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ÉLISONANDRÉELICLECIA ANTÔNIO CARLOS PROFESSOR: SANDRO MURILO MATEMÁTICA ALUNOS:

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1 ÉLISONANDRÉELICLECIA ANTÔNIO CARLOS PROFESSOR: SANDRO MURILO MATEMÁTICA ALUNOS:

2 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM E FATORIAL

3 Fatorial Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse número n (n!) o número: n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) *...* 3 * 2 * 1 Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n. Veja alguns exemplos: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 =

4 Princípio Fundamental da Contagem Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n. Exemplo 1 Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades: Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades) Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades) Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.

5 Exemplo 2 Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de algarismos distintos? Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos. Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.

6 O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de “CPU”. Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções: 3 x 4 x 2 x 3 = 72 Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes. O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de “CPU”. Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:fundamental 3 x 4 x 2 x 3 = 72 Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

7 Um problema que ocorre é quando aparece a palavra “ou”, como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatóriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18, somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades: (3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis. Um problema que ocorre é quando aparece a palavra “ou”, como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatóriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18, somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades: (3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.

8 Um problema que ocorre é quando aparece a palavra “ou”, como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatóriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18, somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades: (3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis. Outro exemplo: No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas? Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar. 26 x 26 x 26 = > parte das letras 10 x 10 x 10 x 5 = > parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0, 2, 4, 6, 8). Agora é só multiplicar as partes: x = Resposta para a questão: existem placas onde a parte dos algarismos formem um número par. Outro exemplo: No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas? Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar. 26 x 26 x 26 = > parte das letras 10 x 10 x 10 x 5 = > parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0, 2, 4, 6, 8). Agora é só multiplicar as partes: x = Resposta para a questão: existem placas onde a parte dos algarismos formem um número par.

9 Para entendermos o princípio fundamental da contagem vamos analisar a seguinte situação: João possui 4 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapatos. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir? Observe os esquemas a seguir:

10

11 Cada esquema representa todas as possíveis combinações envolvendo os objetos do vestuário de João. Uma maneira mais simplificada e eficaz de resolver tal situação consiste em determinar a multiplicação entre a quantidade de elementos de cada conjunto. Observe: 4 * 3 * 2 * 2 = 48 combinações.

12 Observe outro exemplo: Numa lanchonete há 8 tipos de sanduíche, 5 tipos de sucos e 6 tipos de sorvetes. Quantas são as possíveis combinações de um lanche nessa lanchonete? Utilizando o princípio fundamental da contagem temos: 8 * 5 * 6 = 240 maneiras de realizar um lanche.

13 Fatorial O fatorial é uma ferramenta matemática utilizada na análise combinatória, na determinação do produto dos antecessores de um número maior que 1. Por exemplo: 1! = 1 2! = 2 * 1 = 2 3! = 3 * 2 *1 = 6 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 6! = 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 720 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = ! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = E assim sucessivamente.

14 Um exemplo de utilização de fatorial está presente no cálculo de anagramas de uma palavra. Lembrando que anagrama é a quantidade de novas palavras formadas com ou sem sentido, utilizando as letras de outra palavra. Por exemplo, vamos determinar os anagramas da palavra AMOR. A palavra AMOR é formada por quatro letras, portanto: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 palavras Determinando os anagramas da palavra MATEMÁTICA. 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = palavras formadas.

15 fimfim


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