Forma Explícita
Sabemos que a equação da parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma padrão: Uma equação nessa forma pode ser escrita como: que é chamada forma explícita da equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo dos y. Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é correspondente à forma padrão Cônicas

61 Exemplo 1. Determine a equação da parábola de foco em F(1,2) e diretriz d:x=5 Observação: Para completar o quadrado da expressão: somamos o quadrado da metade do coeficiente de y, isto é, 2. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o foco e a equação da diretriz da parábola Cônicas

62 Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema
1º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x. A equação da elipse de centro C(h,k) é: 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y. Cônicas

63 Exemplo 1. Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação Cônicas

64 Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do Sistema
1º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x. A equação da hipérbole de centro C(h,k) é: 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y. Cônicas

65 Exemplo 1. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os vértices e os focos da hipérbole de equação: Cônicas

66 Exemplo 2. Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e esboçar o gráfico da equação. A) B) C) Cônicas

67 Equação Geral do Segundo Grau
Cônicas

68 Equação Geral do Segundo Grau
Cônicas

69 Equação Geral do Segundo Grau
+ Cônicas

70 Equação Geral do Segundo Grau
Cônicas

71 Equação Geral do Segundo Grau
Cônicas

72 Equação Geral do Segundo Grau
Portanto o gráfico de uma equação do segundo grau pode ser: Uma elipse Uma hipérbole Uma parábola Um par de retas Uma única reta Um ponto ou Conjunto vazio De 1 a 6 chamamos cônicas e de 4 a 6 cônicas degeneradas. Cônicas

73 Proposição Proposição: O gráfico de uma equação do 2º grau, isto é, o gráfico de uma equação da forma ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0, a, b ou c não nulo é uma cônica. Cônicas

74 Sessões Cônicas Cônicas

75 Sessões Cônicas Cônicas

76 Sessões Cônicas Cônicas

77 Sessões Cônicas Cônicas

78 FIM Cônicas


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