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1 Probabilidade. 2 Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando.

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1 1 Probabilidade

2 2 Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1 Definição de Probabilidade

3 3 Probabilidade A probabilidade é usada sempre que o indivíduo toma decisões em situações de incerteza. A utilização da probabilidade indica a incerteza, quanto a ocorrência ou não de um dado resultado. Exemplo: Tempo de vida de uma lâmpada, A altura da próxima pessoa que entrou na sala de aula; Preço das ações da petrobrás; Número da face exposta para cima no lançamento de um dado; etc

4 4 Probabilidade u Surgiu com o objetivo de determinar melhores estratégias em em jogos de azar; Exemplo1: Considere o lançamento de um dado honesto. Ganha quem acertar o valor da face exposta. Qual seria a sua Aposta? Exemplo2: Considere agora o lançamento de dois dados honestos. Ganha quem acertar o valor da soma das duas faces expostas. Qual seria a sua Aposta? Nos dois casos, no que se baseou a sua escolha?

5 5Probabilidade Para apostar “ fazer uma escolha” é preciso identificar todos os resultados possíveis. Exemplo 1: Face de um dado: S 1 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo 2: Soma das faces de dois dados : S 2 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12} O conjunto de todos os resultados possíveis é denominado Espaço Amostral (S)

6 6 Um subconjunto do espaço amostral S é denominado evento. Exemplo 1: A = a face do dado voltada pra cima é igual a 5; A={5}  evento simples; B = a face do dado voltada pra cima é menor que 5; B = {1, 2, 3, 4}; Probabilidade Evento Simples: Evento que consiste de um ú nico resultado.

7 7 EXERCÍCIO: Considere o seguinte experimento aleatório: Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima. Descreva os conjuntos associados aos seguintes eventos e determine quais deles são eventos simples. A = a soma das faces é maior que 9; B= a soma das faces é igual a 7; C = a soma das faces é maior que 12; Probabilidade

8 8 Se todos os elementos de S tem a mesma chance de ocorrer  S é um conjunto equiprovável!!! Nesse caso: Modelo de Probabilidade número de resultados em E número total de resultados no espaço amostral P(E)= Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos. 1.Evento A: obter um 3. 2.Evento B: obter um 7. 3.Evento C: obter um número menor do que 5.

9 9 OPERAÇÃO COM EVENTOS Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral A  B: União dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B A  B: Intersecção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

10 10 EXERCÍCIO: Considere o seguinte experimento aleatório: Dois dados são lançados e verifica-se a soma das faces voltadas para cima. Calcule a probabilidade dos eventos abaixo: A = a soma das faces é maior que 9; B= a soma das faces é igual a 5; C = a soma das faces é maior que 12; Probabilidade

11 11 1) Determine o espaço amostral Dois dados são jogados. Descreva o espaço amostral. Todos os resultados sao Equiprovaveis? Início 123456 1 2 3 4 5 6 S2={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}

12 12 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. Determine a probabilidade de que a soma seja 11. Dois dados são jogados e sua soma é anotada. Espaço amostral e probabilidades 3/36 = 1/12 = 0,083 2/36 = 1/18 = 0,056

13 13 Eventos complementares O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E. P(E´ ) = 1 – P(E)

14 14 Operações com eventos A  não A

15 15 Teorema da adição Se A e B são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos A e B é igual a adição das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto A e B. P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

16 16 Operações com eventos A  B A  B

17 17 Se A e B forem dois eventos tais que a realização de A exclui a realização de B. Estes eventos são denominados Mutuamente exclusivos (ou disjuntos). Nesse caso, a probabilidade da reunião dos subconjuntos A e B é simplesmente igual a adição de suas probabilidades individuais. P(A  B) = P(A) + P(B) OBSERVAÇÃO

18 18 P(A  C) P(A  C) P(A) P(B) P(C) P(A  B) P(A  B) P(A C )  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. Calcule as Probabilidades abaixo: Exemplo : Lançamento de um dado

19 19 Eventos independentes são aqueles que não exercem ação entre os mesmos, isto é, cada evento comportando-se da maneira que lhe é própria. A condição necessária e suficiente para que dois eventos sejam independentes é que a probabilidade do produto seja igual ao produto das probabilidades. P(A  B) = P(A)  P(B)

20 20 P(A  C) P(A  C) P(A) P(B) P(C) P(A  B) P(A  B) P(A C )  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}. Calcule as Probabilidades abaixo: Exemplo : Lançamento de um dado Os eventos A e B são independentes? A e C? e B e C?

21 21 Construção de distribuições de probabilidades Sortear 2 bolas com reposição X = número de bolas pretas na amostra

22 22 3/5 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 Sortear 2 bolas com reposição (1 0 ) (2 0 ) Calcule a Probabilidade de: a)2 bolas pretas; b)2 bolas brancas; c)1 bola de cada cor; d)2 bolas pretas ou 2 brancas; e)Os eventos a, b, c são independentes?

23 23 3/5 2/5 2/4 3/4 1/4 Sortear 2 bolas sem reposição X = número de bolas pretas na amostra (1 0 ) (2 0 ) Calcule a Probabilidade de: a)2 bolas pretas; b)2 bolas brancas; c)1 bola de cada cor; d)2 bolas pretas ou 2 brancas; e)Os eventos a, b, c são independentes?

24 24 Probabilidade condicional Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter acontecido, é definida por P(B/A) e é denominada probabilidade condicional de B, depois de A ter ocorrido.

25 25 Probabilidade Condicional e Independência Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B, é representado por P(A|B) é dado por: Exemplo 2.:Considere o exemplo anterior com e sem reposição; (a)Qual a probabilidade da segunda bola ser branca dado que a primeira foi preta? (b)O que acontece quando A e B São independentes? (1)

26 26 Probabilidade condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele?

27 27 Probabilidade Condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele?

28 28 Probabilidades de eventos )(1)(APAP  1) Evento complementar: )()()()(BAPBPAPBAP  2) Propriedade da soma: )()()(BPAPBAP  3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos: )/()()(ABPAPBAP ×  4) Propriedade do produto: )()()(BPAPBAP ×  5) Propriedade do produto para eventos independentes

29 29

30 30

31 31 Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico. Variáveis aleatórias

32 32 Variável aleatória u “Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral. u X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;

33 33 Exemplos de variáveis aleatórias u Vida útil (em horas) de um televisor; u Número de peças com defeito em um lote produzido; u Número de veiculos que passam num pedágio num determinado dia; u Numero de Caras no lançamento de 3 moedas

34 34 Tipos de variáveis aleatórias 1.Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. Ex: número de mulheres em uma sala de aula; 2.Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado. Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;

35 35 Variáveis aleatórias variável aleatória discreta os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável contínua os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais 0 12 3 4... 0 número de defeitos em... tempo de resposta de...

36 36 Distribuição Binomial: modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas Modelos de Distribuição de Probabilidade Distribuição Normal: modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas


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