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1 Probabilidade. 2 Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando.

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1 1 Probabilidade

2 2 Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1 Definição de Probabilidade

3 3 Probabilidade A probabilidade é usada sempre que o indivíduo toma decisões em situações de incerteza. A utilização da probabilidade indica a incerteza, quanto a ocorrência ou não de um dado resultado. Exemplo: Tempo de vida de uma lâmpada, A altura da próxima pessoa que entrou na sala de aula; Preço das ações da petrobrás; Número da face exposta para cima no lançamento de um dado; etc

4 4 Probabilidade u Surgiu com o objetivo de determinar melhores estratégias em em jogos de azar; Exemplo1: Considere o lançamento de um dado honesto. Ganha quem acertar o valor da face exposta. Qual seria a sua Aposta? Exemplo2: Considere agora o lançamento de dois dados honestos. Ganha quem acertar o valor da soma das duas faces expostas. Qual seria a sua Aposta? Nos dois casos, no que se baseou a sua escolha?

5 5Probabilidade Para apostar “ fazer uma escolha” é preciso identificar todos os resultados possíveis. Exemplo 1: Face de um dado: S 1 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo 2: Soma das faces de dois dados : S 2 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12} O conjunto de todos os resultados possíveis é denominado Espaço Amostral (S)

6 6 Um subconjunto do espaço amostral S é denominado evento. Exemplo 1: A = a face do dado voltada pra cima é igual a 5; A={5}  evento simples; B = a face do dado voltada pra cima é menor que 5; B = {1, 2, 3, 4}; Probabilidade Evento Simples: Evento que consiste de um ú nico resultado.

7 7 EXERCÍCIO: Considere o seguinte experimento aleatório: Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima. Descreva os conjuntos associados aos seguintes eventos e determine quais deles são eventos simples. A = a soma das faces é maior que 9; B= a soma das faces é igual a 7; C = a soma das faces é maior que 12; Probabilidade

8 8 Se todos os elementos de S tem a mesma chance de ocorrer  S é um conjunto equiprovável!!! Nesse caso: Modelo de Probabilidade número de resultados em E número total de resultados no espaço amostral P(E)= Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos. 1.Evento A: obter um 3. 2.Evento B: obter um 7. 3.Evento C: obter um número menor do que 5.

9 9 OPERAÇÃO COM EVENTOS Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral A  B: União dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B A  B: Intersecção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

10 10 EXERCÍCIO: Considere o seguinte experimento aleatório: Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima. Calcule a probabilidade dos eventos abaixo: A = a soma das faces é maior que 9; B= a soma das faces é igual a 5; C = a soma das faces é maior que 12; Probabilidade

11 11 1) Determine o espaço amostral Dois dados são jogados. Descreva o espaço amostral. Todos os resultados sao Equiprovaveis? Início S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}

12 12 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. Determine a probabilidade de que a soma seja 11. Dois dados são jogados e sua soma é anotada. Espaço amostral e probabilidades 3/36 = 1/12 = 0,083 2/36 = 1/18 = 0,056

13 13 Eventos complementares O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E. P(E´ ) = 1 – P(E)

14 14 Operações com eventos A  não A

15 15 Teorema da adição Se A e B são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos A e B é igual a adição das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto A e B. P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

16 16 Operações com eventos A  B A  B

17 17 Se A e B forem dois eventos tais que a realização de A exclui a realização de B. Estes eventos são denominados Mutuamente exclusivos (ou disjuntos). Nesse caso, a probabilidade da reunião dos subconjuntos A e B é simplesmente igual a adição de suas probabilidades individuais. P(A  B) = P(A) + P(B) OBSERVAÇÃO

18 18 P(A  C) P(A  C) P(A) P(B) P(C) P(A  B) P(A  B) P(A C )  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. Calcule as Probabilidades abaixo: Exemplo : Lançamento de um dado

19 19 Eventos independentes são aqueles que não exercem ação entre os mesmos, isto é, cada evento comportando-se da maneira que lhe é própria. A condição necessária e suficiente para que dois eventos sejam independentes é que a probabilidade do produto seja igual ao produto das probabilidades. P(A  B) = P(A)  P(B)

20 20 P(A  C) P(A  C) P(A) P(B) P(C) P(A  B) P(A  B) P(A C )  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. Calcule as Probabilidades abaixo: Exemplo : Lançamento de um dado Os eventos A e B são independentes? A e C? e B e C?

21 21 Construção de distribuições de probabilidades Sortear 2 bolas com reposição X = número de bolas pretas na amostra

22 22 3/5 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 Sortear 2 bolas com reposição (1 0 ) (2 0 ) Calcule a Probabilidade de: a)2 bolas pretas; b)2 bolas brancas; c)1 bola de cada cor; d)2 bolas pretas ou 2 brancas; e)Os eventos a, b, c são independentes?

23 23 3/5 2/5 2/4 3/4 1/4 Sortear 2 bolas sem reposição X = número de bolas pretas na amostra (1 0 ) (2 0 ) Calcule a Probabilidade de: a)2 bolas pretas; b)2 bolas brancas; c)1 bola de cada cor; d)2 bolas pretas ou 2 brancas; e)Os eventos a, b, c são independentes?

24 24 Probabilidade condicional Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter acontecido, é definida por P(B/A) e é denominada probabilidade condicional de B, depois de A ter ocorrido.

25 25 Probabilidade Condicional e Independência Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B, é representado por P(A|B) é dado por: Exemplo 2.:Considere o exemplo anterior com e sem reposição; (a)Qual a probabilidade da segunda bola ser branca dado que a primeira foi preta? (b)O que acontece quando A e B São independentes? (1)

26 26 Probabilidade condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele?

27 27 Probabilidade Condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele?

28 28 Probabilidades de eventos )(1)(APAP  1) Evento complementar: )()()()(BAPBPAPBAP  2) Propriedade da soma: )()()(BPAPBAP  3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos: )/()()(ABPAPBAP ×  4) Propriedade do produto: )()()(BPAPBAP ×  5) Propriedade do produto para eventos independentes

29 29

30 30

31 31 Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico. Variáveis aleatórias

32 32 Variável aleatória u “Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral. u X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;

33 33 Exemplos de variáveis aleatórias u Vida útil (em horas) de um televisor; u Número de peças com defeito em um lote produzido; u Número de veiculos que passam num pedágio num determinado dia; u Numero de Caras no lançamento de 3 moedas

34 34 Tipos de variáveis aleatórias 1.Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. Ex: número de mulheres em uma sala de aula; 2.Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado. Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;

35 35 Variáveis aleatórias variável aleatória discreta os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável contínua os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais número de defeitos em... tempo de resposta de...

36 36 Distribuição Binomial: modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas Modelos de Distribuição de Probabilidade Distribuição Normal: modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas


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