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©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 1/30Cálculo Numérico Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 2: Somatório e Produtório Instituto Federal de Educação,

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1 ©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 1/30Cálculo Numérico Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 2: Somatório e Produtório Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 1 0 Semestre de 2013

2 ©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 2/30Cálculo Numérico Somatório (1) n Seja a seguinte soma de inteiros de 1 a 5: n Usa-se o Somatório para encurtar a escrita de dessa somas de parcelas. n Pode-se pensar nessa soma do seguinte modo:  Suponha que se tenha alguma quantidade i, que inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5.  A expressão resultante representa a soma de todos os valores de i. n A notação para somatório é dada da seguinte forma:

3 ©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 3/30Cálculo Numérico Somatório (2) n Onde:  A letra grega ∑ (sigma) representa o somatório; H O número 1 é o limite inferior do somatório; H O número 5 é o limite superior do somatório; e  A variável i é chamada de índice do somatório. 4 Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior. n Todos os valores do índice do somatório são somados, de forma que:

4 ©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 4/30Cálculo Numérico Somatório (3) n Exemplo 1: n Exercício 1: Qual o valor de

5 ©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 5/30Cálculo Numérico Somatório (4) Nos exemplos apresentados, a expressão após o símbolo de somatório é o símbolo i, denominado de índice do somatório. H Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão. n Exemplo 2: n Exercício 2: Qual o valor de

6 ©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 6/30Cálculo Numérico Somatório (5) n Para se simbolizar somatórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação a seguir: H Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e nem a expressão após o símbolo do somatório; e H A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, variando do limite inferior até o superior, como se segue, n Há alguns casos especiais a serem considerados com relação ao valor de :

7 ©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 7/30Cálculo Numérico Somatório (6) n Caso 1: H Aqui a expressão após o sinal de somatório é a constante 0, que tem o valor 0 independente do valor do índice do somatório. A soma de qualquer quantidade de números iguais a 0 é 0. n Exemplo 3:

8 ©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 8/30Cálculo Numérico Somatório (7) n Caso 2:  Aqui a expressão após o símbolo de somatório é uma constante, e o somatório diz que tem que se somar n cópias de uma constante, o que é igual ao valor c  n. n Exemplo 4:

9 ©Prof. Lineu MialaretAula 2 - 9/30Cálculo Numérico Somatório (8) n Caso 3: H Aqui, nesse somatório, o limite superior é menor que o limite inferior; e a interpretação usual de somatório não se aplica; mas se convenciona que esse somatório é igual a 0. n Exemplo 5:

10 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (9) n O índice de somatório é uma variável muda, isto é, ela simplesmente marca o lugar do número que está sendo alterado e pode-se usar qualquer outra variável sem mudar o valor do somatório. n Exemplo 6:

11 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (10) n Pode-se mudar os limites em um somatório, o que é permitido desde que o valor do somatório permaneça o mesmo. n Exemplo 7: H Já que ambos os somatórios tem o valor = 6.

12 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (11) n Há algumas propriedades para somatórios. n Propriedade 1: n Propriedade 2:

13 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (12) n Propriedade 3:  Onde c é uma constante.

14 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (13) n Prova da Propriedade 1: Notar que,  a p + b p + a p+1 + b p a q + b q = 4 a p + a p a q + b p + b p b q termos em a i termos em b i

15 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (14) n Exercício 3: Provar a Propriedade 2.

16 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (15) n Exercício 4: Provar a Propriedade 3.  Onde c é uma constante.

17 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (16) n Exercício 5: Seja a soma dos valores de transações de cartões de credito apresentadas a seguir, H H Colocar essa soma em formato de somatório.

18 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (17) n Pode-se ter somatórios duplos (ou triplos, etc.). n Exemplo 8: n Exercício 6: Expandir o somatório acima.

19 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Somatório (18) n Exercício 6: Expandir o somatório abaixo. n Solução:

20 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (1) n Seja a seguinte multiplicação de inteiros de 1 a 5: n Usa-se o Produtório para encurtar a escrita de dessa multiplicação de parcelas. n Pode-se pensar nessa multiplicação do seguinte modo:  Suponha que se tenha alguma quantidade i, que inicialmente tem o valor 1 e que assume, sucessivamente, os valores 2,3,4 e 5.  A expressão acima é o resultado da multiplicação de todos os valores de i. n A notação para produtório é dada da seguinte forma:

21 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (2) n Onde:  A letra grega ∏ (pi) representa o produtório; H O número 1 é o limite inferior do produtório; H O número 5 é o limite superior do produtório; e  A variável i é chamada de índice do produtório. 4 Esse índice assume inicialmente o valor do limite inferior e depois vai crescendo, de um em um, até atingir o valor do limite superior. n Todos os valores do índice do produtório são multiplicados, de forma que:

22 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (3) n Exemplo 8: n Exercício 7: Qual o valor de

23 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (4) Nos exemplos e exercícios apresentados, a expressão após o símbolo de produtório é o símbolo i, o denominado índice do produtório. H Esse símbolo pode ser substituído por qualquer expressão e os valores sucessivos do índice são substituídos na expressão. n Exemplo 9: n Exercício 8: Qual o valor de

24 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (5) n Para se simbolizar produtórios de forma geral, pode-se usar a seguinte especificação: H Onde não se especifica nem os limites inferior e superior e a expressão após o símbolo do produtório; e  A notação significa que a expressão será calculada para diferentes valores de i, do limite inferior até o superior, como se segue, n Há algumas propriedades de produtórios para serem consideradas a seguir.

25 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (11) n Propriedade 1: n Exemplo 10:

26 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (12) n Propriedade 2: n Exemplo 11:

27 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (13) n Propriedade 3: n Exemplo 12: H Para usando-se a soma

28 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (14) n Propriedade 4: n Exemplo 13: H Para

29 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (15) n Propriedade 5: n Exemplo 14: H Para

30 ©Prof. Lineu MialaretAula /30Cálculo Numérico Produtório (16) n Exercício 9: Verificar se é verdadeira a equação abaixo.


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