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Simulação Numérica de Sistemas de N-Corpos com Atracção Gravítica Mestrado em Física Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Nuno S. A. Pereira.

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1 Simulação Numérica de Sistemas de N-Corpos com Atracção Gravítica Mestrado em Física Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Nuno S. A. Pereira 2001

2 Sumário (I) Parte I –Regularização Binária. –Precisão das Soluções Numéricas / Métricas de Avaliação. –Caso de Estudo: resolução numérica de um problema de 2-corpos. Parte II –O Problema do N-Corpos: modelo matemático, aplicações, resultados teóricos: integrabilidade e singularidades. –Resolução Numérica: abordagens, métodos e algoritmos.

3 Sumário (II) Parte III –O Problema da Instabilidade Exponencial. –Métricas de Avaliação: equações variacionais e expoentes de Lyapunov. –Caso de Estudo: simulação de sistemas com N=4,8,16. –Simulações Numéricas: sim ou não, que futuro? Parte IV –O Pacote NNEWTON. –Conclusões.

4 Parte I Regularização Binária. Precisão das Soluções Numéricas / Métricas de Avaliação. Caso de Estudo: resolução numérica de um problema de 2-corpos.

5 Regularização Binária Onde: Problema dos 2-corpos / Problema de Kepler. Quando: Colisões / Encontros próximos (órbitas muito excêntricas). Porquê: Singularidade das equações do movimento na origem. Como: Técnicas analíticas para remover a singularidade.

6 Regularização Binária Estabelecer a existência de soluções para condições iniciais arbitrárias. Acompanhar analiticamente as soluções que atravessam singularidades. Tratar com precisão os encontros próximos. Importante para as simulações numéricas

7 Técnicas de Regularização de Encontros Binários Equação do movimento em coordenadas físicas singular Equação do movimento em coordenadas regularizadas não-singular Transformação de coordenadas

8 Técnicas de Regularização (I) Levi-Civitta (1903) - 2D Mudança na escala de tempo (Euler, 1765): Introdução do tempo fictício s. Identificação do plano do movimento com o plano complexo: Introdução da Matrix de Levi-Civitta/Transformação LC

9 Técnicas de Regularização (II) Kustaanheimo-Stiefel (1965) - 3D Mudança na escala de tempo (Euler, 1765): Introdução do tempo fictício s. Transformação num espaço 4D. Introdução da Matrix de Kustaanheimo-Stiefel/Transformação KS

10 Regularização LC/KS Equação do movimento em coordenadas físicas Equação do movimento em coordenadas regularizadas Oscilador/repulsor harmónico Equação Regular

11 Técnicas de Regularização (III) Método InOut - 2D/3D Definimos uma bola de regularização de raio R. Condições iniciais Condições finais In Out Simó, C., Lacomba, E. A. (1992)

12 Regularização de um Encontro Binário Exemplo numérico Condições iniciais –h=-2 –v=1 –m 1 =m 2 =1 –x 1 =y 1 =v x1 =v y1 =0 –P= / –e=0.9, 0.99, 0.999, Definição das coordenadas –y=(1-e 2 ) 1/2 –x 2 + y 2 =(4/5) 2 Parâmetros da simulação –h o =h max = –h min =10 -5 – = – reg =1 –t=15.71 ( 10P) NNEWTON

13 Regularização IO de um Encontro Binário Resultados Numéricos Sem regularizaçãoCom regularização NNEWTON e=0.9 SOLEXACT2

14 Regularização IO de um Encontro Binário Resultados Numéricos Sem regularizaçãoCom regularização NNEWTON e=0.99 SOLEXACT2

15 Regularização IO de um Encontro Binário Resultados Numéricos Sem regularizaçãoCom regularização NNEWTON e=0.999 SOLEXACT2

16 Regularização IO de um Encontro Binário Resultados Numéricos Sem regularizaçãoCom regularização NNEWTON e= SOLEXACT2

17 Precisão das Soluções Numéricas Métricas de Avaliação Distância entre a solução numérica e a solução exacta Distância entre as partículas (numérica) Erros relativos Factores de Qualidade

18 Precisão das Soluções Numéricas Exemplo Numérico - Factor de Qualidade Q* NN-ELT

19 Parte II O Problema do N-Corpos: modelo matemático, aplicações, resultados teóricos: integrabilidade e singularidades. Resolução Numérica: abordagens, métodos e algoritmos

20 O Problema dos N-Corpos Enunciado Consideremos um sistema com N massas pontuais com posições e velocidades conhecidas num certo instante t o. Quais são as posições e as velocidades de cada massa num instante arbitrário t ? A massas interagem de acordo com a Lei de Newton.

21 O Problema dos N-Corpos Sistemas (Astro)físicos Mecânica Celeste (N<10)Dinâmica Estelar (N>10) M15 - Enxame Globular Desenho de trajectórias

22 O Problema dos N-Corpos Formulação Matemática Sistema de 3N equações diferenciais de 2ª ordem Sistema de 6N equações diferenciais de 1ª ordem Aproximações: Massas pontuais Dinâmica de Newton Lei de Newton da Gravitação para um Sistemas de Partículas

23 O Problema dos N-Corpos Integrabilidade & Singularidades

24 O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Sistemas (Astro)Físicos Número de partículas do sistema –esforço computacional –estrutura de dados Dinâmica que se pretende reproduzir –resolução espacial –relevância das colisões Processos/características a considerar: –perda de massa por evolução estelar –espectro de massa –formação de binários –campo externo –etc...

25 O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Abordagens Sistemas colisionaisSistemas não-colisionais M8 Enxame Aberto NGC6530 M31 Andrómeda ( M32 M110)

26 O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Métodos/Modelos

27 O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Método PP Resolução Espacial: –não se introduz qualquer discretização do espaço (e.g. métodos partícula-malha: PM) Precisão Numérica: –interacção todos-com-todos –não se introduzem aproximações no cálculo da força sobre cada partícula (e.g. métodos PM, P 3 M e hierárquicos) Hipóteses de Trabalho: –Nenhumas ! (e.g. isotropia, simetria) Inclusão de Processos Físicos –Sem dificuldade: (e. g. termos adicionais nas equações do movimento)

28 O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Algoritmos Integrador baseado no método PP –Rotina RK78, C. Simó. Definição de binários num sistema de N-corpos Regularização (IO, LC, KS) Regularização Múltipla –heurística baseada em regularizações binárias encadeadas.

29 O Problema dos N-Corpos Resolução Numérica: Programa NNEWTON Problema: –Esforço computacional !! –Proporcional a N 2. Consequência –Limita as dimensões dos sistemas simulados e/ou o tempo de simulação. T N /T 32 N 2.09 ( =0.999) Computação Distribuida

30 Parte III O Problema da Instabilidade Exponencial Métricas de Avaliação: equações variacionais e expoentes de Lyapunov. Caso de Estudo: simulação de sistemas com N=4,8,16 Simulações Numéricas: sim ou não, que futuro?

31 O Problema da Instabilidade Exponencial Sistemas s e S=s+ (perturbado). Trajectórias no espaço de fases com divergência exponencial. Miller (1964), N 32. Duas questões importantes: Mecanismo físico: cooperativo, encontros binários, ambos? Qual a dependência da escala de tempo t e com N e com t cr

32 Métricas de Avaliação Equações Variacionais Equações variacionais (1ª ordem): Variações (para cada partícula) Variação média (em cada iteração)

33 Métricas de Avaliação Expoentes de Lyapunov Crescimento exponencial: Expoente característico de Lyapunov: Indicador Característico de Liapunov: (t: tempo de simulação) Escala de tempo: Medição da escala de tempo t e que caracteriza a divergência de trajectórias

34 Caso de Estudo Simulação Sistemas de 4/8/16-Corpos Condições iniciais: –massas unitárias –equilibrio virial (q=1) –energia total E=-1 – x 1 =10 -6 Parâmetros de simulação –h o =10 -3 –h max =10 -2 –h min =10 -6 – =10 -6 –t=100 NNEWTONNN-VIRIAL N=4

35 Caso de Estudo Variações (N=4) PROCVAR Média Aritmética das Variações

36 Caso de Estudo Estimativa da escala de tempo t e Relacionar os três parâmetros Supondo que existe uma relação do tipo Ajuste aos dados experimentais: A menor escala de tempo que uma perturbação pode apresentar será = -1/2 (Miller, 1988).

37 Simulações Numéricas Sim ou Não, que Futuro? Os resultados numéricos dão resultados consistentes porque são todos igualmente imprecisos, Heggie (1991). Os resultados detalhados não têm significado. Abordagem estatística (um acto de fé): Várias simulações do mesmo sistema com parâmetros iniciais idênticos

38 Parte IV O Pacote NNEWTON Conclusões

39 O Pacote NNEWTON Resolução numérica do problema de N-corpos Integradores –Sem regularização: NNEWTON1 –Com regularização: NNEWTON31/2/3 –Com regularização múltipla: NNEWTON51/2 –Com equações variacionais: NNEWTON2 –Com equações variacionais e regularização binária: NNEWTON41/2 Condições Iniciais –NN-VIRIAL Ferramentas de Análise –Determinação de soluções exactas (N=2): SOLEXACT2 –Cálculo da energia e momento: NN-ELT –Processamento de variacionais: PROCVAR

40 Conclusões Técnicas analíticas de regularização: –Regularização LC e KS (standard). –Regularização InOut. Integradores: –de N-Corpos: novo algoritmo; versões com regularização. –para as Equações Variacionais. Resultados Numéricos: –Encontros binários tratados com eficiência e qualidade. –Possibilidade de simular sistemas de N-corpos onde ocorram encontros próximos (binários e múltiplos). –Estimativas das escalas de tempo de crescimento da instabilidade exponencial.

41 Fim


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