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Ensino Superior Cálculo 1 3- Derivada das Funções Inversas Amintas Paiva Afonso.

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Apresentação em tema: "Ensino Superior Cálculo 1 3- Derivada das Funções Inversas Amintas Paiva Afonso."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior Cálculo 1 3- Derivada das Funções Inversas Amintas Paiva Afonso

2 Cálculo 1 - Derivadas Uma função é inversível se seu gráfico é interceptado por qualquer reta horizontal somente em um ponto. Assim f(x) = x 3 é inversível, mas f(x) = x 2 não é.

3 Cálculo 1 - Derivadas Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x). Simetria das funções inversas

4 Cálculo 1 - Derivadas

5 Se f é inversível, para cada y do conjunto Imagem de f existe somente um número x no Domínio de f tal que f(x) = y. Assim, se f é inversível, existe uma nova função chamada a inversa de f tal que (x) = y se f(y) = x.

6 Cálculo 1 - Derivadas

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8 Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) = 0. Interpretação geométrica das raízes de uma função raiz

9 Cálculo 1 - Derivadas

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12 Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez. Teste da reta vertical

13 Cálculo 1 - Derivadas 4.1. Derivada da função inversa f -1 (x) Seja f inversível e sua inversa dada por f -1. Se f tem uma tangente de inclinação m 0 em (y, x), então a inclinação de f -1 em (x, y) é m -1. Como m = f´(y) e y = f -1 (x), então m = f´(f -1 (x)). Daí m = D f -1 (x) = 1 / f(f -1 (x)). A inversa da função y(x) é a função x(y):

14 Cálculo 1 - Derivadas 4.1. Derivada da função inversa f -1 (x) Exemplo: f(x) = y = x + 1 m = 1 y = 1 m = f´(y) = 1 e y = f -1 (x) = x - 1 m = D f -1 (x) = 1 / f(f -1 (x)) = 1

15 Cálculo 1 - Derivadas Derivada da função inversa –Se uma função derivável f tem inversa g, então g é também derivável e vale a seguinte igualdade: Exemplo –Considere a função f(x)=3x 2 + x –1 na vizinhança do ponto x = 2. Calcule a derivada da função inversa de f no ponto b = f(2) = 13. –Derivando f(x), temos:

16 Cálculo 1 - Derivadas Se g indica a função inversa de f, então, pela regra da derivada da inversa, temos: A derivada de g no ponto f(2)=13 é:

17 Cálculo 1 - Derivadas Derivada de ordem superior –No estudo de máximos e mínimos, vamos precisar não apenas da derivada de uma função, mas de suas demais derivadas(das derivadas das derivadas). –A derivada de uma função f é às vezes chamada de primeira derivada de f e é denotada por f. A derivada de f é chamada de segunda derivada de f e é denotada por f. A derivada de f é chamada da terceira derivada de f, e é denotada por f ; e assim sucessivamente.

18 Cálculo 1 - Derivadas Notação de Leibniz –Leibniz denotava a derivada da função f por. –Se a função f é inversível, num dado intervalo, utilizamos a notação para designar a derivada da função inversa. –Assim:

19 Cálculo 1 - Derivadas Exemplo –Calcule a derivada da função inversa de f(x) = x 3 + 4x 2 – x no ponto f(1)=4. –Seja y= x 3 + 4x 2 – x, então, –Logo, a inversa de y é: –Como f(1)=4, então:

20 Cálculo 1 - Derivadas Gottfried Wilhelm Leibiniz

21 (u + v) = + + DERIVADASDIFERENCIAISNOTAÇÃO DE LAGRANGE = 0dk = 0(k)´= 0 d(ku) = 0(ku)´= 0 d(u+v) = du+dv(u+v)´= u´+ v´ d(u.v) = vdu + udv(uv)´= u´v+v´u d(u/v) = (vdu –udv)/v 2 (u/v)´= (uv – vu)/v 2 d(u n ) = n.u n-1.du(u n )´= n.u n-1.u´ d(e u ) = e u.du(e u )´= e u.u´

22 DERIVADASDIFERENCIAISNOTAÇÃO DE LAGRANGE d(a u ) = a u.lna.du(a u ) = a u.lna.u d(senu) = cosu.du(senu) = cosu.u d(cosu) = - senu.du(cosu) = -senu.u d(lnu) = (1/u).du(lnu)´= (1/u).u d(arctgu) = du/(1+u 2 ) (arctgu) = u/(1+u 2 )

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