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TEORIA DOS CONJUNTOS Prof. Dirceu Rocha de Almeida.

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1 TEORIA DOS CONJUNTOS Prof. Dirceu Rocha de Almeida

2 1. Conceitos Primitivos Um grupo ou uma coleção recebe o nome de conjunto. O conceito de conjuntos é primitivo, isto é, não possui uma definição. Por exemplo: um grupo de alunos, uma coleção de figurinhas são exemplos de conjuntos. Conjuntos são formados por elementos. No caso dos conjuntos acima, os elementos são os alunos e as figurinhas, ou seja, estes são os produtos dos conjuntos. Um conjunto é representado por uma letra maiúscula e os elementos pelas letras minúsculas, porém essa representação é facultativa. A relação de pertinência- é usada para fazer a relação entre um elemento e um conjunto, ou seja, essa relação serve para dizer se um determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto.

3 Exemplos Se c é um elemento do conjunto E, escreveremos: c  E Lê-se: c é elemento de E ou pertence a E. Se c não é um elemento de um conjunto E, escreveremos: c  E Lê-se: c não é elemento de E ou c não pertence a E.

4 2 – Conjunto vazio Um conjunto vazio é representado por ∅ ou { }. Obviamente, chamamos um conjunto de vazio quando ele não possuir nenhum elemento. Simbolizando: ∀ x : x   Exemplos:  = {x|x é número natural par menor que zero}  = {x|x é número natural e 5 – x = 8 }

5 3 - Representação de um conjunto Pela designação de seus elementos Os elementos são colocados entre chaves, e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Por exemplo: C = {e, j, m, o, z} – indica que o conjunto C é formado pelos elementos: e, j, m, o, z A= {2; 4; 6; 8;} – indica que o conjunto A é formado pelos elementos: 2, 4, 6, 8. V = {5; {2 ; 3 ; 7} ; {3}} – indica que o conjunto V é formado pelos elementos são: 5, {2; 3; 7} e {3}

6 Pela propriedade de seus elementos Um conjunto representado pelas propriedades de seus elementos deve estabelecer uma característica que caiba para todos os elementos do conjunto. Para pertencer a este conjunto, o produto deverá ter as características estabelecidas por ele. Assim: Os elementos x de um determinado conjunto que possuem a propriedade P é representado por: P {x | x possui a propriedade P} |= “tal que”, também pode ser representado por t.q, ou por dois pontos (:) ou ainda ponto e virgula (;)

7 Exemplo: Veja o conjunto abaixo: A = {2, 4, 6, 8, 10…} Este conjunto pode ser indicado por: A= {x | x é número natural, par e positivo} – representa a propriedade de seus elementos. Lê-se: O conjunto A é formado por qualquer valor desde que seja número natural, par e positivo. Obs.: O ZERO é natural e par, mas não é positivo. O Zero é neutro. Para que o Zero faça parte do conjunto, deveríamos dizer que são os pares naturais não negativos.

8 Pelo diagrama de Venn-Euler O diagrama de Venn-Euler representa os conjuntos através de um “círculo” ou “ linha poligonal fechada” onde os elementos estão no interior do círculo. exemplo: a) Se C = {h, l, n, o, s, v}, então hl no sv C

9 4 - Subconjuntos Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B e representamos por A  B (Lê-se A está contido em B) se todo elemento de A for também elemento de B. Exemplo: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5,6} Note que todo elemento de A é também elemento de B. Assim escrevemos: A  B

10 Diagrama de Venn - Euler B A

11 5 – Conjunto das partes A partir de um conjunto E é possível formar um novo conjunto constituído de todos os subconjuntos de E. O novo conjunto recebe o nome de conjunto dos subconjuntos de E, que é representado por: P(A) Podemos simbolizar da seguinte forma: P(A) = {x| x  A}

12 Teoremas: O vazio está contido em qualquer conjunto, ou seja: ◦  A Todo conjunto está contido nele próprio, isto é: ◦ A  A Exemplo: Seja A = {a,b,c}  P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c},  } P(A) = 8 elementos, ou seja: P(A) = 2 n(A) onde n(A) indica o número de elementos do conjunto A.

13 6 - Igualdade 6 - Igualdade Definição Considere D e E como dois conjuntos. D = E somente quando: D é subconjunto de E, ou E é também subconjunto de D. D = E  D  E e E  D Em outras palavras D = E se, e somente se, possuírem os mesmos elementos.

14 Obs.: Considere A ≠ B, através do símbolo tornam-se diferentes, significa que A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. A  B  A  B ou B  A. Obs.: A ordem dos elementos não é considerada neste caso, o que vale é a característica que o elemento do conjunto possui. Em matemática, tudo que vem entre chaves não possui ordenação, em caso contrário teria que vir entre parênteses.

15 Exemplos: As duas sequencias abaixo são iguais, determine x e y. (-2, x, 4, 6) = (-2, 7, y, 6) Os conjuntos abaixo são iguais, determine os possíveis valores para x. { 2, 5} = {2, x, 5} X = 7 e y = 4 Neste caso, como não há ordenação, Temos X = 2 ou x = 5, pois, note que: {2,5} = {2,2,5} ou {2,5} = {2,5,5}

16 {a, b} = {b, a}, pois {a, b} ⊂ {b, a} e {b, a} ⊂ {a, b}. {6, 8} = {x, y} {x = 6 e y = 8} ou {y= 6 e x = 8}. {a, a, a, b} = {a, b}, pois {a, a, a, b} ⊂ {a, b} e {a, b} ⊂ {a, a, a, b} Como você pode ver a repetição é dispensável.

17 Exercícios: 1 (INFO) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e)10

18 2. (INFO) - Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são: a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5

19 3. Complete os pontilhados com os sinais  ou . a) b {a, b, c, d} b) {b} {a, b, c, d} c) ∅ {0, 1, 3, 4, 6} d) {a} {{0}, {a}, b} e) ∅ {x, y, ∅, m} f) {a, b} {a, b, x, {a, b}}

20 4. Considere o conjunto P = {a, b, c, d}. a) Encontre todos os subconjuntos de P com dois elementos. b) Encontre todos os subconjuntos de P com três elementos. c) Quantos são, no total, os subconjuntos de P? d) Quantos e quais são seus subconjuntos triviais? e) Quantos são seus subconjuntos não-triviais?

21 5. Um conjunto A tem um total de 256 subconjuntos. a) Quantos deles são triviais? b) Quantos são não-triviais? c) Quantos têm pelo menos dois elementos? d) Quantos são os elementos de A?

22 6. Nas sentenças abaixo, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as sentenças falsas. I{2}  {0, 1, 2}II   {5, 6, 7} III   { , 4} IV 5  {3, {5, 1}, 4} V{5, 6}  {5, 6, 7} Nesta ordem, a alternativa correta é: a)F, V, V, F, F b)V, F, F, V, F c)F, V, V, F, V d)V, F, F, V, V e)V, V, V, F, F

23 7. Considere o conjunto A = {{  },  }, onde o símbolo  representa o conjunto vazio. Marque a alternativa INCORRETA: a)   A b)   A c){{  }}  A d){{  }}  A

24 8. Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições: 1. 3  A2. {3}  A3. {3}  A Então: a) apenas 1 e 2 são verdadeiras. b) apenas 2 e 3 são verdadeiras. c) apenas 1 e 3 são verdadeiras. d) todas são verdadeiras.

25 9. A e B são subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos de A que pertencem ao conjunto B. Então pode-se afirmar: a) A é subconjunto de B. b) B é subconjunto de A. c) A e B são disjuntos. d) nenhuma das anteriores.

26 Conjuntos Numéricos Por questões práticas, os números são divididos em determinadas categorias, a partir de suas características específicas. Cada uma delas constitui um conjunto numérico especial. Naturais (N) Inteiros (Z) Racionais (Q) Irracionais (Ir) Reais (R)

27 1. Números naturais A necessidade de contar deu origem ao conjunto N dos números naturais, assim definido: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,... } Trata-se de um conjunto infinito e ilimitado. Todo natural tem um sucessor natural. Se n  N, seu sucessor é (n + 1). Podemos dizer, também, que o antecessor de (n + 1) é n. O natural 0 (zero) não tem antecessor.

28 2. Números inteiros A operação subtração nem sempre é possível em N. Por exemplo, a diferença (3 – 5) não é definida no conjunto dos naturais. Surge aí o conceito de número inteiro negativo. A união dos naturais com os inteiros negativos constitui o conjunto Z dos números inteiros. Portanto, Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Temos, novamente, um conjunto infinito e ilimitado. Todo inteiro tem um sucessor e um antecessor, conceitos definidos de forma análoga ao caso dos naturais.

29 3. Números racionais Todo quociente (razão) entre dois números inteiros é chamado número racional. Exemplos de racionais (inteiro) (fracionário de termos inteiros) (decimal exato) (dízima periódica)

30 Definição O conjunto Q dos números racionais pode ser definido assim:

31 4. NÚMEROS REAIS Existem determinados números decimais que não são exatos nem dízimas periódicas. Eles são chamados números irracionais. Como exemplos, podemos citar = 1, ,  = 3, e = 2, Os irracionais mais importantes são as raízes “não exatas” e algumas constantes especiais, como  e e, de grande importância nos estudos matemáticos. A reunião dos racionais com os irracionais constitui o conjunto dos números reais. Portanto, R = Q  Ir

32 Diagrama N R Ir Q Z

33 Observação Para os conjuntos numéricos, valem as convenções: o sinal asterisco (*) retira o zero do conjunto; o sinal mais (+) retira os negativos do conjunto; o sinal menos (–) retira os positivos do conjunto.

34 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS A interseção de A e B (em símbolos: A ∩ B ou B ∩ A) é o conjunto dos elementos do universo que pertencem ao mesmo tempo (elementos comuns) a A e a B.

35 INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS No diagrama abaixo, a região sombreada representa o conjunto A ∩ B ou B ∩ A.

36 Exemplos Sendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 6, 7, 9}, seus únicos elementos comuns (em negrito) são 3 e 6. Portanto, A ∩ B = B ∩ A = {3, 6}. Se P = {x  / n é par} e I = {x  / n é ímpar}, é claro que P e I não tem elementos comuns. Logo, P ∩ I = I ∩ P = . Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, dizemos que eles são disjuntos. Assim, os conjuntos P e I do último exemplo anterior são disjuntos.

37 UNIÃO OU REUNIÃO DE CONJUNTOS A união ou reunião de A e B (em símbolos: A  B ou B  A) é o conjunto dos elementos do universo que pertencem a A ou a B. Incluem- se os elementos comuns a A e B.

38 No diagrama a seguir, a região sombreada representa o conjunto A  B ou B  A.

39 Exemplos A união dos conjuntos A={2, 3, 5, 8} e B={3, 6, 9} é obtida reunindo-se os elementos de A e B num único conjunto. Portanto, A  B=B  A={2, 3, 5, 6, 8, 9}. Sendo P={x  N/n é par} e I={x  N/n é ímpar}, P  I = I  P = N. Se A  B, temos que A  B = B.

40 DIFERENÇA DE CONJUNTOS A diferença de dois conjuntos A e B, nesta ordem, (em símbolos: A – B) é o conjunto dos elementos do universo que pertencem a A e não pertencem a B.

41 Veja, no diagrama, a região sombreada, que representa o conjunto A – B. A diferença B – A é o conjunto dos elementos do universo que pertencem a B e não pertencem a A.

42 Exemplos Suponhamos A={2, 3, 5, 8} e B={3, 6, 9}. Os elementos 2, 5 e 8 são os únicos que pertencem apenas a A, logo A – B = {2, 5, 8}. Os elementos 6 e 9 são os únicos que só pertencem a B, logo B – A = {6, 9}. Sendo P={x  N/n é par} e I={x  N/n é ímpar}, P – I = P e I – P = I. Note que, em geral, A – B ≠ B – A. No caso em que A  B, A – B = .

43 CONJUNTO COMPLEMENTAR Quando A  B, a diferença B – A é também chamada complementar de A em relação a B (em símbolos: ). Portanto,

44 Exemplo Sendo X = {a, b, c} e Y = {a, b, c, d, e}, existe o complementar de X em relação a Y, porque X  Y. Portanto, = Y – X = {d, e}. O complementar de um conjunto A em relação ao universo U pode ser representado simplesmente por ou. Logo,

45 CONTANDO OS ELEMENTOS DE UM CONJUNTO Convencionaremos representar por n(A) o número de elementos de um conjunto finito A. Assim, dado o conjunto A = {a, b, c}, n(A) = 3. Dados dois conjuntos A e B, o número de elementos de A, B, A  B e A ∩ B obedecem à seguinte relação:

46 É fácil perceber a lógica dessa relação. Observe que, no cálculo da soma n(A) + n(B), estamos considerando n(A ∩ B) duas vezes. Por isso, esse último valor deve ser subtraído daquela soma. Note que n(X) = 6; n(Y) = 4; n(X ∩ Y) = 2. Logo, n(X  Y) = n(X) + n(Y) – n(X ∩ Y) = – 2 = 8

47 Exemplo Dos 80 alunos de uma sala, 36 praticam natação, 45 não fazem caminhadas e 28 fazem natação e caminhadas. Quantos apenas fazem caminhadas? Vamos considerar, como universo, o conjunto A de todos os alunos. Contidos em A, estão os conjuntos: N dos alunos que praticam natação; C dos que fazem caminhadas. A partir do diagrama abaixo, podemos inserir o número de alunos em cada região. É interessante iniciarmos por (N ∩ C), onde estão os alunos que praticam os dois esportes. Pelo enunciado, n(N ∩ C) = 28.

48 Diagrama: Dos 36 alunos que nadam, 28 já estão computados. Portanto, os restantes 36 – 28 = 8 praticam apenas natação. Logo, n(N – C) = 8.

49 Diagrama:

50 Os 45 alunos que não fazem caminhadas estão fora do conjunto C. Desse total, 8 já estão computados. Faltam, portanto, 45 – 8 = 37, que só podem estar no conjunto. Temos, até agora, = 73 alunos. Se o total de alunos é 80, a diferença 80 – 73 = 7 é o número de alunos que só fazem caminhadas. Portanto, podemos concluir finalmente que n(C – N) = 7.

51 Assim sendo, o número de alunos que apenas fazem caminhadas é 7.

52 Exemplos: Numa empresa de 90 funcionários, 40 são os que falam inglês, 49 os que falam espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam inglês. O número de funcionários dessa empresa que não falam inglês nem espanhol é a) 9b) 17 c) 18d) 27

53 Solução E I 90 Y W X Z 40 são os que falam inglês  X+Y 49 os que falam espanhol  Y+Z 32 os que falam espanhol e não falam inglês  Z = 32 IE = 72  W = 90 – 72 =

54 Exemplo: Com o objetivo de analisar o consumo de três marcas A, B e C de um mesmo produto, fez-se uma pesquisa em que foram consultadas 1000 pessoas. O resultado da pesquisa encontra-se na tabela abaixo. Analisando esses resultados, pode-se concluir que o número de pessoas que NÃO consomem nenhuma marca é a) 210b) 170 c) 200d) 370

55 Solução C AB = = = = =160 n(AUBUC) = =830 Logo temos: 1000 – 830 =

56 Exemplos Observe as operações a seguir, envolvendo números reais. Das situações abaixo enumeradas, assinale a ÚNICA que NÃO ocorre em nenhum dos exemplos acima. a) Dois irracionais cuja soma é irracional. b) Dois irracionais cuja soma é racional. c) Dois racionais cuja soma é não-racional. d) Dois irracionais cujo produto é racional.

57 Exemplo: A seguir, são feitas várias afirmativas a respeito dos conjuntos numéricos. Assinale a única CORRETA. a) Todo real é irracional. b) Nem todo racional é real. c) Existem racionais que são inteiros. d) Não existe inteiro que seja natural. e) Toda dízima periódica é irracional.

58 Exemplo Complete o quadro abaixo com os sinais  ou .                     

59 Exemplo Depois de n dias de férias, um estudante observa que: I) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; II) quando chove de manhã não chove à tarde; III) houve 5 tardes sem chuva; IV) houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a)7 b)8 c)9 d)10 e)11

60 Solução: houve 5 tardes sem chuva  n – 5 manhãs com chuva houve 6 manhãs sem chuva  n – 6 tardes com chuva quando chove de manhã não chove à tarde, então não ocorreu dias com chuvas de manhã e a tarde, logo: (n – 5) + (n – 6) = 7 2n – 11 = 7 2n = 18 conclui-se que: n = 9


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