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CAP 3 – AUTO-SIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL texto-base: D.Kaplan, L.Glass (1995) Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y). 2.1. Fatores de Escala,

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1 CAP 3 – AUTO-SIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL texto-base: D.Kaplan, L.Glass (1995) Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y) Fatores de Escala, Algoritmos Recursivos e Exemplos de Fractais ex: descrição computacional de uma árvore * diversas alternativas a) conjunto completo dos elementos b) forma aproximada da envoltória espacial c) relação recursiva (auto-similaridade)  pouca informação de entrada  modelo estruturalmente realista [fig. 3.1] e [fig. 3.2]

2 geometria auto-similar: uma parte se parece com o todo * objetos reais auto-similares: são engendrados por processos recursivos? * exemplos na natureza:  samambaia, brócolis, sistema de brônquios  contorno de nuvens e de litorais, estrutura de montanhas  vórtices em fluidos, etc. * exemplos na área tecnológica:  imagem com retro-alimentação num monitor  antenas para banda larga miniaturizadas adesão de nanopartículas em substratos rugosos, etc. [ T.S. Chow - J. Phys: Cond. Matter 15, n2 (2003) L83-L87 ]

3 * objetos com dimensão fracionária: fractais * geometria fractal:  associada a tipos de comportamento dinâmico * fractais exatos: objetos matemáticos  gerados por algoritmos recursivos  exemplos: a) Conjunto de Cantor ( “poeira de pontos” ) [fig. 3.3] * algoritmo recursivo:  t=0: segmento de reta de comprimento 1  t=1: 2 cópias com comprimento 1/3 cada  t=2: repete o processo para as 2 cópias (resultam 4 cópias com comprimento 1/9 cada)  t=3: repete o processo para as 4 cópias...  profundidade da recursão ( maior t usado )  fractal perfeito ( t   ) [fig 3.4]

4 b) Cesta de Serpienski [fig. 3.5] c) Curva de Koch [fig. 3.6] d) Ilha de Koch * perímetro infinito delimitando uma área finita! * seres vivos: otimização da razão área/volume [ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104] e) Esponja de Menger [fig. adicional] [ Stewart, Does God Play Dice?, p 303]

5 3.2. Dimensão Fracionária * dimensão euclideana:  número de coordenadas necessárias para posicionar um ponto no objeto OBJETODIMENSÃO EUCLIDEANA PONTO0 SEGMENTO DE RETA1 RETÂNGULO PLANO2 CUBO MACIÇO3...  4 ( inteiros ) * objeto auto-similar gerado recursivamente:  : aresta no passo n / aresta no passo n+1 N: número de cópias no passo n+1 / número de cópias no passo n D: dimensão fractal

6 * definição de dimensão fractal:  abrange os objetos euclideanos! OBJETO  ND SEGMENTO DE RETA221 QUADRADO PREENCHIDO242 CONJUNTO DE CANTOR CESTA DE SIERPIENSKI FLOCO DE NEVE DE KOCH ESPONJA DE MENGER exemplo para aula prática: bolas de papel amassado [ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104] * diâmetro de cada bola: d * massa de cada bola: m  relação entre m e d (experimental): m = k. d 2,5 * k: constante de proporcionalidade “lei de potência” : invariante de escala

7 DIMENSÃO POR CONTAGEM DE CAIXAS dado um objeto pronto  qual o valor de D? procedimento geométrico: * recobrir o objeto com “caixas” de aresta  0 (cubos, quadrados ou segmentos de reta) * contar o número de caixas necessárias N = N ( 0 ) * fazer  1 = (  0 / 2 ) * contar N ( 1 )... recursivamente...  função por pontos N = N () expressão teórica: procedimento prático:

8 exemplo: atrator caótico de um mapa bidimensional (“mapa de Ikeda”) x i +1 = (x i cos t i – y i sen t i ) y i +1 = 0.7 (x i sen t i + y i cos t i ) sendo t i = 0.4 – [ 6 / ( 1 + x i 2 + y i 2 )] * imagem do objeto auto-similar (para outro parâmetro): * sistema real: laser numa cavidade em anel * auto-similaridade [fig. adicional] caixas com  0 = 0.08  N (  0 ) = 43 [fig. pg. 116 (esquerda)] caixas com  1 = 0.04  N (  1 ) = 110 [fig. pg. 116 (meio)] caixas com  2 = 0.02  N (  2 ) = 250 [fig. pg. 116 (direita)] * levando na fórmula: tende para D  1,2 * menor valor de   depende da resolução da figura

9 3.3. Auto-Similaridade Estatística  as partes são, em média, similares ao todo exs: * fractais na natureza ( costas litorâneas, árvores, etc ) * fractais matemáticos ( gerados por processo determinístico caótico ) ( gerados com adição de números aleatórios ) AUTO-SIMILARIDADE NO TEMPO * exemplo determinístico: saída caótica de um mapa unidimensional x t +1 = x t + x t 2 (mod 1) diagrama de 1 o retorno: [fig. pg. 118] série temporal: [fig. pg. 119]  mostra invariância de escala!

10 * exemplo estocástico: saída de um gerador de números aleatórios série temporal: [fig. pg. 120] * exemplo observado na natureza: registro dos batimentos cardíacos série temporal [fig. pg. 121]  todos mostram invariância de escala! espectro de um sinal auto-similar no tempo: “ ruído 1/f ” energias aproximadamente iguais nos intervalos 0.1 Hz < f < 1 Hz 1 Hz < f < 10 Hz 10 Hz < f < 100 Hz 100 Hz < f < 1 kHz...

11  fenômenos que respeitam esta distribuição: * tempos de chegada de chamadas telefônicas * ruído intrínseco em semicondutores * densidade do tráfego de automóveis urbano * nível de cheias em rios * ritmos biológicos, etc Fractais e Comportamento Dinâmico “fractal” objeto geométrico auto-similar “caos” evolução temporal imprevisível de uma variável os dois conceitos são intimamente relacionados exemplos (em sistemas não-lineares): * “jogo fractal” ou “jogo do caos” * autômatos celulares * passeio aleatório e movimento browniano * escape para infinito * fronteiras de bacia fractais * agregação e percolação, etc

12 “JOGO FRACTAL”  dinâmica discreta com elemento aleatório algoritmo (entrada aleatória: lance de um dado) * triângulo equilátero ABC * condição inicial: 0 (qualquer ponto tomado dentro do triângulo) * lança-se o dado para selecionar um vértice 1 ou 2  A ; 3 ou 4  B ; 5 ou 6  C * ponto 1: ponto médio entre 0 e o vértice sorteado * lança-se o dado novamente * ponto 2: ponto médio entre 1 e o novo vértice sorteado... resultados (ex 2; 6; 1;...): 3 lances [fig. 3.7]

13 100, 1000, 5000 lances [fig. 3.8] * para infinitos lances:  é construída uma cesta de Serpienski ! * uma regra simples gera um objeto complexo! * conjunto final:  quase independe da seqüência de lances  é o atrator do sistema dinâmico explicação lógica: * o sistema é, em parte, determinístico * a cada lance t: divide-se o triângulo em 3 t regiões possíveis

14 ponto 0: 1 região (triângulo inteiro) ponto 1: 3 regiões  resultados: A, B ou C ponto 2: 9 regiões  resultados (1 o e 2 o lances) AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC ponto 3: 27 regiões  1 o, 2 o e 3 o lances AAA, AAB, AAC, ABA, etc... [fig. 3.9] aplicação importante: pode revelar correlações! (análise de séries temporais - CAP 6) * séries totalmente aleatórias * séries determinísticas caóticas * séries mistas

15  ruído 1/f [fig. adicional a]  movimento browniano [fig. adicional b]  mapa logístico com a=3.999 [fig. adicional c]  seqüência de bases do DNA p/ amilase [fig. adicional d] [ Peak & Frame, Chaos under Control, p 222] PASSEIO ALEATÓRIO difusão: processo físico em escala molecular  deslocamentos aleatórios devidos a colisões  não envolve gasto de energia  persiste enquanto há diferença de concentração

16 “movimento browniano” [R. Brown, 1827] modelo: * passos de mesmo comprimento * direção e sentido aleatórios investiga-se:  para a população de partículas: * distribuição espacial em função do tempo ex: distribuição gaussiana  para cada partícula * deslocamento total médio em função do tempo ex: 2 dimensões, 500 passos [fig. pg. 127] * lei de potência observada: d MED = k. t 1/2 ou d MED = k. t ( 4 - ) / 2 ;  = 3

17 * para passos de comprimentos também aleatórios  continua auto-similar (expoente ½, outro k) “caminhada intencional”: d MED = k. t = k. t ( 4 - ) / 2 ;  = 2 [fig. pg. 127] “passeio de Lévy”: d MED = k. t ( 4 - ) / 2 ; 2 <  < 3 * comprimento dos passos: lei de potência * eventualmente, pode haver passos muito longos * prazo longo ou curto: diferentes estimativas ESCAPE PARA INFINITO *para muitos sistemas dinâmicos: a variável diverge para infinito *isso depende da condição inicial *condições iniciais que não divergem: podem formar um fractal (ex: conjunto de Cantor) [fig. 3.12]; [fig. 3.13]

18 FRONTEIRAS DE BACIA FRACTAIS sistemas dinâmicos multiestáveis:  dois ou mais atratores coexistentes (periódicos ou caóticos) * para cada atrator: conjunto de condições iniciais “BACIA DE ATRAÇÃO” * pontos de fronteira entre duas bacias:  podem formar um conjunto fractal exemplos: mapa de Hénon (bidimensional) resolução de z 4 – 1 = 0 pelo método de Newton sistema ótico de 4 esferas

19 CONJUNTO DE MANDELBROT mapa com variável complexa ( z t = a t + b t i ) z t +1 = z t 2 + c c = x + y i para cada par (x,y) no plano: inicia-se com z 0 = 0 se z divergir para infinito  ponto em preto se z não divergir  ponto em branco * estrutura de uma couve-flor: coincidência? sciences.fr/english/ala_cite/expo/explora/mathematiques/math_29.htm

20 CRESCIMENTO FRACTAL, AGREGAÇÃO E PERCOLAÇÃO exemplos: deposição eletrolítica de metais colônias de microorganismos difusão em líquidos imiscíveis, etc  padrões podem ser simulados por algoritmos muito simples! Modelo de Eden: [M. Eden, 1961] rede quadrada t = 0  inicia com uma primeira célula t = 1  outra célula é acrescentada aleatoriamente (4 posições) t = 2  uma terceira célula (6 posições), etc [fig. pg. 137]; [fig. pg. 138] * para grande t: a fronteira do conjunto é fractal!

21 Agregação limitada por difusão ( “D.L.A.” ) [Witten e Sander, 1981]  também supõe uma partícula-semente  outras partículas são distribuídas e sofrem difusão aleatória  quando tocam na semente, são agregadas [figs. pg. 140] Percolação: * transição de fase (ponto crítico perfeitamente definido) * as ramificações se aglutinam  formam uma massa única [Stewart, Does God Play Dice?, p.308]


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