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Construções Lógico –Matemáticas – Aula 09

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Apresentação em tema: "Construções Lógico –Matemáticas – Aula 09"— Transcrição da apresentação:

1 Construções Lógico –Matemáticas – Aula 09
IMES – Fafica Curso de Pedagogia – 2º Ano Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira

2 Bolas Coloridas (I) Ana quer colorir as bolinhas da Figura 1 a seguir de azul (A), preto (P) ou vermelho (V) de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes. Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 1. Figura 1 a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 1?

3 Bolas Coloridas (I) – Resposta
Primeiramente vamos numerar as bolinhas para facilitar o raciocínio (bolinha 1, 2 e 3). Figura 1 1 A bolinha 1 pode ser pintada de 3 maneiras diferentes (pode ser vermelha, preta ou azul). Vamos escolher, por exemplo, a cor vermelha. 2 3 Para pintar a bolinha 2 sobram duas cores para pintá-la (pode ser azul ou preta). Desta forma a cor da bolinha 3 fica automaticamente determinada. 2 3 2 3 Tudo isto ocorre se a bolinha 1 for pintada de vermelho. Porém sabemos que ela pode ser pintada de azul ou também de preta.

4 Bolas Coloridas (I) – Resposta
Logo podemos elaborar uma árvore de possibilidades: Então podemos pensar que para cada cor da bolinha 1 temos duas possibilidades de preenchimento, ou seja, Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 = 3 x 2 = 6 possibilidades Outra forma de pensar é: 3 x 2 x 1 = 6 Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3

5 Bolas Coloridas (I) – Resposta
Listando todas as possibilidades, temos: Resposta: Ana pode colorir a Figura 1 de 6 maneiras diferentes.

6 Bolas Coloridas (II) Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 2. Figura 2 b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 2?

7 Bolas Coloridas (II) - Resposta
1 2 Neste caso também é interessante numerar as bolinhas. Para facilitar o trabalho é interessante dividí-lo em dois casos: quando as bolinhas 1 e 3 possuem a mesma cor e quando tais bolinhas possuem cores diferentes. 4 3 Existem 3 maneiras de colorir a bolinha 1 (pode ser vermelha, azul ou preta). Suponhamos que ela seja colorida de vermelho. Figura 2 1º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores iguais Como a bolinha 3 possui a mesma cor da bolinha 1 ela necessariamente será vermelha. Agora há duas maneiras de colorir a bolinha 2 (azul ou preta). 2 4 3 4 4

8 Bolas Coloridas (II) 1º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores iguais
Para a bolinha 4 também há duas possibilidades em cada caso. Lembre-se que tudo isto ocorreu pois colorimos a bolinha 1 de vermelho, mas poderíamos ter colorido de azul ou preto. Desta forma, temos: 4 3 x 2 x 1 x 2 = 12 Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 Bolinha 4 Mas e se as bolinhas 1 e 3 tivessem cores diferentes? 4

9 Bolas Coloridas (II) Primeiramente temos que colorir a bolinha 1. Isto pode ocorrer de 3 maneiras distintas. Suponhamos que a colorimos de vermelho. 2º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores diferentes 1 2 3 4 Em seguida temos que colorir a bolinha 3. Isto pode ocorrer de 2 maneiras diferentes (pois sabemos que ela não pode possuir a mesma cor que a bolinha 1). Para colorir as bolinhas 2 e 4 resta, agora, apenas 1 possibilidade que trata-se da cor não utilizada. Desta forma, temos: Figura 2 2 2 2 4 3 4 4

10 Bolas Coloridas (II) 2º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores diferentes
Reunindo as informações deste caso, temos: 3 x 1 x 2 x 1 = 6 Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 Bolinha 4 Adicionando os resultados de ambos casos, temos: 12 + 6 = 18 possibilidades 1º Caso Cores iguais em 1 e 3 2º Caso Cores diferentes em 1 e 3

11 Bolas Coloridas (II) – Resposta
Neste item podemos elaborar duas árvores de possibilidades: 1º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores iguais Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 Bolinha 4 1 2 3 4 Figura 2 12 possibilidades com as bolinhas 1 e 3 com cores iguais

12 Bolas Coloridas (II) – Resposta
A outra árvore de possibilidades: 2º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores diferentes Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 Bolinha 4 1 2 3 4 Figura 2 6 possibilidades com as bolinhas 1 e 3 com cores diferentes = 18 possibilidades ao todo

13 Bolas Coloridas (I) – Resposta
Listando todas as possibilidades, temos: Resposta: Ana pode colorir a Figura 2 de 18 maneiras diferentes.

14 Bolas Coloridas (III) Figura 3
c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 3?

15 Bolas Coloridas (III) - Resposta
Neste caso também é interessante numerar as bolinhas. Para colorir as bolinhas de 1 a 4 existem 18 maneiras (trata-se do item anterior deste exercício). 1 2 Como a bolinha 4 já está pintada (de alguma cor), restam 2 maneiras para pintar a bolinha 5 (as cores diferentes da bolinha 4). Logo, temos: 5 4 3 18 x 2 = 36 maneiras de colorir as bolinhas de 1 a 5 6 7 Maneiras de colorir as bolinhas 1 a 4 Maneiras de colorir a bolinha 5 Figura 3 Agora devemos elaborar uma estratégia para colorir as bolinhas 6 e 7.

16 Bolas Coloridas (III) - Resposta
Vamos dividir o trabalho em dois casos: as bolinhas 3 e 6 pintadas de mesma cor, e as bolinhas 3 e 6 pintadas de cores diferentes. X 3 6 7 1º caso: Bolinhas 3 e 6 com cores iguais Para colorir a bolinha 6 existe uma única opção de cor, pois ela precisa ser da mesma cor da bolinha 3. Desta forma, restam duas cores possíveis para pintar a bolinha 7. Veja alguns exemplos disso: Então, temos: Figura 3 1 x 2 = 2 Bolinha 6 Bolinha 7

17 Bolas Coloridas (III) - Resposta
2º caso: Bolinhas 3 e 6 com cores diferentes Neste caso existe apenas 1 opção para colorir a bolinha 6, pois ela não pode ter a mesma cor da bolinha 3 (condição imposta) e não pode ser igual à bolinha 4. Para pintar a bolinha 7, também haverá apenas uma cor disponível pois, como as cores das bolinhas 3 e 6 são diferentes, restará apenas 1 possibilidade para colori-la. Alguns exemplos deste caso: X 3 6 7 Então, temos: 1 x 1 = 1 Figura 3 Bolinha 6 Bolinha 7

18 Bolas Coloridas (III) - Resposta
1 2 3 4 5 6 7 Reunindo todas as informações obtidas até o momento, temos: 36 x 2 = 72 maneiras de colorir as bolinhas de 1 a 7 com as bolinhas 3 e 6 iguais Maneiras de colorir as bolinhas 1 a 5 Maneiras de colorir as bolinhas 6 e 7 com as bolinhas 3 e 6 iguais 36 x 1 = 36 maneiras de colorir as bolinhas de 1 a 7 com as bolinhas 3 e 6 diferentes Maneiras de colorir as bolinhas 1 a 5 Maneiras de colorir as bolinhas 6 e 7 com as bolinhas 3 e 6 diferentes Figura 3 Adicionando os resultados de ambos casos, temos: 72 + 36 = 108 possibilidades 1º Caso Bolinhas 3 e 6 iguais 2º Caso Bolinhas 3 e 6 diferentes

19 Desafio De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura com uma das cores amarelo, azul e vermelho, de modo que dois círculos ligados por um segmento tenham sempre cores diferentes?


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