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Introdução Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA Mestrando: Herton G Caminha.

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1 Introdução Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA Mestrando: Herton G Caminha Goerch Orientador: Profª Dr. Vanilde Bisognin

2 Introdução Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Este trabalho tem como foco central a investigação sobre as possibilidades que a Modelagem Matemática oferece à aprendizagem de conceitos matemáticos. As atividades propostas foram a modelagem de objetos campeiros usados no trabalho do tropeiro que vive no estado do Rio Grande do Sul com o auxilio do software Geogebra. A pesquisa foi ancorada nas ideias da Educação Matemática Realista proposta por Hans Freudhental e sua aproximação com as ideias da Modelagem Matemática. Introdução

3 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Investigar as contribuições que a Modelagem Matemática de objetos campeiros, mais especificamente os relacionados ao arreamento da encilha, pode trazer para o ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos, especificamente no que se refere a:  Coleta e organização de dados referentes à origem dos objetos do arreamento da encilha;  Análise da maneira que os alunos percebem a presença da matemática nos objetos do arreamento da encilha;  Construção de modelos matemáticos a partir dos objetos estudados. Objetivos

4 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução A Modelagem Matemática foi utilizado como metodologia de ensino. Esta pesquisa foi desenvolvida com alunos do segundo ano do Ensino Médio do curso de Agropecuária do Instituto Federal Farroupilha, campus de Alegrete. A escolha se deu pela intensa ligação que os alunos têm com a cultura local, na qual as tradições são amplamente cultuadas e se evidencia um elo muito forte entre o homem do campo e seus instrumentos de trabalho no dia a dia. Metodologia

5 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Atividades I Estribo II Freio III Espora estribo freio espora Nas atividades serão apresentadas três proposições de construção, a partir da modelagem matemática, de objetos campeiros, o estribo e o freio e a espora. Para cada um dos exemplos será descrito os passos para a modelagem, utilizando o software GeoGebra sem passar pela construção com lápis e papel.

6 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Utilizando o software Geogebra, na modelagem do ESTRIBO. Após a construção da base o grupo passou a representar os demais elementos do objeto por meio de modelagem conduzido o processo pelo professor através de questionamentos. Para representar a base do estribo os alunos usaram como base 8 cm de largura e com altura partindo do ponto y = 2.

7 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Com base nos questionamentos do professor os alunos propuseram representar o gráfico da função e buscaram determinar, por meio de um sistema de equações, construído a partir da escolha de três pontos, os coeficientes. Após cálculos obtiveram Assim, determinaram a função que representa o que é chamado de bocal do estribo. Ver Modelo

8 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Com base nos questionamentos do professor os alunos propuseram representar o gráfico da função e buscaram determinar, por meio de um sistema de equações, construído a partir da escolha de três pontos, os coeficientes. Após cálculos obtiveram Assim, determinaram a função que representa o que é chamado de bocal do estribo. Ver Modelo X

9 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Com base nos questionamentos do professor os alunos propuseram representar o gráfico da função e buscaram determinar, por meio de um sistema de equações, construído a partir da escolha de três pontos, os coeficientes. Após cálculos obtiveram Assim, determinaram a função que representa o que é chamado de bocal do estribo. Ver Modelo

10 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para completar a modelagem do estribo, o grupo partiu para a construção da parte denominada “passa loro”, na parte superior do objeto, local destinado à colocação da correia (loro) que prende ao arreio para dar sustentação e permitir a montagem do cavaleiro.

11 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para encerrar a atividade o professor-pesquisador estabeleceu, em grande grupo, um resumo dos passos seguidos pelo grupo

12 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução No primeiro momento, plotamos uma função Modelagem do FREIO

13 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Num segundo momento, repetimos a operação para obter a outra “haste” que compõe o modelo No primeiro momento, plotamos uma função Modelagem do FREIO

14 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução bocalpassador de língua Para determinamos a parte do modelo chamada de “bocal” ou “passador de língua”, usamos uma função quadrática, definida a partir de 3 (três) pontos e, de tal forma que um dos pontos seja o ponto de máximo da função. Os pontos que são:,, e a função Obtendo o sistema de equações: Resolvendo o sistema...., fica definida a função com intervalo definido de [8,11]. Nesta construção representa as abscissas dos pontos onde desejamos que a construção fique definida Ver Modelo

15 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução bocalpassador de língua Para determinamos a parte do modelo chamada de “bocal” ou “passador de língua”, usamos uma função quadrática, definida a partir de 3 (três) pontos e, de tal forma que um dos pontos seja o ponto de máximo da função. Os pontos que são:,, e a função Obtendo o sistema de equações: Resolvendo o sistema...., fica definida a função com intervalo definido de [8,11]. Nesta construção representa as abscissas dos pontos onde desejamos que a construção fique definida Ver Modelo X

16 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução bocalpassador de língua Para determinamos a parte do modelo chamada de “bocal” ou “passador de língua”, usamos uma função quadrática, definida a partir de 3 (três) pontos e, de tal forma que um dos pontos seja o ponto de máximo da função. Os pontos que são:,, e a função Obtendo o sistema de equações: Resolvendo o sistema...., fica definida a função com intervalo definido de [8,11]. Nesta construção representa as abscissas dos pontos onde desejamos que a construção fique definida Ver Modelo

17 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução A construção de uma função constante, nos intervalos [3,6} e [13,16] ligara às “hastes” ou “pernas” ao freio

18 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para completar a ligação das “barras” do freio ao “bocal”, fizemos através de uma função quadrática que é obtida a partir de 3( três) pontos, que são (8,4), (6,2),(4,4) Obtemos o sistema: Desenvolvendo o sistema, temos a função Plotando a função no Geogebra no intervalo definido [6,8] obtemos a construção Ver Modelo

19 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para completar a ligação das “barras” do freio ao “bocal”, fizemos através de uma função quadrática que é obtida a partir de 3( três) pontos, que são (8,4), (6,2),(4,4) Obtemos o sistema: Desenvolvendo o sistema, temos a função Plotando a função no Geogebra no intervalo definido [6,8] obtemos a construção X Ver Modelo

20 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para completar a ligação das “barras” do freio ao “bocal”, fizemos através de uma função quadrática que é obtida a partir de 3( três) pontos, que são (8,4), (6,2),(4,4) Obtemos o sistema: Desenvolvendo o sistema, temos a função Plotando a função no Geogebra no intervalo definido [6,8] obtemos a construção Ver Modelo

21 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução A seguir repetimos o processo, para obter a mesma construção no lado oposto ao que foi construído. Os pontos definidos para obtermos a função foram (11,4), (13,2), (15,4)

22 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução A “haste” ou “perna” do freio tem em suas extremidades argolas com funcionalidades diferentes. Na extremidade superior do freio, existem duas argolas chamadas de “passador da cabeçada”. Para construir o “passador da cabeçada” plotamos no Geogebra o comando “Círculo [, ]”, neste caso com valores definidos como ponto (3,7.5), raio 1.5 indica o local onde o círculo que representa a argola deve aparecer e o raio determina o diâmetro da circunferência. Construção do modelo Ver Modelo X

23 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para obter a mesma construção no lado oposto repete-se o procedimento, trocando- se o ponto onde a construção deve se localizar. O ponto fica definido como (16,7.5) e o raio 1.5

24 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Ver Modelo hasteperna Na parte inferior da “haste” ou “perna” do freio existem também duas argolas que são usadas para prender as rédeas, que são usadas para controlar o animal”. Para a construção das argolas inferiores usaremos o mesmo comando anterior, “Círculo [, ]”, porém com um dos pontos definido em (3,-7) e o outro em (16,-7). O raio menor que o processo anterior, determina um diâmetro menor, nesse caso estabelecido como o ideal na construção. Assim, obtemos o modelo X

25 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para a construção da corrente utilizada e o tamanho dos seus elos usamos o conceito e definições da função seno e o comando do Geogebra “Função[,, ]”, onde definimos os seguintes valores abs(0,25)sin(2.5x),3,16, sendo que o valor -4,5 corresponde ao local onde a função(curva) deve aparecer. O comando “abs” do Geogebra se refere a função módulo. O valor 0,25 é a amplitude. E finalmente o valor 3 e 16 é o intervalo em que essa função deve aparecer a representação conforme a Figura

26 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para construir a parte oposta dos elos que formam a corrente, usamos o mesmo comando anterior, com o sinal inverso no comando do caractere que indica módulo da função. Onde constava anteriormente “+abs”, colocamos “-abs” e também invertemos o sinal do arco da função que estava definido como “+2,5x” para “-2,5x”. Como podemos observar na Figura.

27 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para encerrar a atividade foi apresentado, em grande grupo, um resumo dos passos seguidos pelo grupo

28 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução A pilcha, vestimenta histórica do gaúcho, foi transformada em traje de honra e de uso preferencial no Rio Grande do Sul Esporas As diretrizes traçadas pelo Movimento Tradicionalista gaúcho (MTG), determinaram como traje oficial do peão (à época Farroupilha), o conjunto de Chiripá, camisa, Colete ou Jaleco, Jaqueta, Ceroulas, Chapéu, Guaiaca, Botas, Faixa, Esporas e lenço MODELAGEM DA ESPORA

29 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para a construção deste modelo foi efetuado os seguintes passos: Com a ferramenta “intersecção de dois objetos” do software Geogebra nomeia o ponto A formado pela intersecção dos eixos. Plotar o comando que dá origem a circunferência, sendo a medida do raio definida como 0.5. Construir outra circunferência mudando o tamanho do raio, para gerar uma circunferência com diâmetro maior que a anterior. Marcar um novo ponto na circunferência de diâmetro maior, ponto B.

30 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Crie um seletor clicando na tela geométrica; na janela da ferramenta “controle deslizante”, selecione a opção ângulo, depois clique em aplicar Na sequencia, usaremos a ferramenta “rotação em torno de um ponto”, através do ângulo α, criado anteriormente, clicando no ponto B, com centro em A. Seletor

31 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Prosseguindo, com a ferramenta “ângulo com amplitude fixa” clicar em B’ e na janela visual digitar 360º/7 para dividir a circunferência.

32 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução A partir deste momento da construção do modelo, vamos repetir o processo anterior durante 5 (cinco) vezes, até obtermos todos os pontos desejados.

33 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Continuando, devemos “esconder” os arcos dos ângulos formados, para evitar que eles venham interferir na construção do modelo No próximo passo, com a ferramenta bissetriz, traçamos a bissetriz dos ângulos formados por três pontos, que dará uma nova representação.

34 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Nesta etapa, devemos traçar a bissetriz dos ângulos formados por três pontos, que dará uma nova representação

35 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Na sequência da construção, usando a ferramenta segmento de reta, selecionamos dois pontos ( um deles a intersecção e o outro um dos pontos iniciais ) e clicamos nos pontos de intersecção com a circunferência de raio menor e nos pontos iniciais da circunferência de raio menor.

36 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução A seguir, devemos “esconder” os pontos, as bissetrizes e a circunferência maior.

37 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução papagaio da espora Para a construção da parte do objeto que prende a roseta da espora com o restante da espora, parte esta chamada de “papagaio da espora”, usamos o comando para criar a função constante, assim: Se[, ], para tal o intervalo usado é [ 0≤ X≤ 2, zero]. Prosseguindo usamos o comando que o Geogebra “aceita” como função inversa, desta forma.” Curva, expressão, expressão, variável, valor inicial, valor final “. Para este caso o valor da “expressão” é 2, dessa forma : Curva[,,,, ] que dará a posição exata da parte do modelo que prende a roseta ao restante da espora. Assim definido: curva [ f2 (t), t, t, x (canto[1], então teremos a representação abaixo Ver Modelo X

38 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Na próxima etapa, devemos construir a parte da espora que prende a espora a bota, para tal é necessário o uso de uma função quadrática, que encontramos a partir de três pontos pré- definidos. Neste exemplo os pontos escolhidos definirão a posição exata em que a construção deve aparecer. Os pontos são: (0, 2 ), ( -1,5, 4 ), (1,5, 4 ). Montamos o sistema e obtemos os coeficientes: a = 4/4,5, b = 0, c = 2 e a função quadrática expressa dessa forma, f(x) = 4/4,5 x Plotamos no Geogebra “função[ 4/4,5 x 2 + 2, -1,5, 1,5 ]

39 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Para finalizar a construção do modelo, é necessário construir as argolas que prenderão as correias de fixação da espora na bota. Para tal plotamos o comando o comando círculo no Geogebra, que nos dará uma circunferência. Neste caso os valores escolhidos para a primeira argola são: Circ [ (-1.5, 4.3 ), 0,3), sendo o último valor (0,3) a medida do raio da circunferência. Repetimos o processo para obter a mesma construção na outra argola, apenas alterando o valor da entrada inicial, pois a segunda argola deverá estar oposta a primeira. Assim Circ [ (1.5, 4.3), 0,3)

40 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução Após as etapas realizadas a construção final do objeto ficou definida na Figura Ver Modelo no Geogebra

41 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução ALMEIDA, L. W.; ARAUJO, J. L.; BISOGNIN, E. (Org.). Práticas de Modelagem Matemática na Educação Matemática. Londrina: Editora da Universidade Estadual de Londrina, BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAUJO,J. L. (Orgs.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisa e práticas educacionais. Recife: SBEM, BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: 24ª RA da ANPED, Anais... Caxambu, BARNES, H.; VENTER, E. Mathematics as a social construct: teaching mathematics in context. In.: Pythagoras: Journal of the Association for Mathematics Education of South Africa, South Africa, Pretória, 2008, p. 3-14, v. 68. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, ______. Ensino aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. 3. ed. 2ª. impressão. São Paulo: Contexto, BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática & implicações no ensino-aprendizagem de matemática. Blumenau: Furb, BRANDT, C. F.; BURAK, D.; KLÜBER, T. E. (Orgs.). Modelagem Matemática uma perspectiva para a Educação Básica. Ponta Grossa: Editora UEPG, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEF, BURAK, D. Modelagem Matemática: ações e interações no processo de ensino-aprendizagem. Campinas-SP, Tese (Doutorado em Educação)-Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, BURIASCO, R. L. C.; FERREIRA, P. E. A.; CIANI, A. B. Avaliação como prática de investigação (alguns apontamentos). In.: Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro-UNESP, v. 33, n. 22, p , CAMPOS, C. R.; WODEWOTZKI. M. L. L.; JACOBINI, O. R. (Org.). Educação Estatística: teoria e prática em ambientes de Modelagem Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, (Coleção Tendências em Educação Matemática). FLICK, U. Introdução à pesquisa qualitativa. Tradução de Joice Elias Costa. 3. ed. Porto Alegre: Artemed, FREUDENTHAL, H. Mathematics as an education task. Dordrecht: Kluwer, FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, Bibliografia

42 Objetivos Metodologia AtividadesBibliografia Sair Introdução GRAVEMEIJER, K.; TERUEL, Y. J. Hans Freudenthal: a mathematician on didactics and curriculum theory. In.: J. Curriculum Studies, 2000, v. 32, n. 6, p Tradução de Norma Saggesse, Fernanda Gallego y Ana Bressan (GPDM). JZN, J. L. Mathematics, insight and meaning: teaching, learning and testing of mathematics for the life and social sciences. Rijksuniversiteit Utrecht: Vakgroip Onderzock Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, LUCCAS, S.; BATISTA, I. L. O papel da matematização em um contexto interdisciplinar no ensino superior. In.: Ciência & Educação, v. 17, n. 2, p , LUDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, MEYER, J. F. C. A.; CALDEIRA, A. D.; MALHEIROS, A. P. S. (Orgs.). Modelagem em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, (Coleção Tendências em Educação Matemática). MTG, Rio Grande do sul. Coletânea da Legislação Tradicionalista.Org. Paulo Roberto de Fraga Cirne. Volume I, 9ª edição, Evangraf, Porto Alegre, PONT, Raul. Campos Realengos; Formação da fronteira sudoeste do Rio Grande do Sul. Volume I, Porto Alegre, Renascença, TREFFERS, A.; GOFFREE, F. Rational analysis of realistic mathematics education: the Wiskobas program. In.: STREEFLAND, L. (Ed.). International Conference For The Psychology Of Mathematics Education. Utrecht: Utrecht University, v. 2. p RICO,L.; LA COMPETENCIAMATEMÁTICA EN PISA.In:Liiteracia matemática no PISA, PNA, 1 (2), pp ZABALZA, Miguel A. O ensino universitário: seu cenário e seus protagonistas.Trad.Ernani Rosa.Porto Alegre.Artmed, 2004.


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