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Isometrias.. Isometrias Isometria é uma palavra de origem grega Isos = igual metria = medida.

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Apresentação em tema: "Isometrias.. Isometrias Isometria é uma palavra de origem grega Isos = igual metria = medida."— Transcrição da apresentação:

1 Isometrias.

2 Isometrias Isometria é uma palavra de origem grega Isos = igual metria = medida

3 Exemplos de isometrias As isometrias são utilizadas, pela beleza que as repetições ordenadas proporcionam... na decoração de azulejos, mosaicos, frisos, papéis para decoração.

4 Isometrias Mas afinal, como podemos nós obter isometrias?

5 Translações Consideremos duas bandeiras sobrepostas.

6 Translações Consideremos duas bandeiras sobrepostas. F1 A D B C

7 Translações B F1 A D Suponhamos que pretendemos deslocar a bandeira da esquerda para a direita na horizontal. C

8 Translações F1 A D Vamos deslocar cada vértice da bandeira tendo em conta a «seta» indicada. B C

9 Translações B C F1 A D Assim, cada vértice desloca-se segundo um movimento paralelo à seta e com o mesmo sentido e comprimento desta. C’ A’ B’ D’

10 Translações B C F1 A D Obtemos então os pontos A’, B’, C’ e D’, que são imagens dos pontos A, B, C e D, respectivamente. C’ A’ B’ D’

11 Translações B C F1 A D C’ A’ B’ Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F1. D’

12 Translações B C F1 A D F2 C’ A’ B’ Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F1. D’

13 Translações B C F1 A D F2 C’ A’ B’ Dizemos que a bandeira F2 é a imagem ou o transformado da bandeira F1. À transformação ocorrida dá-se o nome de translação. D’

14 Vectores Numa seta podemos considerar três características: a direcção, o sentido e o comprimento. Desta forma, dizemos que temos definido um vector.

15 Vectores À translação anterior temos assim associado o vector que nos permite passar da figura inicial, a bandeira F1 para a nova bandeira F2. C C’

16 Vectores Observemos que: Os vectores são todos iguais porque têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. C C’B A D A’ B’ D’

17 Vectores Muitas vezes, também representamos um vector por uma letra minúscula, por exemplo. Assim, fazendo temos C C’B A D A’ B’ D’

18 Vectores Muitas vezes, também representamos um vector por uma letra minúscula, por exemplo. Assim, fazendo temos C C’B A D A’ B’ D’ F1F2

19 Translações Assim, dizemos que: C C’B A D A’ B’ D’ F1F2

20 Translações Assim, dizemos que: C C’B A D A’ B’ D’ F1F2  A bandeira F1 é imagem da bandeira F2 numa translação associada ao vector.

21 Propriedades das translações Tal como nas rotações A imagem de um segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual Exemplo: [AD]  [A’D’] A imagem de um ângulo é um ângulo geometricamente igual. Exemplo:  CAB   C’A’B’ Estas propriedades são comuns a todas as translações.

22 Simetrias axiais ou Reflexão Consideremos uma bandeira F1.

23 F1 C A B Consideremos uma bandeira F1. D Simetrias axiais ou Reflexão

24 F1 C A B Suponhamos que queremos construir uma bandeira F2 pela simetria de uma recta r. D r Simetrias axiais ou Reflexão

25 F1 C A B Duas situações podem ocorrer: D r  se um ponto M está na recta, então o seu transformado é o próprio M. M’M Simetrias axiais ou Reflexão

26 F1 C A B Duas situações podem ocorrer: D r  se um ponto M está na recta, então o seu transformado é o próprio M.  se um ponto M não está sobre a recta, então o seu transforma- do é tal que a recta r seja a mediatriz do segmento [MM’]. MM’ Simetrias axiais ou Reflexão

27 F1 C A B Duas situações podem ocorrer: D r  se um ponto M está na recta, então o seu transformado é o próprio M.  se um ponto M não está sobre a recta, então o seu transforma- do é tal que a recta r seja a mediatriz do segmento [MM’]. MM’ Simetrias axiais ou Reflexão

28 F1 C A B Os pontos M e M’ dizem-se simétricos relativamente à recta r. D r MM’ Simetrias axiais ou Reflexão

29 C A B Vamos passar à determinação das imagens dos pontos A, B, C e D. D r A’ B’C’ D’ F1 Simetrias axiais ou Reflexão

30 C A B D r A’ B’C’ D’ Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F1, só que invertida. F1 Simetrias axiais ou Reflexão

31 C A B D r A’ B’C’ D’ Unindo os novos pontos obtemos a bandeira F2 com a mesma forma e dimensão da bandeira F1, só que invertida. F1F2 Simetrias axiais ou Reflexão

32 C A B D r A’ B’C’ D’ F1F2 Dizemos que a bandeira F2 é a imagem ou o transformado da bandeira F1. Simetrias axiais ou Reflexão

33 C A B D r A’ B’C’ D’ F1F2 À transformação ocorrida dá-se o nome de simetria axial. Simetrias axiais ou Reflexão

34 Assim, dizemos que a imagem de uma figura por uma simetria é uma figura que se diz simétrica em relação à recta r. C A B D r A’ B’C’ D’ F1F2 A recta r diz-se eixo de simetria. Simetrias axiais ou Reflexão

35 Propriedades das simetrias axiais Então, A imagem de um segmento de recta é um segmento de recta geometricamente igual Exemplo: [AD]  [A’D’] A imagem de um ângulo é um ângulo geometricamente igual, mas orientado em sentido contrário. Exemplo:  CAB   C’A’B’ Estas propriedades são comuns a todas as simetrias axiais.

36 Uma reflexão deslizante, tal como o nome sugere, é um movimento rígido que consiste numa translação seguida de uma reflexão ou vice-versa. O eixo da reflexão deve ser paralelo à direcção de translação. Reflexão Deslizante

37 Comparação das propriedades das isometrias  Nas rotações e nas translações a figura resultante tem o mesmo sentido.  Nas simetrias axiais a figura aparece invertida.  As rotações e as translações mantém o sentido dos ângulos.  As simetrias axiais invertem o sentido dos ângulos.  As rotações, translações e simetrias axiais mantém a medida de comprimento dos segmentos  As rotações, translações e simetrias axiais mantém a medida de amplitude dos ângulos.

38 Classificação das isometrias Isometrias positivas mantém o sentido dos ângulos orientados Estas características levam-nos a classificar as isometrias em dois tipos: Isometrias negativas invertem o sentido dos ângulos orientados Exemplo: Rotações, translações. Exemplo: Simetrias axiais.

39 Isometrias Uma Isometria é uma transformação geométrica em que são conservados as medidas de comprimento dos segmentos de recta e as medidas de amplitude dos ângulos. Mas afinal o que são isometrias?


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