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Aula - Probabilidade Dejahyr Lopes Junior Curso de Matemática.

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1 Aula - Probabilidade Dejahyr Lopes Junior Curso de Matemática

2 Aspectos Gerais de Probabilidades Após a apuração, apresentação e descrição dos dados obtidos em investigações, o pesquisador busca estender suas observações e conclusões além dos elementos estudados em sua amostra, ou seja, busca fazer inferência. Para fazer inferência estatística usam-se técnicas e conhecimentos de probabilidade..

3 Probabilidade é um afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de 0 a 1, ou 0% a 100%. Definição de Probabilidade

4 Experimento Probabilístico – É a ação ou um ensaio por meio do qual resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. Resultado – É a consequência de um único ensaio em um experimento probabilístico (ponto amostral). É o resultado de uma única tentativa. Espaço Amostral – É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico. Evento – Consiste em um ou mais resultados e é um subconjunto do espaço amostral. Definições importantes

5 Exemplo simples do uso dos termos mencionados Experimento Probabilístico – Jogar um dado de seis faces. Resultado – Jogar um 2, {2}. Espaço Amostral – {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Evento –Jogar um número par {2, 4, 6}.

6 Outro Exemplo para clarear a definição de espaço amostral Dois dados são jogados. Descreva o espaço amostral. 1 a jogada 36 resultados 2 a jogada Início

7 Clássica (resultados igualmente prováveis) Definição número de resultados em E número total de resultados no espaço amostral P(E)= Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos. 1.Evento A: obter um 3. 2.Evento B: obter um 7. 3.Evento C: obter um número menor do que 5. 1/6 0/6=0 4/6

8 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Detemine a probabilidade de que a soma seja 4. Determine a probabilidade de que a soma seja 11. Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou Dois dados são jogados e sua soma é anotada. Espaço amostral e probabilidades 3/36 = 1/12 = 0,083 2/36 = 1/18 = 0,056 (3+2)/36 = 0,139

9 Eventos complementares O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E. 02. A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais são defeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso, determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso. Solução: P (defeituoso) = 5/12 P (não defeituoso) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,583 P(E´ ) = 1 – P(E)

10 A probabilidade de um evento B ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento A já ocorreu. 03. Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidade de o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeiro carro era defeituoso? Escrevemos essa situação como P(B|A) e lemos a probabilidade de B, dado A. Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaço amostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11. Logo, P(B|A) = 4/11. Probabilidade condicional

11 Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4. Espaço amostral original : {1, 2, 3, 4, 5, 6} Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostral condicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Logo, a probabilidade condicional, P(B|A) = 1/6 Eventos independentes

12 Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A. A = tomar uma aspirina por dia. B = ter um ataque do coração. A = ser mulher. B = ter menos de 1,62 m. Dois eventos que não são independentes são dependentes. A = ser mulher. B = ter sangue tipo O. A = 1 o filho ser menino. B = 2 o filho ser menino. Eventos independentes

13 Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B) Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso. A = o primeiro carro é defeituoso. B = o segundo carro é defeituoso. A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes. Dois dados são lançados. A = sair 4 no primeiro e B = sair 4 no segundo. P(B) = 1/6 e P(B|A) = 1/6. Os eventos são independentes. Recapitulando Probabilidade condicional Probabilidade

14 Compare A e B a A ou B O evento composto A e B significa que tanto A quanto B ocorreram na mesma tentativa. Para definir P(A e B), usa-se a Regra da Multiplicação. O evento composto A ou B significa que A pode ocorrer sem B, assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. Para definir P(A ou B), usa-se a Regra da Adição. A e B A B A B A ou B A B mutuamente exclusivos não mutuamente exclusivos

15 Eventos não mutuamente exclusivos Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos. A = ter menos de 25 anos. B = ser um advogado. A = ter nascido na Filadélfia. B = ver West wing na TV. Sem exclusão mútua P(A e B) 0 A B A e B

16 A Regra da Adição A probabilidade de que um ou outro dos dois eventos ocorram é: P(A) + P(B) – P(A e B) 04. Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de ser um rei ou ser de naipe vermelho. A = a carta é um rei. B = a carta é vermelha. P(A) = 4/52 e P(B) = 26/52 mas P(A e B) = 2/52 P(A ou B) = 4/ /52 – 2/52 = 28/52 = 0,538

17 A Regra da Adição 05. Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de a carta ser um rei ou um 10. A = a carta é um rei. B = a carta é um 10. P(A) = 4/52 e P(B) = 4/52 e P(A e B) = 0/52 P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0/52 = 8/52 = 0,153 Quando os eventos são mutuamente exclusivos, P(A ou B) = P(A) + P(B)

18 Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir. 1. P(Ribeirão e sim) 2. P(São José e Ribeirão) 3. P(Ribeirão ou sim) 4. P(Ribeirão ou São José) CampinasSão JoséRibeirãoTotal Sim Não Não sabe Total Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine: Tabela de contingência

19 1. P(Ribeirão e sim) 2. P(Ribeirão e São José) = (150/250). (250/1.000) = 150/1.000 = 0,15 = 0= 0 CampinasSão JoséRibeirãoTotal Sim Não Não sabe Total Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:

20 Tabela de contingência CampinasSão JoséRibeirãoTotal Sim Não Não sabe Total P(Ribeirão ou sim) 4. P(Ribeirão ou São José) 250/ /1.000 – 0/1.000 = 700/1.000 = 0,7 250/ /1.000 – 150/1.000 = 500/1.000 = 0,5

21 Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) Some as probabilidades simples; para evitar contagem dupla, não se esqueça de subtrair a probabilidade de que ambos ocorram. Para eventos complementares P(E ') = 1 – P(E) Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro. Probabilidade de que ambos os eventos ocorram P(A e B) = P(A) P(B|A) Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu. Resumo


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