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NOÇÕES DE PROBABILIDADE 1. Espaço Amostral e Evento Espaço Amostral (E) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um dado experimento. Exemplo:

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1 NOÇÕES DE PROBABILIDADE 1. Espaço Amostral e Evento Espaço Amostral (E) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um dado experimento. Exemplo: No lançamento de um dado, o espaço amostral é: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento (A) é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Exemplo: No lançamento de um dado, o conjunto A = {1, 3, 5} (ocorrência de um número ímpar) é um evento.

2 2. Definição Probabilidade é o quociente entre o número de elementos do evento desejado [n(A)] e o número de elementos do espaço amostral [n(E)], desde que as amostras desse espaço amostral possam ocorrer de maneira eqüiprováveis (mesmas chances de ocorrer). n(A) é o número de elementos do evento desejado n(E) é o número de elementos do espaço amostral a) 0,24 b) 0,40 c) 0,32 d) 0,25 e) 0,80 Exercício 1: ( ACAFE ) Num sorteio com número de 1 a 25, a probabilidade de ser sorteado um número múltiplo de 3 é: ESPAÇO AMOSTRAL E = {1, 2, 3, 4, ….., 23, 24, 25} n(E) = 25 EVENTO DESEJADO A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} n(A) = 8 = 8 25 =0,32

3 Exercício 2: Joga-se um dado “honesto” de seis faces e lê-se o número da face voltada para cima. Calcular a probabilidade de se obter: ESPAÇO AMOSTRAL E = {1, 2, 3, 4, 5,6} a) EVENTO DESEJADO A = {4 } n(A) = 1 n(E) = 6 P(A) = 1 6 = 0, a) o número 4 b) um número ímpar c) um número maior que 2 d) um número menor que 7 e) um número maior que 6 n(A) = 3 P(A) = 3 6 = 0,5.. b) EVENTO DESEJADO A = {1, 3, 5}

4 ESPAÇO AMOSTRAL E = {1, 2, 3, 4, 5,6} c) EVENTO DESEJADO A = {3, 4, 5, 6 } n(A) = 4 n(E) = 6 P(A) = 4 6 = 0,6666…. a) o número 4 b) um número ímpar c) um número maior que 2 d) um número menor que 7 e) um número maior que 6 n(A) = 6 P(A) = 6 6 = 1 d) EVENTO DESEJADO A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} EVENTO CERTO e) EVENTO DESEJADO A = { } n(A) = 0 P(A) = 0 6 = 0 EVENTO Impossível

5 Exercício 3: ( METODISTA ) Em um único sorteio envolvendo os números naturais de 1 a 200, a probabilidade de neste sorteio sair um número que seja múltiplo de sete é: a) 14% b) 15% c) 18% d) 19% e) 20% ESPAÇO AMOSTRAL E = {1, 2, 3, 4, ….., 198, 199, 200} EVENTO DESEJADO A = {7, 14, 21,……………………196 } n(A) = ? n(E) = 200 n(A) = 28 a n = a 1 + (n – 1).r P.A. 196 = 7 + (n – 1) = 7 + 7n – 7 28 = n P(A) = =0,14 x %

6 Exercício 4: ( ACAFE ) Uma urna contém 6 bolas brancas e 24 pretas.A probabilidade de sortearmos uma bola branca é de: a) 40% b) 25% c) 80% d) 75% e) 20% ESPAÇO AMOSTRAL E = {B, B, B, B, B, B, P, P, P……..,P} EVENTO DESEJADO A = {B, B, B, B, B, B } n(A) = 6 n(E) = 30 P(A) = 6 30 =0,2 x %

7 Exercício 5: A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é: a) 40% b) 25% c) 80% d) 33% e) 20% ESPAÇO AMOSTRAL E = {B, B, B, B, V, V, V, A, A, A, A, A} EVENTO DESEJADO A = {B, B, B, B } n(E) = 4 n(E) = 12 P(A) = 4 12 =0,333… x %

8 Exercício 6: Joga-se dois dados. Qual a probabilidade de obtermos, nas faces voltadas para cima, a soma 7.: ESPAÇO AMOSTRAL E = {(1,1), (1,2), (1, 3)….(3, 5), (3,6) (4, 1),…….(6,2), ….(6,6)} EVENTO DESEJADO A = {(1,6),(2, 5),(3, 4),(4, 3),(5, 2)(6, 1)} n(A) = 6 n(E) = 36 P(A) = 6 36 =0,16… x %

9 Exercício 7: Uma cidade tem habitantes possui 3 jornais, A, B e C. Sabe-se que: lêem o jornal A; lêem o jornal B; 8000 lêem o jornal C; 6000 lêem os jornais A e B 4000 lêem os jornais A e C 3000 lêem os jornais B e C 1000 lêem os três jornais. Uma pessoa é selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) ela leia pelo menos um jornal b) leia só um jornal JORNAL A JORNAL B JORNAL C a) = 0,42 b) = 0,20

10 Considerando-se um octógono regular. Tomando-se ao acaso uma das diagonais do polígono, a probabilidade de que ela passe pelo centro é: Exercício 8: d = n(n – 3) 2 d = 8(8 – 3) 2 d = 20 n(E) = 20 Se n (número de lados) é par então: n 2 diagonais passam pelo centro do polígono Logo no octógono regular 4 diagonais passam pelo centro. n(A) = 4 P(A)= 4 20 = 20%

11 PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) Observe que se A ∩ B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então : p(A U B) = p(A) + p(B).

12 Exemplo : No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de que o número obtido na face superior seja múltiplo de 3 ou de 4 ? Sejam os eventos : A : ocorre múltiplo de 3 ⇒ A = { 3,4} B : ocorre múltiplo de 4 ⇒ B = {4} Queremos avaliar p(AUB) Como A ∩ B = Ø, p(A U B ) = p(A) + p(B) = 2/6 + 1/6 = 1/2 = 0,50 = 50%

13 PROBABILIDADE CONDICIONAL Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.

14 Fórmula da probabilidade condicional Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas. Esta importante fórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B, sabendo-se que já ocorreu o evento B. Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica: p(A ∩ B) = p(A). p(B) Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados.

15 Exemplo : Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: a)em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). Solução: p(V ∩ B) = p(V). p(B/V) p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo: p(B/V) = 2/6 = 1/3 Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que: P(V ∩ B) = 5/7. 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

16 b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. Solução: Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como: P(V ∩ B) = p(V). p(B) = 5/7. 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41% Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir.

17 Fim. Boa prova para todos !!


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