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AULA V – TÉCNICAS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:  Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace.

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1 AULA V – TÉCNICAS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:  Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace nos casos unidimensional e bidimensional  Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando o método das imagens. ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 1

2 Seja um intervalo (a,b) e um conjunto de funções {U n (x)} definidas neste intervalo. As funções são ditas ortogonais se: ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA

3 FUNÇÕES ORTONORMAIS ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 3 Delta de Kronecker

4 EXPANSÕES ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 4 No intervalo (a,b) uma função qualquer f(  ) pode ser expandida em termos destas funções:

5 CONJUNTO COMPLETO ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 5 É aquele conjunto de funções para o qual existe um número N 0 tal que o erro cometido, ao aproximarmos a função f por N 0 termos da expansão, é arbitrariamente pequeno. Se o intervalo no qual as funções U são definidas é infinito, então a soma se transforma em uma integral. É aquele conjunto de funções para o qual existe um número N 0 tal que o erro cometido, ao aproximarmos a função f por N 0 termos da expansão, é arbitrariamente pequeno. Se o intervalo no qual as funções U são definidas é infinito, então a soma se transforma em uma integral.

6 EXEMPLO DE CONJUNTO COMPLETO ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 6 Estas funções satisfazem à condição de ortogonalidade: E completeza: Delta de Dirac Transformada de Fourier (funções periódicas)

7 ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 7 Solução da equação de Laplace em uma dimensão A equação de Laplace em uma dimensão é dada por: A, b são constantes a serem determinadas das condições de contorno. Algumas características da solução que são também válidas em duas e três dimensões: O potencial em uma dada posição é a média em duas posições simétricas: As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais

8 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE EM DUAS DIMENSÕES ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 8 O potencial em uma dada posição é a média da posições em torno do ponto. Em particular, se tomarmos um circulo de raio R em torno do ponto: As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais. Os extremos acontecem no contorno.

9 TEOREMAS DE UNICIDADE ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 9 1)A solução da equação de Laplace em um volume V é unicamente determinada se o potencial  for especificado na superfície de contorno da região V. 2)Em um volume V cercado por condutores e contendo uma densidade de carga dada  o campo elétrico é unicamente determinado se a carga total em cada um dos condutores for especificada.

10 MÉTODO DAS IMAGENS I ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 10 Ideia central: usar simetrias e os teoremas de unicidade para obter o potencial. Qual o potencial na região acima do plano? Observe que existe, além da carga q, uma carga induzida no plano (desconhecida). O potencial no plano é mantido constante. x y z q  = 0 d Terra

11 MÉTODO DAS IMAGENS II ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 11 Neste problema temos as seguintes condições de contorno:  = 0 quando z = 0;   0 quando r  . Vamos “trocar” nosso problema real por um outro: imagine que temos outra carga, -q, colocada na posição –d e esqueçamos o plano! x y z q  = 0 d -d -q Expressão válida na região z > 0.

12 MÉTODO DAS IMAGENS III ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 12 A carga induzida no plano condutor será dada por:

13 MÉTODO DAS IMAGENS IV ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 13 A carga total induzida no plano, será dada por: Observe que a carga q será atraída em direção ao plano pela presença da carga induzida –q. Qual a força de atração? A energia pode ser calculada a partir do trabalho para trazer a carga q do infinito até a posição d:

14 FIM DA AULA V ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA 14


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