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Construções Lógico – Matemáticas – Aula 09 IMES – Fafica Curso de Pedagogia – 2º Ano Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira

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Apresentação em tema: "Construções Lógico – Matemáticas – Aula 09 IMES – Fafica Curso de Pedagogia – 2º Ano Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira"— Transcrição da apresentação:

1 Construções Lógico – Matemáticas – Aula 09 IMES – Fafica Curso de Pedagogia – 2º Ano Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira

2 Bolas Coloridas (I) Ana quer colorir as bolinhas da Figura 1 a seguir de azul (A), preto (P) ou vermelho (V) de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes. Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 1. a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 1? Figura 1

3 Bolas Coloridas (I) – Resposta Figura Primeiramente vamos numerar as bolinhas para facilitar o raciocínio (bolinha 1, 2 e 3). A bolinha 1 pode ser pintada de 3 maneiras diferentes (pode ser vermelha, preta ou azul). Vamos escolher, por exemplo, a cor vermelha Para pintar a bolinha 2 sobram duas cores para pintá-la (pode ser azul ou preta). Desta forma a cor da bolinha 3 fica automaticamente determinada. Tudo isto ocorre se a bolinha 1 for pintada de vermelho. Porém sabemos que ela pode ser pintada de azul ou também de preta.

4 Bolas Coloridas (I) – Resposta Logo podemos elaborar uma árvore de possibilidades: Bolinha 1Bolinha 2Bolinha 3 Então podemos pensar que para cada cor da bolinha 1 temos duas possibilidades de preenchimento, ou seja, = 3 x 2 = 6 possibilidades Outra forma de pensar é: Bolinha 1Bolinha 2Bolinha 3 321xx= 6

5 Bolas Coloridas (I) – Resposta Listando todas as possibilidades, temos: Resposta: Ana pode colorir a Figura 1 de 6 maneiras diferentes.

6 Bolas Coloridas (II) Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 2. b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 2? Figura 2

7 Bolas Coloridas (II) - Resposta Neste caso também é interessante numerar as bolinhas. Figura Para facilitar o trabalho é interessante dividí-lo em dois casos: quando as bolinhas 1 e 3 possuem a mesma cor e quando tais bolinhas possuem cores diferentes. 1º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores iguais Existem 3 maneiras de colorir a bolinha 1 (pode ser vermelha, azul ou preta). Suponhamos que ela seja colorida de vermelho. Como a bolinha 3 possui a mesma cor da bolinha 1 ela necessariamente será vermelha. 44 Agora há duas maneiras de colorir a bolinha 2 (azul ou preta).

8 Bolas Coloridas (II) 1º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores iguais 44 Para a bolinha 4 também há duas possibilidades em cada caso. Lembre-se que tudo isto ocorreu pois colorimos a bolinha 1 de vermelho, mas poderíamos ter colorido de azul ou preto. Desta forma, temos: Bolinha 1Bolinha 2Bolinha 3 321xx= 12 Bolinha 4 x 2 Mas e se as bolinhas 1 e 3 tivessem cores diferentes?

9 Bolas Coloridas (II) Figura º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores diferentes Primeiramente temos que colorir a bolinha 1. Isto pode ocorrer de 3 maneiras distintas. Suponhamos que a colorimos de vermelho. Em seguida temos que colorir a bolinha 3. Isto pode ocorrer de 2 maneiras diferentes (pois sabemos que ela não pode possuir a mesma cor que a bolinha 1) Para colorir as bolinhas 2 e 4 resta, agora, apenas 1 possibilidade que trata-se da cor não utilizada. Desta forma, temos:

10 Bolas Coloridas (II) 2º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores diferentes Reunindo as informações deste caso, temos: Bolinha 1Bolinha 2Bolinha 3 312xx= 6 Bolinha 4 x 1 Adicionando os resultados de ambos casos, temos: 1º Caso Cores iguais em 1 e = 18 possibilidades 2º Caso Cores diferentes em 1 e 3

11 Bolas Coloridas (II) – Resposta Neste item podemos elaborar duas árvores de possibilidades: Bolinha 1Bolinha 2Bolinha 3Bolinha 4 1º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores iguais Figura possibilidades com as bolinhas 1 e 3 com cores iguais

12 Bolas Coloridas (II) – Resposta A outra árvore de possibilidades: Bolinha 1Bolinha 2Bolinha 3Bolinha 4 2º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores diferentes Figura possibilidades com as bolinhas 1 e 3 com cores diferentes = 18 possibilidades ao todo

13 Bolas Coloridas (I) – Resposta Listando todas as possibilidades, temos: Resposta: Ana pode colorir a Figura 2 de 18 maneiras diferentes.

14 Bolas Coloridas (III) c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 3? Figura 3

15 Bolas Coloridas (III) - Resposta Figura 3 Neste caso também é interessante numerar as bolinhas Para colorir as bolinhas de 1 a 4 existem 18 maneiras (trata-se do item anterior deste exercício). Como a bolinha 4 já está pintada (de alguma cor), restam 2 maneiras para pintar a bolinha 5 (as cores diferentes da bolinha 4). Logo, temos: Maneiras de colorir as bolinhas 1 a 4 182x= 36 maneiras de colorir as bolinhas de 1 a 5 Maneiras de colorir a bolinha 5 Agora devemos elaborar uma estratégia para colorir as bolinhas 6 e 7.

16 Bolas Coloridas (III) - Resposta Figura 3 Vamos dividir o trabalho em dois casos: as bolinhas 3 e 6 pintadas de mesma cor, e as bolinhas 3 e 6 pintadas de cores diferentes. XX 3 X X 6 7 1º caso: Bolinhas 3 e 6 com cores iguais Para colorir a bolinha 6 existe uma única opção de cor, pois ela precisa ser da mesma cor da bolinha 3. Desta forma, restam duas cores possíveis para pintar a bolinha 7. Veja alguns exemplos disso: Bolinha x= 2 Bolinha 7 Então, temos:

17 Bolas Coloridas (III) - Resposta 2º caso: Bolinhas 3 e 6 com cores diferentes Neste caso existe apenas 1 opção para colorir a bolinha 6, pois ela não pode ter a mesma cor da bolinha 3 (condição imposta) e não pode ser igual à bolinha 4. Figura 3 XX 3 X X 6 7 Para pintar a bolinha 7, também haverá apenas uma cor disponível pois, como as cores das bolinhas 3 e 6 são diferentes, restará apenas 1 possibilidade para colori-la. Alguns exemplos deste caso: Bolinha x= 1 Bolinha 7 Então, temos:

18 Bolas Coloridas (III) - Resposta Reunindo todas as informações obtidas até o momento, temos: Figura Maneiras de colorir as bolinhas 1 a 5 362x= 72 maneiras de colorir as bolinhas de 1 a 7 com as bolinhas 3 e 6 iguais Maneiras de colorir as bolinhas 6 e 7 com as bolinhas 3 e 6 iguais Maneiras de colorir as bolinhas 1 a 5 361x= 36 maneiras de colorir as bolinhas de 1 a 7 com as bolinhas 3 e 6 diferentes Maneiras de colorir as bolinhas 6 e 7 com as bolinhas 3 e 6 diferentes 1º Caso Bolinhas 3 e 6 iguais 7236+= 108 possibilidades 2º Caso Bolinhas 3 e 6 diferentes Adicionando os resultados de ambos casos, temos:

19 Desafio De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura com uma das cores amarelo, azul e vermelho, de modo que dois círculos ligados por um segmento tenham sempre cores diferentes?


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