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1 Hierarquia de Chomsky. 2 Gramáticas Irrestritas: Produções String de variáveis e terminais String de variáveis e terminais.

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1 1 Hierarquia de Chomsky

2 2 Gramáticas Irrestritas: Produções String de variáveis e terminais String de variáveis e terminais

3 3 Exemplo de gramática irrestrita:

4 4 Uma linguagem é recursivamente enumerável se e somente se existe uma gramática irrestrita que gera Teorema:

5 5 Gramáticas Sensíveis ao Contexto: e: Produções String de variáveis e terminais String de variáveis e terminais

6 6 A linguagem é sensível ao contexto:

7 7 Autômato Linear Limitado (LBA) é o mesmo que uma Máquina de Turing mas com uma diferença: o espaço ocupado pelo string de entrada na fita é o único espaço da fita que pode ser usado ao longo da computação

8 8 marcador de extremidade esquerda string de entrada marcador de extremidade direita espaço de trabalho na fita Toda computação é feita entre os marcadores Autômato Linear Limitado (LBA)

9 9 LBA ’ s são definidos como Não Deterministas Problema em aberto: LBA ’ s Não Deterministas têm o mesmo poder de computação que LBA ’ s Deterministas ?

10 10 Exemplos de linguagens aceitas por LBAs: LBAs têm mais poder computacional que NPDAs Conclusão:

11 11 Vamos provar mais adiante: LBA ’ s têm menos poder computacional que Máquinas de Turing

12 12 Uma linguagem é sensível ao contexto se e somente se é aceita por um Autômato Linear Limitado Teorema: Existem linguagens recursivas mas que não são sensíveis ao contexto Observação:

13 13 Não Recursivamente Enumerável Recursivamente Enumerável Recursiva Sensível ao Contexto Livre de Contexto Regular Hierarquia de Chomsky

14 14 Decidibilidade

15 15 Considere problemes com resposta SIM ou NÃO Exemplos: Uma dada Máquina tem 3 estados ? Um dado string é um número binário? Um dado DFA aceita qualquer entrada?

16 16 Um problema é decidível se alguma Máquina de Turing resolve (decide) este problema Problemas Decidíveis: Uma Máquina tem três estados ? Um string é um número binário? Um DFA aceita qualquer entrada?

17 17 Máquina deTuring Entrada: instância do problema SIM NÃO A máquina de Turing que resolve um problema responde SIM ou NÃO para cada instância

18 18 A máquina que decide um problema: Se a resposta é SIM pára em um estado SIM Se a resposta é NÃO pára em um estado NÃO estados SiM e NÃO não necessariamente são estados finais

19 19 SIM NÃO Máquina de Turing que decide um problema estados SiM e NÃO são estados de parada

20 20 Existem problemas não decidíveis: Problema tal que não existe uma MT que decida todas as instâncias do problema

21 21 Um problema não decidível simples: O problema de pertinência

22 22 O Problema de Pertinência Entrada: Máquina de Turing String Questão: aceita ?

23 23 Teorema: O problema de pertinência não é decidível Prova: Suponha, por contradição, que o problema de pertinência seja decidível

24 24 Existe uma Máquina de Turing que resolve o problema de pertinência SIM aceita NÃO rejeita

25 25 Seja uma linguagem recursivamente enumerável Seja uma Máquina de Turing que aceita Vamos provar que, se o problema de pertinência é decidível, então é também recursiva: A prova consiste em descrever uma MT que aceita e pára para qualquer entrada

26 26 aceita ? NÃO SIM aceita Máquina de Turing que aceita e pára para qualquer entrada rejeita

27 27 Portanto, é recursiva Mas já provamos que existem linguagens que são recursivamente enumeráveis e não são recursivas Contradição!!!! Como é escolhida arbitrariamente, isso prova que toda linguagem recursivamente enumerável é também recursiva

28 28 Portanto, o problema de pertinência não é decidível Fim da Prova

29 29 Um famoso problema não decidível: O Problema da Parada

30 30 O Problema da Parada Entrada: Máquina de Turing String Questão: pára sobre ?

31 31 Teorema: O problema da parada é não decidível Prova:Suponha, por contradição, que o problema da parada seja decidível

32 32 Existe uma Máquina de Turing que resolve o problema da parada SIMpára sobre não pára sobre NÃO

33 33 Entrada: conteúdo inicial da fita Codificação de String SIM NÃO Máquina

34 34 Construa uma máquina tal que: Se retorna SIM então loop infinito Se retorna NÃO então pára

35 35 NÃO Loop infinito SIM

36 36 Construa a máquina : Entrada: Se pára para a entrada Então loop infinito Senão pára (máquina )

37 37 copia

38 38 Execute com ela própria como entrada: Entrada: Se pára para a entrada Então loop infinito Senão pára (máquina )

39 39 sobre a entrada Se pára então entra em loop infinito Se não pára então pára NÃO FAZ SENTIDO!!!!!

40 40 Portanto, temos uma contradição O Problema da Parada é não decidível Fim da Prova

41 41 Outra prova do mesmo teorema: Se o problema da parada fosse decidível então toda linguagem recursivamente enumerável seria também recursiva

42 42 Teorema: O problema da parada é não decidível Prova:Suponha, por contradição, que o problema da parada seja decidível

43 43 Existe uma Máquina deTuring que resolve o problema da parada SIMpára sobre não pára sobre NÃO

44 44 Seja uma linguagem recursamente enumerável Seja uma Máquina de Turing que aceita Vamos provar que é também recursiva: vamos descrever uma máquina de Turing que aceita e pára para qualquer entrada

45 45 pára sobre ? SIM NÃO Execute sobre rejeita aceita rejeita Máquina de Turing que aceita e pára para qualquer entrada Pára em estado final Pára em estado não final

46 46 Portanto seria recursiva Mas já provamos que existem linguagens recursivamente enumeráveis que não são recursivas Contradição!!!! Como foi escolhida arbitrariamente, provamos que toda linguagem recursivamente enumerável é também recursiva

47 47 Portanto, o problema da parada é não decidível Fim da Prova


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