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EQUAÇÕES DE MAXWELL AULA 13 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 1.

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1 EQUAÇÕES DE MAXWELL AULA 13 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 1

2 INDUTÂNCIA PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 2 Consideremos dois circuitos em repouso. Pela lei de Biot-Savart o campo criado pela corrente que flui no circuito 1 é dado por: B1B1 i1i1 C2C2 C1C1 dl 2 dl 1 r i2i2 O fluxo através de uma superfície fechada S, limitada pelo circuito 2 é dado por:

3 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 3 Como o campo produzido pela espira 1 é proporcional a i 1 o fluxo na superfície limitada pela espira 2 também deve ser proporcional a i 1: Indutância mútua entre os dois circuitos Vamos expressar agora o campo criado pela espira 1 em termos do potencial vetor e usar esse resultado para escrever o fluxo através da espira 2: Fórmula de Neumann INDUTÂNCIA II

4 INDUTÂNCIA III PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 4 Propriedades da indutância: 1.É uma quantidade puramente geométrica; 2.M 21 = M 12 = M : temos simetria. O que acontece se a corrente no circuito 1 variar? O fluxo no circuito 2 também vai variar e consequentemente teremos uma força eletromotriz agindo no circuito 2:

5 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 5 A variação de corrente no circuito 1 também induz uma variação de fluxo no próprio circuito 1 => auto- indutância (L): - Com a indutância mútua, a auto-indutância (ou simplesmente indutância) depende apenas de fatores geométricos e é uma constante. -Do mesmo modo, o fato de variar a corrente no circuito 1 faz com que apareça uma força eletromotriz que tende a fazer com que a corrente no circuito volte a seu valor anterior: chamamos esta fem de contra fem; -A indutância faz então o papel da massa em problemas da Mecânica. INDUTÂNCIA IV

6 ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 6 Qual o trabalho que deve ser realizado para estabelecer uma certa corrente em um circuito? Esse trabalho é realizado contra a força eletromotriz contrária. Trabalho por unidade de carga (ao longo do circuito) Valor final da corrente

7 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 7 Lembrando que: Escrevendo a corrente vetorialmente: ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS II

8 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 8 ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS III O volume V é o volume onde estão as correntes. Usando agora a lei de Ampére para eliminar J desta equação: Podemos escrever que:

9 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 9 ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS IV Podemos estender, já que as correntes são nulas fora dos circuito, a integral para todo o espaço. No infinito, a integral se superfície se anula e então: A energia fica armazenada no campo! Caso eletrostático

10 EQUAÇÕES DE MAXWELL PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 10 Quando olhamos para as equações que temos agora, observamos uma inconsistência na lei de Ampére: Sempre! Em geral

11 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 11 Para resolver esse problema vamos olhar para a equação da continuidade: Se somarmos esse termo à lei de Ampére, recuperamos a igualdade sempre. Logo a forma correta da Lei de Ampére será dada por: Lei de Ampére com a correção devida a Maxwell Corrente de deslocamento EQUAÇÕES DE MAXWELL II

12 EQUAÇÕES DE MAXWELL III PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 12 Um problema interessante Se analisarmos esse problema com a velha formulação da lei de Ampére seremos levados a uma contradição. Se aplicarmos a lei de Ampére considerando a superfície arbitrária 1: i + Circuito amperiano _ Superfície arbitrária 2 Superfície arbitrária 1

13 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 13 Por outro lado, se usarmos a superfície arbitrária 2: Vamos agora analisar o mesmo problema, usando a formulação correta da lei de Ampére. O caso da superfície arbitrária 1 continua o mesmo, mas o que acontece agora coma superfície arbitrária 2? Por simplicidade, vamos supor que as placas do capacitor estejam suficientemente próximas: EQUAÇÕES DE MAXWELL IV

14 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 14 EQUAÇÕES DE MAXWELL V Portanto, agora, se calcularmos usando a superfície 2 e a forma correta da lei de Ampére:

15 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 15 EQUAÇÕES DE MAXWELL VI Podemos agora escrever as equações de Maxwell na sua forma final (no vácuo): Lei de Gauss Lei de Faraday Lei de Ampére (com a correção devida a Maxwell)

16 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 16 Estas equações nos fornecem os campos criados por cargas e correntes. A ação dos campos sobre as cargas e correntes é dada pela força de Lorentz: Obs.: a equação da continuidade da carga é uma conseqüência destas equações. Em meios materiais: Necessitamos saber: EQUAÇÕES DE MAXWELL VII

17 COMO FICA O POTENCIAL AGORA? PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 17 Vamos usar a definição do campo magnético em função do potencial vetorial na Lei de Faraday: Um novo potencial!

18 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 18 Leis de Conservação Energia Momento Momento angular Carga

19 1.Carga Por outro lado o fluxo de carga através da superfície que limita o volume S é dado por: Conservação da carga LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 19

20 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 20 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA PROF PAULO ROSA DFI/CCET/UFMS 20 Teorema de Poynting No caso da eletrostática e da magnetostática a energia total armazenada nos campos elétrico e magnético é dada pela soma: Como fica no caso dinâmico? Qual a quantidade de trabalho (dW) executada pelos campos elétrico e magnético em um intervalo de tempo dt? Pela força de Lorentz: i i E B

21 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 21 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA II Vamos agora usar a lei de Ampére para eliminar a densidade de corrente da expressão anterior (e ficar com uma expressão que depende apenas dos campos): Vamos usar agora a identidade vetorial: Podemos reescrever:

22 22 Usando agora a lei de Faraday e a identidade: LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA III Podemos reescrever a expressão acima como: PROF PAULO ROSA INFI/UFMS

23 23 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA IV PROF PAULO ROSA DFI/CCET/UFMS Após aplicar o teorema da divergência ao último termo obtemos: Teorema de Poynting. Vetor de Poynting (S) U em

24 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 24 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DA ENERGIA V Usando uma notação mais compacta: Por outro lado, esse trabalho aparece como variação na energia mecânica do sistema de partículas: Portanto: Equação da continuidade para a energia

25 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 25 q1q1 q2q2 y x z B1B1 FeFe FmFm B2B2 FeFe FmFm v v As forças magnéticas não obedecem à terceira lei de Newton - > Temos que rediscutir a conservação do momento. LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO Os campos são portadores de momento!

26 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 26 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO II Tensor Stress de Maxwell Uma pequena questão: qual a força total exercida pelos campos sobre as cargas presentes em um dado volume? Força por unidade de volume. Vamos usar agora as leis de Ampére e de Gauss para eliminar a densidade de carga e a densidade de corrente:

27 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 27 Podemos reescrever o último termo na forma: Logo: LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO III

28 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 28 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO IV Como o divergente de B é nulo podemos soma-lo a esta última expressão. Além disso, podemos fazer uso da identidade vetorial: Com isso, a força por unidade de volume será dada por:

29 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 29 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO V Podemos simplificar esta expressão, introduzindo o tensor Stress de Maxwell: A i-ésima componente do divergente deste tensor é dada por:

30 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 30 Em termos do tensor Stress de Maxwell, a força por unidade de volume pode ser escrita como: E a força no volume V será dada por: LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO VI

31 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 31 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO VII Qual a interpretação dessas quantidades? T ij : força na direção i exercida sobre um elemento de área da superfície S, orientado na direção j Os elementos da diagonal representam pressões; Os elementos fora da diagonal representam shears (cisalhamento). xjxj xixi T ij (i  j) T jj

32 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 32 LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO VIII Podemos agora obter a expressão para a conservação do momento: Densidade de fluxo de momento para fora do elemento de volume

33 PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 33 Da definição de momento angular, o momento angular por unidade de volume (l) será dado por: Desde que tenhamos o produto vetorial de E por B não nulo, este termo deve ser levado em conta na conservação do momento angular. E o momento angular total (L) em um volume V: LEIS DE CONSERVAÇÃO E EQUAÇÕES DE MAXWELL CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR

34 FIM DA AULA 13 Fim do Curso de Eletromagnetismo I PROF PAULO ROSA INFI/UFMS 34


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