Isometrias..

Apresentação em tema: "Isometrias.."— Transcrição da apresentação:

1 Isometrias.

2 Isometrias Isometria é uma palavra de origem grega Isos = igual
metria = medida

3 Exemplos de isometrias
As isometrias são utilizadas, pela beleza que as repetições ordenadas proporcionam... na decoração de azulejos, mosaicos, frisos, papéis para decoração.

4 Isometrias Mas afinal, como podemos nós obter isometrias?

5 Translações Consideremos duas bandeiras sobrepostas.

6 Translações Consideremos duas bandeiras sobrepostas. A F1 B C D

7 Translações Suponhamos que pretendemos deslocar a bandeira da esquerda para a direita na horizontal. A F1 B C D

8 Translações Vamos deslocar cada vértice da bandeira tendo em conta a «seta» indicada. A F1 B C D

9 Translações Assim, cada vértice desloca-se segundo um movimento paralelo à seta e com o mesmo sentido e comprimento desta. A A’ F1 B C B’ C’ D D’

10 Translações Obtemos então os pontos A’, B’, C’ e D’, que são imagens dos pontos A, B, C e D, respectivamente. A A’ F1 B C B’ C’ D D’

11 Translações Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F1. A A’ F1 B C B’ C’ D D’

12 Translações Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F1. A A’ F1 F2 B C B’ C’ D D’

13 Translações Dizemos que a bandeira F2 é a imagem ou o transformado da bandeira F1. A A’ F1 F2 B C B’ C’ D D’ À transformação ocorrida dá-se o nome de translação.

14 Vectores Numa seta podemos considerar três características: a direcção, o sentido e o comprimento. Desta forma, dizemos que temos definido um vector.

15 Vectores À translação anterior temos assim associado o vector que nos permite passar da figura inicial, a bandeira F1 para a nova bandeira F2. C C’

16 Vectores Observemos que:
A A’ B C B’ C’ D D’ Os vectores são todos iguais porque têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento .

17 Vectores Muitas vezes, também representamos um vector por uma letra minúscula, por exemplo . Assim, fazendo temos A A’ B C B’ C’ D D’

18 Vectores Muitas vezes, também representamos um vector por uma letra minúscula, por exemplo . Assim, fazendo temos A A’ F1 F2 B C B’ C’ D D’

19 Translações Assim, dizemos que: A A’ F1 F2 B C B’ C’ D D’

20 Translações Assim, dizemos que:
 A bandeira F1 é imagem da bandeira F2 numa translação associada ao vector . A A’ F1 F2 B C B’ C’ D D’

21 Propriedades das translações
Tal como nas rotações A imagem de um segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual Exemplo: [AD]  [A’D’] A imagem de um ângulo é um ângulo geometricamente igual. Exemplo:  CAB   C’A’B’ Estas propriedades são comuns a todas as translações.

22 Simetrias axiais ou Reflexão
Consideremos uma bandeira F1.

23 Simetrias axiais ou Reflexão
Consideremos uma bandeira F1. A F1 B C D

24 Simetrias axiais ou Reflexão
Suponhamos que queremos construir uma bandeira F2 pela simetria de uma recta r. A F1 B C D r

25 Simetrias axiais ou Reflexão
Duas situações podem ocorrer:  se um ponto M está na recta, então o seu transformado é o próprio M. A M’ M F1 B C D r

26 Simetrias axiais ou Reflexão
Duas situações podem ocorrer:  se um ponto M está na recta, então o seu transformado é o próprio M. A F1 B C  se um ponto M não está sobre a recta, então o seu transforma-do é tal que a recta r seja a mediatriz do segmento [MM’]. M’ M D r

27 Simetrias axiais ou Reflexão
Duas situações podem ocorrer:  se um ponto M está na recta, então o seu transformado é o próprio M. A F1 B C  se um ponto M não está sobre a recta, então o seu transforma-do é tal que a recta r seja a mediatriz do segmento [MM’]. M’ M D r

28 Simetrias axiais ou Reflexão
Os pontos M e M’ dizem-se simétricos relativamente à recta r. A F1 B C M’ M D r

29 Simetrias axiais ou Reflexão
Vamos passar à determinação das imagens dos pontos A, B, C e D. A’ A F1 C’ B’ B C D’ D r

30 Simetrias axiais ou Reflexão
Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F1, só que invertida. A’ A F1 C’ B’ B C D’ D r

31 Simetrias axiais ou Reflexão
Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F1, só que invertida. A’ A F2 F1 C’ B’ B C D’ D r

32 Simetrias axiais ou Reflexão
Dizemos que a bandeira F2 é a imagem ou o transformado da bandeira F1. A’ A F2 F1 C’ B’ B C D’ D r

33 Simetrias axiais ou Reflexão
À transformação ocorrida dá-se o nome de simetria axial. A’ A F2 F1 C’ B’ B C D’ D r

34 Simetrias axiais ou Reflexão
Assim, dizemos que a imagem de uma figura por uma simetria é uma figura que se diz simétrica em relação à recta r. A’ A F2 F1 C’ B’ B C A recta r diz-se eixo de simetria. D’ D r

35 Propriedades das simetrias axiais
Então, A imagem de um segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual Exemplo: [AD]  [A’D’] A imagem de um ângulo é um ângulo geometricamente igual, mas orientado em sentido contrário. Exemplo:  CAB   C’A’B’ Estas propriedades são comuns a todas as simetrias axiais.

36 Reflexão Deslizante Uma reflexão deslizante, tal como o nome sugere, é um movimento rígido que consiste numa translação seguida de uma reflexão ou vice-versa. O eixo da reflexão deve ser paralelo à direcção de translação.

37 Comparação das propriedades das isometrias
 Nas rotações e nas translações a figura resultante tem o mesmo sentido.  Nas simetrias axiais a figura aparece invertida.  As rotações e as translações mantém o sentido dos ângulos.  As simetrias axiais invertem o sentido dos ângulos.  As rotações, translações e simetrias axiais mantém a medida de comprimento dos segmentos  As rotações, translações e simetrias axiais mantém a medida de amplitude dos ângulos.

38 Classificação das isometrias
Estas características levam-nos a classificar as isometrias em dois tipos: Isometrias positivas mantém o sentido dos ângulos orientados Exemplo: Rotações, translações. Isometrias negativas invertem o sentido dos ângulos orientados Exemplo: Simetrias axiais.

39 Isometrias Mas afinal o que são isometrias?
Uma Isometria é uma transformação geométrica em que são conservados as medidas de comprimento dos segmentos de recta e as medidas de amplitude dos ângulos.