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1 Máquina de Turing Universal. 2 Máquinas de Turing são “ hardwired ” elas executam um único programa Uma limitação de Máquinas de Turing: Computadores.

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1 1 Máquina de Turing Universal

2 2 Máquinas de Turing são “ hardwired ” elas executam um único programa Uma limitação de Máquinas de Turing: Computadores reais são programáveis

3 3 Solução: Máquina de Turing Universal Máquina programável Simula qualquer outra Máquina de Turing Atributos:

4 4 Máquina de Turing Universal simula qualquer Máquina de Turing Entrada da Máquina de Turing Universal: Descrição das transições de Conteúdo inicial da fita de

5 5 Máquina de Turing Universal Descrição de Conteúdo da fita de Estado de Três fitas Fita 2 Fita 3 Fita 1

6 6 Descrevemos uma Máquina de Turing como um string de símbolos: Codificamos como um string de símbolos Descrição de Fita 1

7 7 Alfabeto de Codificação Símbolos: Codificação:

8 8 Codificação de estados Estados: Codificação: Codificação do movimento da cabeça da fita Movimento: Codificação:

9 9 Codificação de Transição Transição: Codificação: separador

10 10 Codificação da Máquina Transições: Codificação: separador

11 11 Conteúdo da fita 1 da MT Universal: codificação da máquina a ser simulada na forma de um string binário de 0 ’ s e 1 ’ s

12 12 Uma Máquina de Turing é descrita como um string binário de 0 ’ s e 1 ’ s O conjunto de todas as Máquinas de Turing forma uma linguagem: cada string da linguagem é o código binário de uma Máquina de Turing Portanto:

13 13 Linguagem das Máquinas de Turing L = { , , , …… } (Máquina deTuring 1) (Máquina deTuring 2) ……

14 14 Conjuntos Contáveis

15 15 Conjuntos infinitos são: Contáveis ou Não Contáveis

16 16 Conjunto Contável: Existe uma correspondência biunívoca entre elementos do conjunto e números naturais

17 17 Exemplo: Inteiros pares: o conjunto dos inteiros positivos pares é contável Números naturais: Correspondência: corresponde a

18 18 Exemplo:O comjunto dos números racionais é contável Números racionais:

19 19 Prova ingênua Números racionais: Números naturais: Correspondência: Não funciona: nunca iremos contar números com numerador 2:

20 20 Abordagem melhor

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25

26 26 Números racionais: Correspondência: Números naturais:

27 27 Provamos: O conjuntos dos números racionais é contável, descrevendo um procedimento de enumeração

28 28 Definição Um procedimento de enumeração para é uma Máquina de Turing que gera todos os strings de, um por um Seja um conjunto de strings e cada string é gerado em tempo finito

29 29 Enumerador para tempo finito: strings saída (na fita)

30 30 Máquina Enumeradora Configuração Instante 0 Instante

31 31 Instante

32 32 Um conjunto é contável de existe um procedimento de enumeração para ele Observação:

33 33 Exemplo: O conjunto dos strings é contável Vamos descrever um procedimento de enumeração Prova:

34 34 Procedimento ingênuo: Produzir os strings em ordem lexicográfica: Não funciona: strings que começam com nunca serão produzidos

35 35 Procedimento melhor: 1. Produza todos os strings de comprimento 1 2. Produza todos os strings de comprimento 2 3. Produza todos os strings de comprimento 3 4. Produza todos os strings de comprimento Ordem Própria

36 36 Produza strings em Ordem Própria: comprimento 2 comprimento 3 comprimento 1

37 37 Teorema: O conjunto de todas as Máquinas de Turing é contável Prova: Vamos mostrar um procedimento de enumeração para o conjunto de strings que representam Máquinas de Turing Qualquer Máquina de Turing pode ser codificada como um string de 0 ’ s e 1 ’ s

38 38 1. Gere o próximo string binário de 0 ’ s e 1 ’ s na ordem própria 2. Verifique se o string descreve uma Máquina de Turing SIM: se SIM: imprima o string na fita NÃO: se NÃO: ignore o string Procedimento de enumeração: Repita

39 39 Conjuntos Não Contáveis

40 40 Teorema: Seja um conjunto infinito contável O conjunto potência de : não é contável

41 41 Prova: Como é contável, podemos escrever Elementos de

42 42 Elementos do conjunto potência têm a forma: ……

43 43 Podemos codificar cada elemento do conjunto potência como um string binário de 0 ’ s e 1 ’ s elementos do conj. potência Codificação

44 44 Vamos supor, por contradição, que o conjunto potência seja contável. Então: podemos enumerar os elementos do conjunto potência

45 45 elementos do conj. potência Codificação

46 46 Tome o conjunto cuja codificação é a sequência dos bits que são os complementos dos bits da diagonal

47 47 Novo conjunto: (complemento binário da diagonal)

48 48 o novo conjunto deve ser algum elemento do conjunto potência Entretanto, isso é impossível: o i-ésimo bit de deve ser o complemento dele próprio pela definição de : Contradição!!!

49 49 Como temos uma contradição: O conjunto potência of não é contável

50 50 Uma Aplicação: Linguagens Alfabeto Exemplo : O conjunto de todos os Strings: infinito e contável

51 51 Alfabeto Exemplo : O conjunto de todos os Strings: infinito e contável Uma linguagem é um subconjunto de :

52 52 Alfabeto Exemplo : O conjunto de todos os Strings: infinito e contável O conjunto potência de consiste de todas as linguagens sobre o alfabeto: não contável

53 53 Conjunto de todas as linguagens: não contável Conjunto de todas as MTs: contável Existem uma infinidade de linguagens a mais do que Máquinas de Turing

54 54 Existem linguagens que não são aceitas por nenhuma Máquina de Turing Essas linguagens não podem ser descitas por meio de algoritmos Conclusão:


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