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1 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CONCEITUAÇÃO: Capitalização simples é a operação que.

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1 1 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CONCEITUAÇÃO: Capitalização simples é a operação que determina o crescimento do capital quando a taxa de juros incide somente sobre o valor nominal (capital inicial) aplicado.

2 2 Apresentação Prof. Cosmo ROGERIO de Oliveira Mestre em Controladoria e Contabilidade FEA/USP; Prof. Univ Estad Londrina-UEL, INBRAPE 12 anos na carreira docência – Universidades. 11 anos de experiência em empresas de grande porte (controladoria).

3 3 Avaliação Encontros 06/05; 20/05 e 03/06 03 avaliações 02 individuais e 01 em grupo (estudos de casos); Presença mínima 75%

4 4 Programa – 1o encontro Conceitos Básicos Conceitos gerais: porcentagem; juros, abatimentos e acréscimos, taxa de juros, diagrama de fluxo e caixa; Regime de Capitalização dos juros; Equivalência de valores no tempo; Formas de Apresentação de Taxas de Juros Conceitos Taxa Nominal; Taxa Efetiva; Cálculo da Taxa Efetiva.

5 5 Programa – 2o. encontro Séries de Pagamentos Conceitos e classificações; Cálculo das parcelas; Cálculo do valor atual. Séries Uniformes ou Rendas Serie Uniforme Postecipada; Serie Uniforme Antecipada; Serie Uniforme Diferida.

6 6 Programa – 3o encontro Equivalência de Fluxos de Caixa Taxa Interna de Retorno - TIR Sistemas de Amortização de Empréstimos, Cheque Especial; Métodos de Análise de Investimentos, inflação e câmbio Empréstimos e Financiamentos Bancários Sistema de Amortização Americano;; Sistema Francês de Amortização (SFA) ou Sistema Price; Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês;

7 7 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ELEMENTOS 1.Juros (J = VP.i.n): Remuneração sobre o capital aplicado em determinado período; 2. Capital Inicial ou Valor Presente (VP): Valor nominal, aplicado com objetivo de obtenção de juros; 3. Taxa de Juros ( i ): Porcentual aplicado sobre o capital inicial para se determinar o valor dos juros. 4. Montante ou Valor Futuro (VF): É o valor do capital nominal somado os juros do período. 5. Tempo (n): Período pelo qual o qual é investido (dias, meses, bimestres, trimestres, anos) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

8 8 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Notações Utilizadas 1.C ou VP  Valor aplicado ou Valor Presente; 2.n  números de períodos que o capital será aplicado; 3.r  Taxa de juros centesimal (p/ período) expressa em %; 4.i  Taxa de juros unitária (p/ período) expressa em décimos; 5.J  Valor total dos Juros (expresso em moeda); 6.M ou VF  Montante ou Valor Futuro Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

9 9 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES FÓRMULAS 1.Taxa Unitária  2.Juros  3.Montante ou VF  r i = VF = VP. ((1+(i.n)) ou VF = VP + J J = VP.i.n Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

10 10 DESCONTOS (descapitalização) SIMPLES Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

11 11 DESCONTOS (descapitalização) SIMPLES CONCEITUAÇÃO: Desconto é a diferença entre o Valor Nominal (Bruto) e o Valor Atual (Líquido) de um título que será liquidado antes do seu vencimento. Abatimento dado sobre o valor nominal (geralmente títulos de crédito) quando este é resgatado antecipadamente. Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

12 12 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES -ELEMENTOS 1.Valor Nominal : Valor bruto do título; 2. Valor Atual: Corresponde ao valor líquido da operação de desconto; 3. Desconto: Diferença entre o valor nominal (Bruto) e o valor Atual (líquido). 4. Taxa: Porcentagem (representada em decimais) aplicada sobre o Valor Bruto para o cálculo do Valor Líquido; 5. Tempo: Período pelo qual será antecipada a liquidação do título; Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

13 13 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - Notações VB ou VN  Valor Bruto ou Valor Nominal, ou seja, o valor futuro do título; 1.n  números de períodos que o título será descapitalizado; 2.r  Taxa de desconto centesimal (p/ período) expressa em %; 3.i  Taxa de desconto unitária (p/ período) expressa em décimos; 4.D  Valor total dos Desconto (expresso em moeda); 5.VA ou VL  Valor Atual ou Valor Líquido, ou seja, o valor presente do título Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

14 14 DESCAPITALIZAÇÃO SIMPLES - FÓRMULAS Taxa Unitária  1.Desconto  2.Valor Atual (VA) ou Valor Líquido (VL)  3.Valor Atual (VA) ou Valor Líquido (VL)  r i = VL = VN. (1-(i.n)) ou VL = VN - D D = VN.(i.n) VB = VL/((1-(i.n)) ou VB = VL + D Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

15 15 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

16 16 1. Um investidor aplicou, a juros simples, a importância de R$ ,00, à taxa de 2% a.m pelo prazo de 18 meses. Determinar o ganho sobre o capital aplicado. Substituindo-se J = *((2/100)*18) Fórmula J = VP.i.n Resultado J = Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

17 17 2. Uma empresa tem em seu poder uma duplicata no valor de R$ ,00 com vencimento para 25/04/x6. A política de cobrança da empresa estabelece que seja cobrado, dentro dos primeiros 45 dias de 10% de multa e juros de 5% a.m. sobre o valor do título. Após este período será adicionado mais 0,5% de encargos ao dia de atraso. Qual será o valor pago: a) Se o devedor quitar a duplicata no dia 20/05/X6, quanto pagará de encargos? Substituindo-se J+multa = *((5%/30*25)+10%) Resultado J+multa = 2.833,33 Fórmula J = VP.((i+multa).n) a) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

18 18 Substituindo-se  J+multa+adicional= *(((5%/30*45)+0,10)+(0,5%*6)) Resultado J+multa+adicional = 4.100,00 Fórmula J = VP.((i+multa).n) b) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira 2. Uma empresa tem em seu poder uma duplicata no valor de R$ ,00 com vencimento para 25/04/x6. A política de cobrança da empresa estabelece que seja cobrado, dentro dos primeiros 45 dias de 10% de multa e juros de 5% a.m. sobre o valor do título. Após este período será adicionado mais 0,5% de encargos ao dia de atraso. Qual será o valor pago: b) Se o devedor quitar a duplicata no dia 15/06/X6, quanto pagará de encargos?

19 19 3a. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses. a) Qual é a taxa de juros anual imposta pelo fornecedor? Substituindo-se I (a) = (333,33/800/5*12) Resultado i(a) = 100% Fórmula i (a) = (J/VP/5*12) a) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

20 20 3b. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses. b) Qual seria o valor pago, caso a empresa resolva pagá-lo no 3º mês subseqüente, considerando um desconto de 5% a.m.? Substituindo-se VL=1.133,33*(1-(0,05.2)) Resultado VL = 1.020,00 Fórmula VL=VB*(1-(i.n)) b) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

21 21 3c. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses. c) Qual seria o valor do pagamento no 8º, considerando além dos juros, uma multa de 10% sobre o valor principal? Substituindo-se / Resultado i = (333,33/800/5) , VF = 800.(1+(0,0833.8)+0,10) = 1.413,33 Fórmulas i = (J/VP/5) VF = VP.(1+(i.n)+multa) c) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

22 22 4. Um investidor aplica R$ ,00 à taxa de 3,375% ao trimestre. a)Durante quanto tempo este capital deve ser aplicado para render R$ 3.000,00? b)b) Quanto tempo levaria para render os mesmos R$ 3.000,00 descontando-se IR de 20%? Resultado i (diária) = 0,03375 / 90  0, i (total) = /  0,06 n = 0,06 / 0,  160 dias ou 5m 10d Fórmulas i (diária) = i / 90 i (total) = J / VP n = i (total) / i (diária) a) Resultado i (diária) = 0,03375 / 90  0, i (total) = /  0,075 n = 0,075/0,  200 dias ou 6m 20d Fórmulas i (diária) = i / 90 i (total) = J / VP n = i (total) / i (diária) VBrutoIR = 3.000/(1-0,20) b) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

23 23 5. Determinar o capital necessário a se investir, considerando-se juros de 36% a.a., para se obter o ganho de R$ 1.800,00 em um período de 15 meses? Substituindo-se = VP.(0,36/12.15) Resultado VP = 4.000,00 Fórmula J = VP.((i+m).n) Invertendo os lados -VP.0,45 = (1) Substituindo-se = VP.0,45 Substituindo-se VP = 1800/0,45 Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

24 24 6a. Q ual o montante que retornará para um investidor que aplicou R$ ,00 pelo prazo de 11 meses a taxa de juros de 3,8% ao bimestre? 6b.Qual seria o valor do rendimento considerando-se uma taxa anual de 22,8%. Substituindo-se VF = *(1+(0,038/2*11) Resultado VF = ,00 Fórmula VF = VP.(1+(i.n)) a) Substituindo-se J = *(0,228/12*11) Resultado J = 4.180,00 Fórmula J = VP.((i+m).n) b) Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira

25 25 4ª AULA - JUROS (capitalização) COMPOSTA Prof. Rogério

26 26 CONCEITUAÇÃO É a operação que determina o crescimento do capital quando a taxa de juros incide sobre o valor do “montante”em cada período. Capitalização Composta

27 27 ELEMENTOS 1.Valor Presente (Atual) : Valor nominal do título; 2. Montante (Valor Futuro): Corresponde ao valor atual (VP) somado aos juros calculados no período; 3. Juros: Diferença entre o valor nominal (VP) e o Montante (VF). 4. Taxa: Porcentagem (representada em decimais) aplicada sobre o Valor Bruto para o cálculo do Valor Líquido; 5. Tempo: Período pelo qual será cálculo os juros sobre o título. Capitalização Composta

28 28 Notações Utilizadas 1.VP ou VN  Valor Presente ou Valor Nominal; 2.n  números de períodos que o título será capitalizado; 3.r  Taxa de desconto centesimal (p/ período) expressa em %; 4.i  Taxa de desconto unitária (p/ período) expressa em décimos; 5.J  Valor total dos Juros (expresso em moeda); 6.M ou VF  Montante ou Valor Futuro. Capitalização Composta

29 29 FÓRMULAS 1.Taxa Unitária  2.Juros  3.Montante (M) ou Valor Futuro (VF)  4.Taxa de Juros  5. Tempo  r i = VF = VP*((1+i) n ) ou VF = VP + J J = VP*((1+i) n – 1) i = VF VP 1/n *100 n = Log Log (1+i) VF VP

30 30 Exemplo: Série Uniforme Mês (n) Valor Inicial (VP) Juros (J) Montante (VF) 1$ 1.000,00$ 100,00$ 1.100,00 2 $ 110,00$ 1.210,00 3 $ 121,00$ 1.331,00 4 $ 133,10$ 1.464,10 5 $ 146,41$ 1.610,51 Pagamento no 5o. Período$ 1.610,51

31 31 Exemplo: Série Uniforme A) Calcular o valor do montante, com base nos seguintes dados: VP = $ 1.000,00 i = 10% a.m. n = 5 VF = ? VP = VF = ? i = 10% n = 5 VF = VP*((1+i) n ) RESOLUÇÃO VF = 1.000*((1+0,10) 5 ) VF = 1.610, 50 VF = 1.000*1,6105

32 32 Exemplo: Série Uniforme B) Calcular o valor da taxa, com base nos seguintes dados: VP = $ 1.000,00 i = ? n = 5 VF = $ 1.610,51 VP = VF = 1.610,51 i = ? n = 5 RESOLUÇÃO i = VF VP 1/n *100 i = 1, ,20 *100 i = 1.610,51 1/ ,00 i = 1,100 – 1 *100 i = 10%

33 33 Exemplo: Série Uniforme B) Calcular o tempo da aplicação, com base nos seguintes dados: VP = $ 1.000,00 i = 10% n = ? VF = $ 1.610,51 VP = VF = 1.610,51 i = 10% n = ? RESOLUÇÃO n = Log Log (1+i) VF VP n = Log Log 1,10 1,61051 n = Log Log (1+0,10) 1.610, ,00 0, n = 0, n = 5

34 34 5ª AULA – Taxa Nominal de Juros e Taxa Efetiva de Juros Prof. Rogério

35 35 CONCEITUAÇÃO Taxas Nominal e Efetiva Taxa Nominal: É a taxa de juros expressa para um período de tempo diferente do período de capitalização dos juros. Taxa Efetiva: É a taxa de juros expressa para um período de tempo idêntica ao do período de capitalização dos juros.

36 36 Conversão de Taxa Nominal p/Efetiva EXEMPLOS: Qual é a taxa efetiva de 30% a.a. com capitalização trimestral Taxas Nominal e Efetiva FÓRMULA i = r n n 1 + i = 0, i = 33,55% a.a.

37 37 Conversão de Taxa Nominal p/Efetiva EXEMPLO: Qual é a taxa efetiva de 30% a.a. com capitalização trimestral Taxas Nominal e Efetiva Resolução i = r n n 1 + i = 0, i = 33,55% a.a.

38 38 Outro exemplo: Qual é a taxa efetiva resultante de 12% a.a. com capitalização mensal Taxas Nominal e Efetiva Resolução i = r n n 1 + i = 0, i = 12,683% a.a Prova Real M= * (1,01) 12 M= 1.126,83 M= * (1, 12683) 1 M= 1.126,83 ou

39 39 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se: a) Qual é o valor de resgate no título no vencimento? R. R$ 5.049,91 b) Qual foi o valor negociado do título? R. R$ 4.580,42 c) Qual foi a taxa anual efetiva (em %), obtida? R. i=22,537%

40 40 Conversão de Taxa Nominal p/Efetiva Taxas Nominal e Efetiva FÓRMULA i = r n n 1 + VP=VF/(1+i) n VF=VP*(1+i) n Conversão de Taxa Nominal p/ Efetiva Cálculo de Valor Futuro Cálculo de Valor Presente i = VF VP 1/n *100 Cálculo da Taxa Eetiva

41 41 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se: a) Qual é o valor de resgate no título no vencimento? R. R$ 5.049,91 VP = i = 24% a.a. Cap. Trim. n = 4 P(1) ? VF=VP*(1+i) n VF=4000*(1+(0,24/4)) 4 VF=5.049,91

42 42 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se: VP = i = 30% a.a. Cap. Bim. n= 4 trim n= 5 bim 5.049,91 P(1) ? b) Qual foi o valor negociado do título? R. R$ 4.580,42 VP=VF/(1+i) n VF=5.049,91/(1+(0,30/6)) 2 VF=4.580,42

43 43 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se: P 2 = 5.049,91 c) Qual foi a taxa anual efetiva (em %), obtida? R. i=22,537% i=((4.580,42/4.000,00)^(12/8)-1)*100 i = 22,537% VP = i = ?? a.a. n= 4 trim n= 4 bim P 1 = 4.580,42 i = VF VP 1/n *100

44 44 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 2. Um investidor fez uma aplicação financeira à taxa de juros de 27% a.a, com capitalização bimestral. Na data do resgate da aplicação são descontados a título de imposto de renda 20% sobre o ganho nominal obtido. Se o prazo da operação é de 04 meses, pede-se: a) Qual a rentabilidade obtida pelo investidor, em taxa de juros efetiva ao ao? R. 23,752% a.a b) No caso do item a) se a instituição financeira retivesse o montante líquido da aplicação por 6 (seis) dias além do prazo contratado, sem qualquer remuneração, qual seria a rentabilidade líquida obtida pelo investidor, em taxa de juros anual? R. 22,502% a.a

45 45 Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva 2. Um investidor fez uma aplicação financeira à taxa de juros de 27% a.a, com capitalização bimestral. Na data do resgate da aplicação são descontados a título de imposto de renda 20% sobre o ganho nominal obtido. Se o prazo da operação é de 04 meses, pede-se: a) Qual a rentabilidade obtida pelo investidor, em taxa de juros efetiva ao ao? R. 23,752% a.a VP = i = 27% a.a. Cap. bim. n = 4 P(1) ? -0,20 IR VF=VP*(1+i) n VF=1000*(1+(0,27/6)) 2 VF=1.092,03 Valor Bruto VL=((VF-1000)*(1-IR)+1000) Valor Liquido VL=(92,03*0,8)+1000) VL=1.073,24 Taxa Efetiva Anual i = VF VP 1/n *100 VL=(1.073,24/1000)^6/2VL=23,752%


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