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1 Tratamento estatístico de dados experimentais  conceitos básicos 1 Incerteza associada a uma medição 2 Propagação de erros 3 Representação gráfica 4.

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1 1 Tratamento estatístico de dados experimentais  conceitos básicos 1 Incerteza associada a uma medição 2 Propagação de erros 3 Representação gráfica 4 Pequeno guia para criar gráficos 5 Regressão linear

2 2 Incerteza  é o parâmetro associado ao resultado de uma medição de uma grandeza física que caracteriza a dispersão de valores que podem ser atribuídos a essa grandeza Erro  é a diferença entre o valor medido e o “valor verdadeiro” da grandeza em análise 1 Incerteza associada a uma medição Todas as medidas estão afetadas de uma incerteza porque qualquer instrumento, por melhor que seja, tem uma escala e a expressão da medida real nessa escala implica sempre uma aproximação a medida exata

3 3 Uma régua comum, graduada em milímetros 1.1 Um exemplo com uma régua milimétrica  a extremidade do objeto está entre os valores 5 mm e 6 mm l é o comprimento do objeto 5 < l < 6 (mm) l = 6.0  0.5 (mm) Significa que podemos estar a cometer um erro máximo de 0.5 mm na nossa leitura A este valor de 0.5 mm chamamos INCERTEZA INSTRUMENTAL (0.5 mm é a metade da menor divisão da escala)

4 4 Agora vamos imaginar que a régua é bem grande e portanto temos uma escala mais ampliada e que por isso podemos perceber com mais clareza Os valores medidos estão desviados de um quarto da menor divisão relativamente aos valores da escala. A marca mais próxima é 6 Que o comprimento real não ultrapassa 6 As informações anteriores levam-nos a concluir que5.5 < l < 6.0 (mm) Portanto, a leitura deverá agora ser expressa como l = 5.75  0.25 (mm) Note-se que neste caso o valor medido não coincide com os valores da escala (1,2,3,4,5,6,... )

5 5 1.2 A generalização do exemplo para a regra a seguir nas aulas Regra 1: A incerteza associada a uma escala analógica corresponde a metade da sua menor divisão Regra 1 (extendida): A incerteza associada a uma escala analógica pode ir até um quarto da sua menor divisão O exemplo que foi referido na secção anterior poderia ser generalizado a qualquer escala analógica (uma escala contínua)

6 6 1.3 Escalas digitais E quanto as escalas digitais, como nos cronómetros ou balanças digitais? A diferença, é que não temos acesso ao meio da escala  escala descontínua Pensemos, por exemplo, num cronómetro digital de segundos Imaginemos que fazemos uma cronometragem que deu 5 s 5 < t < 6 s Portanto poderíamos escrever como anteriormente: t = 5.5  0.5 s  mas há um problema adicional nas escalas digitais!

7 7 A calibração do ponto zero também e afetada pela incerteza da escala digital! incerteza total = incerteza associada a medida + a incerteza associada a calibração do zero (metade da menor divisão da escala) + (também metade da menor divisão da escala) Voltando ao exemplo anterior, a leitura do tempo deverá ser então dada por t = 5  1 s Regra 2: A incerteza associada a uma escala digital corresponde a sua menor divisão Regra 2 (extendida): A incerteza associada a uma escala digital pode considerar-se como sendo metade da sua menor divisão se pudermos desprezar as incertezas associadas a calibração do zero

8 8 1.4 O número de casas decimais de uma medida Regra 3: O número de casas decimais (nCD) de uma medida deve ser igual ao número de casas decimais da incerteza instrumental l =  m Exemplos:

9 9 1.5 Algarismos significativos O número de algarismos significativos (nAS) associado a uma dada medida é igual ao número de algarismos que têm realmente significado  esta definição quer dizer implicitamente que nem todos os algarismos têm significado Casos em que um algarismo não conta (não é significativo)  Zeros a esquerda não contam:  o primeiro zero é redundante e não serve para nada - não é significativo 09 = 9  Zeros a direita não contam se apenas indicarem ordem de grandeza Quando se diz que há 10 milhões de portugueses  este valor é apenas uma ordem de grandeza Não quer dizer que é o valor exato de portugueses

10 10 Mas suponhamos que o ultimo censo dava exatamente nem um a mais, nem um a menos. Como indicar que agora todos os zeros são significativos, porque derivados de uma contagem real? (a) Zeros não significativos: (sem ponto) (b) Zeros significativos: (com ponto) Uma outra forma de justificar o ponto anterior (a) e notar que o número de portugueses se pode escrever aproximadamente O único AS é o 1 Todos os outros zeros estão condensados na potência, a que não associamos nenhum AS A resposta é: COLOCANDO UM PONTO DECIMAL NO FIM  potência de 10

11 11 Regra 4: Zeros a esquerda e zeros representativos de ordem de grandeza não são significativos. O primeiro AS conta por 2 se for  5.

12 Há relação entre o nCD e o nAS? Se forem números em abstrato o nCD e o nAS são independentes entre si, mas para as medições, podemos dizer que há realmente uma relação entre eles Exemplo: Um objeto com (... ) m e medido em duas réguas: uma com escala milimétrica e outra com escala centimétrica.  A leitura na escala milimétrica será l =  0.5 mm. nCD=1 nAS=5 Escrevendo a leitura em cm, l =  0.05 cm.  A leitura na escala centimétrica será l =  0.5 cm. nCD=1 nAS=4 Para o mesmo objeto e medida, mudar de escala implica mudar de nAS A escala determina o nCD  nCD=2 nAS=5 o nCD determina o nAS

13 13 Exemplos:

14 Series de medidas Para certas grandezas, normalmente fazemos uma série de medidas Exemplo: Medição do tempo que uma esfera leva a deslizar sobre um plano inclinado Resultados Os tempos não são todos iguais porque há muitos fatores não controláveis a influenciar o resultado da medida: a sincronia da largada do corpo com o início da contagem, o tempo de reação do operador e a própria forma como o corpo e largado. Tudo o que discutimos ate agora se referiu apenas a uma medida

15 15 Como representaremos este conjunto de dados? Vamos supor que fizemos mil medições do tempo, para a mesma experiência. Fazemos um histograma destas contagens considerando:  a classe 4.5 contém todas as repetições em que se observou t < 4.5 s  a classe 6.5 contem todos as repetições em que se observou 6.4  t s  a classe 4.6 contém todos as repetições em que se observou 4.5  t < 4.6 s  a classe 4.7 contem todos as repetições em que se observou 4.6  t < 4:7 s ...  a classe 6.4 contem todos as repetições em que se observou 6.3  t < 6.4 s

16 16 A classe mais observada é a classe 5.5, que corresponde a 5.4  t < 5.5 s  com cerca de 200 eventos observados HISTOGRAMA Depois seguem-se as classes 5.4 e 5.6  com aproximadamente 170 eventos cada

17 17 As classes poderiam tornar-se tão estreitas quanto quiséssemos e acabaríamos por obter uma distribuição contínua.

18 18 DISTRIBUIÇÃO GAUSSIANA OU NORMAL No nosso caso a distribuição contínua, está representada a vermelho

19 19 A distribuição Normal (ou Gaussiana ) é simétrica em torno do ponto , e que representa a média da distribuição A forma do “sino” é definida pelo desvio padrão   A forma matemática da distribuição Normal é dada por:  representa o valor da função no ponto x  é a amplitude da função

20 20 Dos valores observados na medição 68% no intervalo 95% no intervalo 99.7% no intervalo Por isso a forma ideal de caracterizar a medição é escrever: x=   

21 21  estimamos o valor de  através do cálculo do valor médio Para um número finito de medições (10 ou mais valores)  N é o número de medições e é o conjunto das medidas  consideramos o desvio padrão (  ) da amostra com sendo e que corresponde a Escrevemos a medição na forma:

22 22 Regra 5: A representação de uma serie de medidas faz-se na forma em que é o valor médio da amostra * e s é o desvio padrão da amostra **, e  x é a incerteza da escala.  Para uma medida individual apresentamos o resultado na forma Podemos ter duas incertezas associadas às medidas  Para uma série de medidas apresentamos o resultado na forma

23 23 Regra 6: Os valores da média e desvio padrão devem ser escritos com o mesmo nCD da incerteza instrumental. Em geral, quando se escreve uma medida na forma valor  incerteza, o nCD do valor e da incerteza devem ser iguais. Voltando às medições do tempo de deslizamento duma esfera sobre um plano inclinado A medição deve apresentar-se na forma: Note-se que para escrever o resultado final o valor de s foi comutado para o número de casas decimais da incerteza instrumental. Isto constitui a regra seguinte:

24 24 2 Propagação de erros (ou propagação de incertezas) Exemplo: Quero saber a área de um retângulo, de lados a e b. Se consideramos que cada lado do retângulo foi medido com uma régua diferente: Esta incerteza pode ser calculada através da fórmula de propagação de incertezas (erros) que estudaremos a seguir  a é a incerteza de a a b  b é a incerteza de b Qual será a incerteza  A da área A=ab ? Muitas vezes precisamos calcular uma grandeza a partir de um conjunto de medidas de grandezas experimentais afetadas de incertezas. E depois será necessário quantificar a incerteza da grandeza calculada A

25 25 MÉTODO PARA UTILIZAR NAS AULAS PRÁTICAS 2.3 Cálculo da incerteza associada a uma operação sobre medidas  caso A GRANDEZA DEPENDE DE UMA VARIÁVEL Queremos determinar a incerteza de uma grandeza G que é função de uma outra grandeza x: De acordo com a expansão de Taylor podemos calcular o valor de f(x +  x ) a partir do valor de f(x), se  x « x ( que é o nosso caso). f(x +  x )= f(x)+  x f’(x)   x f’(x) =f(x +  x )- f(x) G=f(x) A incerteza de x é  x. Denominaremos de  G a incerteza de G Aproximação de 1º ordem da série de Taylor:    x f’(x)=  G ou  x =  G 

26 26 Exemplo 1. Cálculo da área do quadrado Resultado da medição do lado do quadrado nAS=2 Cálculo de  V utilizando a expressão: 

27 27 Resultado da medição do diâmetro da esfera Exemplo 2. Cálculo do volume de uma esfera a partir do valor do diâmetro. Cálculo de  V utilizando a expressão:  nAS=4

28 Cálculo da incerteza associada a uma operação sobre medidas  caso de mais do que uma variável A GRANDEZA DEPENDE DE MAIS DE UMA VARIÁVEL Neste caso, para obter a incerteza  G, usamos uma generalização de Para esse fim temos que utilizar a derivada parcial As derivadas parciais são calculadas em

29 29 Exemplo 3 : Cálculo da incerteza da velocidade. A velocidade depende de duas variáveis : o espaço x que tem uma incerteza  x e o tempo t que tem uma incerteza  t Para calcular a incerteza da velocidade,  v, utilizamos: ou nAS=2

30 30 Exemplo 4 : Cálculo do volume de um cilindro a partir do valor do diâmetro e da altura do cilindro e da incerteza do volume. h D e nAS=4

31 31 h D Substituindo os valores na expressão acima obtemos nAS=4

32 32 3 Representação gráfica 3.1 Regras básicas para construir gráficos

33 33 Exemplo do que não se deve fazer num gráfico

34 Barras de erro A barra de erro tem por amplitude o valor do desvio padrão amostral. Quando olhamos para um gráfico com barras de erro conseguimos visualizar a dispersão dos valores. Por exemplo, para a primeira altura, h = 0.5m, os valores cronometrados variaram aproximadamente entre 0.28 e 0.36 s, com um valor medio a 0.32 s.

35 Linearização de gráficos


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