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Aula 2 Prof. André Andrian Padial twitter.com/aapadial Ecologia de populações e comunidades.

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1 Aula 2 Prof. André Andrian Padial twitter.com/aapadial Ecologia de populações e comunidades

2 Ecologia Modelo Logístico de Crescimento de Populações Gotelli, N.J Ecologia. Ed. Planta

3 O modelo logístico Principal diferenças de pressupostos (modelos logístico e exponencial): Principal diferenças de pressupostos (modelos logístico e exponencial): - Exponencial => recursos ilimitados -> b e d constantes - Logístico => recursos limitados -> b e d denso-dependentes N/dt = (b’-d’).N dN/dt = (b’-d’).N Denso dependência Denso dependência Densidade recursos b’ d’

4 Y = a-bX N = tamanho da população b’ = taxa de natalidade per capita b e a = constantes O modelo logístico N b’ = b-aN b’ = b-aN a=b o b=a N => 0 a => 0 a => 0 b’ => b

5 Y = a+bX N = tamanho da população d’ = taxa de natalidade per capita d e c = constantes O modelo logístico N d’ = d+cN d’ = d+cN a=d o b=c N => 0 c => 0 c => 0 d’ => d

6 = b-aN b’ = b-aN = d+cN d’ = d+cN N = tamanho da população b’ = taxa de natalidade per capita d’ = taxa de mortalidade per capta b e a = constantes d e c = constantes O modelo logístico

7 = b - aN b’ = b - aN N => b’ N => b’ N=0 => b’=b N=0 => b’=b = d + cN d’ = d + cN N => d’ N => d’ N=0 => d’=d N=0 => d’=d Funções são mais complexas no mundo real b’ e d’ podem não ser lineares b’ e d’ podem não ser lineares b’ e d’ podem permanecer constantes até uma densidade crítica b’ e d’ podem permanecer constantes até uma densidade crítica Alguns animais podem reproduzir, caçar, cuidar da prole ou evitar predadores mais eficientemente em grupo que sozinhos Alguns animais podem reproduzir, caçar, cuidar da prole ou evitar predadores mais eficientemente em grupo que sozinhos b’ pode aumentar e d’ diminuir com o aumento da população até um determinado tamanho populacional (Efeito de Allee). b’ pode aumentar e d’ diminuir com o aumento da população até um determinado tamanho populacional (Efeito de Allee). Efeito de Allee é relevante para populações pequenas e pode resultar em um tamanho populacional crítico abaixo do qual se tem a extinção Efeito de Allee é relevante para populações pequenas e pode resultar em um tamanho populacional crítico abaixo do qual se tem a extinção apenas uma das taxas (b’ ou d’) podem ser densidade dependente (isso, entretanto, não afeta o modelo logístico. apenas uma das taxas (b’ ou d’) podem ser densidade dependente (isso, entretanto, não afeta o modelo logístico. O modelo logístico

8 N d’ b’ dodododo bobobobo Efeito Allee

9 Introduzindo as duas últimas expressões na primeira Introduzindo as duas últimas expressões na primeira N/dt = (b’-d’).N dN/dt = (b’-d’).N = b - aN b’ = b - aN = d + cN d’ = d + cN N/dt = [(b-aN)-(d+cN)].N dN/dt = [(b-aN)-(d+cN)].N Rearranjando os termos Rearranjando os termos N/dt = [(b-d) – (aN+cN)].N dN/dt = [(b-d) – (aN+cN)].N N/dt = [(b-d) – (a+c)N].N dN/dt = [(b-d) – (a+c)N].N O modelo logístico

10 Multiplicando por [(b-d)/(b-d)] que é igual a 1,0 Multiplicando por [(b-d)/(b-d)] que é igual a 1,0 N/dt = [(b-d) – (a+c)N].N dN/dt = [(b-d) – (a+c)N].N X [(b-d)/(b-d)] considerando (b-d) como r considerando (b-d) como r O modelo logístico

11 como a, c, b e d são constantes pode-se definir uma nova variável: K como a, c, b e d são constantes pode-se definir uma nova variável: K = b-aN b’ = b-aN = d+cN d’ = d+cN significado biológico significado biológico - Capacidade de suporte: tamanho populacional máximo suportável por uma variedade de recursos (alimento, espaço, abrigo), expresso em número de indivíduos. O modelo logístico

12 como a, c, b e d são constantes pode-se definir uma nova variável: K como a, c, b e d são constantes pode-se definir uma nova variável: K Equação de Verhulst O modelo logístico

13 Pierre François Verhulst Pierre François Verhulst Equação de Verhulst Nasceu em Bruxelas (Belgica) Nasceu em Bruxelas (Belgica)  28/10/1808 –  15/02/1849  28/10/1808 –  15/02/1849 matemático matemático doutor em teoria numérica (Universidade de Ghent, 1825) doutor em teoria numérica (Universidade de Ghent, 1825) publicou, em 1838, o modelo demográfico logístico publicou, em 1838, o modelo demográfico logístico Equação é a base da teoria da estratégia r/k Equação é a base da teoria da estratégia r/k contribuiu para o desenvolvimento da teoria do caos contribuiu para o desenvolvimento da teoria do caos

14 como a, c, b e d são constantes pode-se definir uma nova variável: K como a, c, b e d são constantes pode-se definir uma nova variável: K Porção não utilizada da capacidade de suporte Crescimento exponencial Exemplo: K = 100 e N = 7 K = 100 e N = 98 K = 100 e N = 110 O modelo logístico

15 Quando uma população para de crescer (dN/dt=0)? Quando uma população para de crescer (dN/dt=0)? r = 0 r = 0 N = 0 N = 0 N = K N = K N > K => população decresce N > K => população decresce N população aumenta N população aumenta O modelo logístico

16 Integrando a equação de crescimento para expressar o tamanho Nt Integrando a equação de crescimento para expressar o tamanho Nt K/2 O modelo logístico

17 Variações no crescimento populacional (dN/dt) em função do tamanho populacional (N) O modelo logístico logístico exponencial

18 PRESSUPOSTOS Como no exponencial: ausência de retardos, migração, variação genética ou estrutura etária Como no exponencial: ausência de retardos, migração, variação genética ou estrutura etária Outros Outros - Capacidade de suporte constante - Capacidade de suporte constante - Denso-dependência linear - Denso-dependência linear O modelo logístico

19 taxa de crescimento per capita (r): taxa de crescimento per capita (r): Máxima quando N se aproxima de 0 Cai linearmente até 0 quando N atinge K N>K taxa de crescimento é negativa No modelo linear => taxa independe de N PRESSUPOSTOS Como no exponencial: ausência de retardos, migração, variação genética ou estrutura etária Como no exponencial: ausência de retardos, migração, variação genética ou estrutura etária Outros Outros - Capacidade de suporte constante - Capacidade de suporte constante - Taxa de crescimento tem denso- - Taxa de crescimento tem denso- dependência linear dependência linear logístico exponencial

20 bobo dodo Taxa de mortalidade (d) Taxa de natalidade (b) Tamanho da População - N dN/dt Tempo (t) Tamanho da população N

21 Exercício – 1 (logístico) Supondo que uma população de borboleta esteja crescendo de acordo com uma equação logística. Se a capacidade de suporte é de 500 borboletas e r=0,1 ind/(indiv.*mês). Calcule a taxa de crescimento populacional para situações em que: 1. a população tem 50 indivíduos; 2. a população tem 450 indivíduos; 3. a população tem 600 indivíduos; 4. quando o crescimento é máximo.

22 Exercício – 1 (logístico) Supondo que uma população de borboleta esteja crescendo de acordo com uma equação logística. Se a capacidade de suporte é de 500 borboletas e r=0,1 ind/(indiv.*mês). Qual seria o tamanho da população um ano depois, 1.Caso a população inicial tenha 100 borboletas 2.Caso a população inicial tenha 1000 borboletas 3.Caso a população inicial tenha 500 borboletas

23 Exercício – 1 (logístico) Supondo que uma população de borboleta esteja crescendo de acordo com uma equação logística. Se a capacidade de suporte é de 500 borboletas e r=0,1 ind/(indiv.*mês). 1.Qual a taxa de crescimento máxima possível para a população? 2. Supondo-se uma população inicial de 30 indivíduos, qual seria o tamanho da população 10 meses depois?

24 Variações do modelo Retardos na resposta? Retardos na resposta? Crescimento discreto?Crescimento discreto? Variação aleatória da capacidade de suporte?Variação aleatória da capacidade de suporte?

25 Slides Cortesia – Prof. Angelo A. Agostinho


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