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Teoria da Computação VERIFICAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA FORTE DE PROGRAMAS Fabrício Dias UNIPÊ – Centro Universitário de João Pessoa Curso.

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1 Teoria da Computação VERIFICAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA FORTE DE PROGRAMAS Fabrício Dias UNIPÊ – Centro Universitário de João Pessoa Curso de Ciências da Computação

2 Agenda Instruções rotuladas compostas Definições Operações Exemplo

3 Instruções rotuladas compostas Possuem apenas um formato, diferente das instruções rotuladas, que podem ter dois formatos: operação e teste.

4 Instruções rotuladas compostas Definição: Uma instrução rotulada composta, é uma seqüencia de símbolos da forma: (Suponha F e G identificadores de operação e T identificador de teste) r 1 : Se T então faça F vá_para r 2 senão faça G vá_para r 3 r 2 e r 3 são ditos rótulos sucessores de r 1 ; r 1 é dito rótulo antecessor de r 2 e r 3.

5 Instruções rotuladas compostas Instrução rotulada Operação r 1 : faça F vá_para r 2 Teste r 1 : se T então vá_para r 2 senão vá_para r 3 Instrução rotulada composta r 1 : se T então faça F vá_para r 2 senão faça G vá_para r 3

6 Instruções rotuladas compostas Definição: Um Programa Monolítico com Instruções Rotuladas Compostas P é um par ordenado P = (I, r) no qual: I = Conjunto das instruções Rotuladas Compostas, o qual é finito; R = Rótulo inicial o qual distingue a instrução rotulada inicial em I.

7 Instruções rotuladas compostas Observações: Não existem duas instruções diferentes com um mesmo rótulo; Rótulo Final é um rótulo referenciado por alguma instrução o qual não é associado a qualquer instrução rotulada.

8 Instruções rotuladas compostas Definição: Considerando-se um único identificador de teste, uma instrução rotulada composta da forma: r 1 : se T então faça F vá_para r 2 senão faça G vá_para r 3 Pode ser abreviada para: r 1 : (F, r 2 ), (G, r 3 ) T = verdade T = falso

9 Instruções rotuladas compostas Algoritmo: Fluxograma Rotuladas Compostas Os componentes elementares de partida, parada e operação de um fluxograma são denominados de Nó.

10 Instruções rotuladas compostas Algoritmo: Fluxograma Rotuladas Compostas Algoritmo para traduzir um fluxograma P para um programa monolítico P' constituído por instruções rotuladas compostas: Rotulação de nós Instruções rotuladas compostas

11 Rotulação de Nó Rotula-se cada nó do fluxograma Suponha que exista um único componente elementar de parada, associado ao identificador ν (palavra vazia) O rótulo correspondente ao nó partida é o Rótulo Inicial do programa P.

12 Instruções rotuladas compostas A construção de uma instrução rotulada composta parte do nó partida e segue o caminho do fluxograma Teste Operação Parada Testes encadeados Testes encadeados em ciclos infinitos.

13 Instruções rotuladas compostas Teste: Para um teste, a correspondente instrução rotulada composta é: r 1 : (F, r 2 ), (G, r 3 )

14 Instruções rotuladas compostas Operação: Para uma operação, a correspondente instrução rotulada composta é: r 1 : (F, r 2 ), (F, r 2 )

15 Instruções rotuladas compostas Parada: Para uma parada, a correspondente instrução rotulada composta é: r: (parada, ), (parada, )

16 Instruções rotuladas compostas Testes encadeados: No caso de testes encadeados, segue-se o fluxo até que seja encontrado um nó, resultando na seguinte instrução rotulada composta: r 1 : (F, r 2 ), (G, r 3 )

17 Instruções rotuladas compostas Teste encadeados em ciclos infinitos: Para um ciclo infinito determinado por testes encadeados, a correspondente instrução rotulada composta é: r 1 : (F, r 2 ), (ciclo, ω) Neste caso, deve ser incluída, adicionalmente, uma instrução rotulada composta correspondente ao ciclo infinito: ω: (ciclo, ω), (ciclo, ω)

18 Instruções rotuladas compostas Testes encadeados em ciclo infinito: r 1 : (F, r 2 ), (ciclo, ω)

19 Instruções rotuladas compostas Exemplo: Considere o programa monolítico especificado na forma de fluxograma cujos nós já estão rotulados. Definir o correspondente programa com instruções rotuladas compostas.

20 20

21 21 Teste

22 22 Teste

23 23 Teste

24 24 Teste

25 25 Testes Encadeados em Ciclo Infinito.

26 26 Teste Parada

27 27 Operação

28 28

29 Instruções rotuladas compostas Observações: O rótulo 2, 4, 7 e ω são sucessores deles mesmos Existem dois caminhos no fluxograma que atingem o nó parada. Entretanto, somente um é representado no conjunto de instruções rotuladas compostas. O segundo caminho é impossível Na instrução rotulada por 7, ocorre um clico infinito.

30 Equivalência forte de programas monolíticos Equivalência forte: União disjunta A união disjunta de conjuntos garante que todos os elementos dos conjuntos componentes constituem o conjunto resultante, mesmo que possuam a mesma identificação.

31 Equivalência forte de programas monolíticos Equivalência Forte: União disjunta Dados os conjuntos: A = {a, x} e B = {b, x}. O conjunto resultante da união disjunta é: {a, x A, b, x B }

32 Equivalência forte de programas monolíticos Equivalência forte: união disjunta Sejam: Q = (I Q, q) e R = (I R, r) dois programa monolíticos especificados usando instruções rotuladas compostas ; I Q – instruções rotuladas compostas de Q I R – instruções rotuladas compostas de R P q = (I, q) e P r = (I, r) programas monolíticos onde I é o conjunto resultante da união disjunta de I Q e I R. Então: P q P R se, e somente se, Q R

33 Equivalência forte de programas monolíticos Definições Cadeia de conjuntos Cadeia finita de conjuntos Limite de cadeia finita de conjuntos

34 Definições Uma seqüência de conjuntos A 0 A 1... é dita: 1. uma Cadeia de Conjuntos se, para qualquer k 0: A k A k+1 2. uma Cadeia Finita de Conjuntos é uma cadeia de conjuntos onde existe n, para todo k 0, tal que: A n = A n+k 3. o Limite da Cadeia Finita de Conjuntos é: lim A k = A n

35 Identificação de símbolos infinitos Partir da instrução de parada, rotulada por, determinando os seus antecessores Por exclusão, uma instrução que não é antecessor da parada determina um ciclo infinito.

36 Algoritmo para identificação de ciclos infinitos Seja I um conjunto de n instruções rotuladas compostas; Seja A 0 A 1... uma seqüência de conjuntos de rótulos indutivamente definida como segue: A 0 = { }

37 Algoritmo para identificação de ciclos infinitos A k+1 = A k {r | r é rótulo de instrução antecessora de alguma instrução rotulada por A k } Então A 0 A 1... é uma cadeia finita de conjuntos, e, para qualquer rótulo r de instrução de I, tem-se que (I, r) (I, ω) se e somente se r lim A k

38 Algoritmo para identificação de ciclos infinitos Considere o conjunto I de instruções rotuladas compostas abaixo:

39 Algoritmo para identificação de ciclos infinitos A correspondente cadeia finita de conjuntos é como se segue: A 0 = { } A 1 = {6, } A 2 = {5, 6, } A 3 = {3, 4, 5, 6, } A 4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } A 5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } Portanto: lim Ak = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } ( IR, 7) = (I, ω), pois 7 lim Ak

40 Algoritmo de simplificação de de ciclos infinitos Seja I um conjunto finito de instruções rotulas compostas 1. Determina-se a correspondente cadeia finita de conjuntos A 0 A Para qualquer rótulo r de instrução de I tal que r lim A k, tem-se que: a instrução rotulada por r é excluída; toda referência a pares da forma (F, r) em I é substituída por (ciclo, ω); I = I {ω: (ciclo, ω), (ciclo,ω )}

41 Simplificação de ciclos infinitos Considere a correspondente cadeia finita de conjuntos: A 0 = { } A 1 = {6, } A 2 = {5, 6, } A 3 = {3, 4, 5, 6, } A 4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } A 5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } Portanto: lim Ak = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } ( IR, 7) = (I, ω), pois 7 lim Ak

42 Simplificação de ciclos infinitos Portanto, pode-se simplificar um conjunto de instruções rotuladas compostas eliminando qualquer instruções de r ω que determine um ciclo infinito. 1: (G,2),(F,3) 2: (G,2), (F,3) 3: (F,4), (G,5)3: (F,4), (G,5) 4: (F,4), (G,5)4: (F,4), (G,5) 5: (F,6), (ciclo, ω) 6: (parada, ), (G,7) 6: (parada, ), (ciclo, ω) 7: (G,7),(G,7)ω: (ciclo,ω),(ciclo,ω) ω:(ciclo, ω), (ciclo, ω)

43 Equivalência Forte de Programas Monolíticos Rótulos consistentes Seja I um conjunto finito de instruções rotuladas compostas e simplificadas Sejam r e s dois rótulos de instruções de I, ambos diferentes de.

44 Rótulos consistentes Suponha que as instruções rotuladas por r e s são da seguinte forma, respectivamente: r: (F 1, r 1 ), (F 2, r 2 ) s: (G 1, s 1 ), (G 2, s 2 ) Então: r e s são consistentes se e somente se: F 1 = G 1 e F 2 = G 2

45 Rótulos equivalentes fortemente Seja I um conjunto finito de instruções rotuladas compostas e simplificadas Sejam r e s dois rótulos de instruções de I Então r e s são rótulos equivalentes fortemente se e somente se: Ou r= s= ou r e s são ambos diferentes de e consistentes, ou seja F 1 = G 1 e F 2 = G 2

46 Algoritmo para determinação de rótulos equivalentes fortemente Seja I um conjunto de n instruções compostas e simplificadas Sejam r e s dois rótulos de instruções de I Define-se, indutivamente, a seqüência de conjuntos B 0 B 1... por: B 0 = {(r, s)} B k+1 = {(r", s") | r" e s" são rótulos sucessores de r e s, respectivamente, (r, s) B k e (r", s") B i, i (0, 1,..., k)}

47 Algoritmo para determinação de rótulos equivalentes fortemente Então B 0 B 1... é uma seqüência que converge para o conjunto vazio, e r, s são rótulos equivalentes fortemente se, e somente se, qualquer par de B k é constituído por rótulos consistentes.

48 Algoritmo de verificação da equivalência forte de programas monolíticos Sejam Q = (I Q, q) e R = (I R, r) dois programas monolíticos especificados usando instruções rotuladas compostas e simplificados O Algoritmo de Verificação da Equivalência Forte de Programas Monolíticos Q e R é determinado pelos passos:

49 Algoritmo de verificação da equivalência forte de programas monolíticos Passo 1: Sejam P q = (I, q) e P r = (I, r) programas monolíticos onde I é o conjunto resultante da união disjunta de I Q e I R, excetuando-se a instrução rotulada, se existir, a qual ocorre, no máximo, uma vez em I; Passo 2: Se q e r são rótulos equivalentes fortemente, então B 0 ={(q, r)}. Caso contrário, Q e R não são equivalentes fortemente, e o algoritmo termina.

50 Algoritmo de verificação da equivalência forte de programas monolíticos Passo 3: Para k 0, define-se o conjunto B k+1, contendo somente os pares (q", r") de rótulos sucessores de cada (q', r') B k, tais que: q' r'; q' e r' são ambos diferentes de ; os pares sucessores (q", r") não são elementos de B 0, B 1....B K.

51 Algoritmo de verificação da equivalência forte de programas monolíticos Passo 4: Dependendo de B k+1, tem-se que: a) B k+1 = { } : Q e R são equivalentes fortemente, e o algoritmo termina; b) ) B k+1 { } : se todos os pares de rótulos de B k+1 são equivalentes fortemente, então vá para o Passo 3; caso contrário, Q e R não são equivalentes fortemente, e o algoritmo termina.

52 Exemplo Considere os programas monolíticos Q e R especificados na forma de fluxogramas. Determine se Q e R são equivalentes fortemente.

53 Q 1: (G,2),(F,3) 2: (G,2),(F,3) 3: (F,4),(G,5) 4: (F,4),(G,5) 5: (F,6), (ciclo, ω) 6: (parada, ), (ciclo, ω) ω:(ciclo, ω), (ciclo, ω) Especificação do Programa P usando instruções rótuladas compostas.

54 R 8: (G,9),(F,10) 9: (G,9),(F,10) 10: (F,10),(G,11) 11: (F,12),(F,13) 12: (parada, ), (F,13) 13: (F,13),(F,13)

55 Equivalência Forte de Programas Monolíticos A especificação do programa R usando instruções rotuladas compostas, tem-se: 1. Conjunto de instruções rotuladas compostas 2. Identificação de ciclos infinitos

56 Equivalência Forte de Programas Monolíticos Identificação de ciclos infinitos: A 0 = { } A 1 = {12, } A 2 = {11, 12, } A 3 = {10, 11, 12, } A 4 = {8, 9, 10, 11, 12, } A 5 = {8, 9, 10, 11, 12, } Portanto: lim A k = {8, 9, 10, 11, 12, } ( I R, 13) = (I, ω), pois 13 lim A k

57 Equivalência Forte de Programas Monolíticos b) A especificação do programa R usando instruções rotuladas compostas, tem-se: 1. Conjunto de instruções rotuladas compostas 2. Identificação de ciclos infinitos 3. Simplificação de ciclos infinitos

58 Equivalência Forte de Programas Monolíticos Simplificação de ciclos infinitos: 8: (G,9),(F,10) 9: (G,9),(F,10) 10: (F,10),(G,11) 11: (F,12),(ciclo, ω ) 12: (parada, ),(ciclo, ω ) ω: (ciclo, ω ), (ciclo, ω ) 8: (G,9),(F,10) 9: (G,9),(F,10) 10: (F,10),(G,11) 11: (F,12),(F,13) 12: (parada, ), (F,13) 13: (F,13),(F,13) Não simplificado!

59 Equivalência Forte de Programas Monolíticos c) Relativamente à aplicação do algoritmo, tem-se que: Passo 1: seja a união disjunta dos conjuntos I Q e I R, executando-se a instrução rotulada ω, como segue:

60 Equivalência Forte de Programas Monolíticos Passo 1: 1: (G,2),(F,3) 2: (G,2), (F,3) 3: (F,4), (G,5) 4: (F,4), (G,5) 5: (F,6), (ciclo, ω) 6: (parada, ), (ciclo, ω) 8: (G,9),(F,10) 9: (G,9), (F,10) 10: (F,10), (G,11) 11: (F,12), (ciclo, ω ) 12: (parada, ), (ciclo, ω ) ω : (ciclo, ω ), (ciclo, ω )

61 Equivalência Forte de Programas Monolíticos c) Relativamente à aplicação do algoritmo, tem-se que: Para verificar se Q R é suficiente verificar se (I,1) (I,8).

62 Equivalência Forte de Programas Monolíticos c) Relativamente à aplicação do algoritmo, tem-se que: Passo 2: como 1 e 8 são rótulos equivalentes fortemente, então: B 0 = {(1, 8)}

63 Equivalência Forte de Programas Monolíticos c) Relativamente à aplicação do algoritmo, tem- se que: Passo 3 e 4: para k 0, construção de B k+1 é como se segue: B 1 = {(2, 9), (3, 10)} pares de rótulos equivalentes fortemente B 2 = {(4, 10), (5, 11)} pares de rótulos equivalentes fortemente B 3 = {(6, 12), ( ω, ω )} pares de rótulos equivalentes fortemente B 4 = {(, )} pares de rótulos equivalentes fortemente B 5 = Ø

64 Equivalência Forte de Programas Monolíticos c) Relativamente à aplicação do algoritmo, tem-se que: Logo (I,1) (I,8) e, portanto Q R.

65 Dúvidas????


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