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AnáliseCombinatória Professor DEJAHYR LOPES JUNIOR.

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Apresentação em tema: "AnáliseCombinatória Professor DEJAHYR LOPES JUNIOR."— Transcrição da apresentação:

1 AnáliseCombinatória Professor DEJAHYR LOPES JUNIOR

2 Introdução: Dados dois conjuntos A = {a 1, a 2,..., a m } e B = {b 1, b 2, b 3,..., b n }, o total de pares distintos (a i, b j ) que podemos formar com os elementos dos dois conjuntos é igual a: n.m a1a1 b1b1 b2b2 b3b3 b n a2a2 b1b1 b2b2 b3b3 amam b1b1 b2b2 b3b n pares n + n + n n (m vezes) = n.m

3 Exemplos 1) Para revestir o piso e a parede de um banheiro um arquiteto pode escolher entre 6 tipos de pisos e 9 tipos de azulejos. Se um tipo de piso pode ser usado com qualquer tipo de azulejo, de quantas maneiras o arquiteto pode combinar o par para revestir o banheiro? Piso = {P 1, P 2, P 3,..., P 6 } Azulejos = {A 1, A 2, A 3,..., A 9 } n P = 6 n A = 9 n pares = 6 9 n pares = 54

4 2) Se você vai a um restaurante que oferece 10 pratos diferentes e 6 sucos diferentes, de quantas maneiras você pode fazer uma refeição se você pode tomar ou não suco? Pratos = {P 1, P 2, P 3,..., P 10 }n P = 10 Sucos = {N 1, N 2, N 3,..., N 6 }n S = 6 Se você optar por não tomar o suco: n o de refeições = 10 Se você optar por tomar o suco: n o de refeições = 10 6 = 60 Total = = 70 ou

5 Tipos de agrupamentos: Arranjos: Importa a ordem dos elementos Permutação: Importa a ordem dos elementos Combinações: Não importa a ordem dos elementos Podemos analisar a partir do PFC

6 Exemplos Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos distintos podem ser formados? Como não é possível repetir algarismos, temos: 65 = 30 números Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos podem ser formados? Agora pode repetir algarismos: 66= 36 números São exemplos de arranjos, o primeiro sem repetição (simples) e o segundo com repetição

7 Sair Entrar Outro exemplo: A frente de um prédio tem 10 portas de entrada. Se uma pessoa, ao entrar no prédio, nunca usa a mesma porta para sair, de quantas maneiras distintas ela pode entrar e sair do prédio? 10 9= 90 x M a

8 Se a pessoa entrar e sair por qualquer porta: M a 10 x = 100

9 Princípio Fundamental da Contagem Considerando os conjuntos: A = {a 1, a 2, a 3,..., a m } B = {b 1, b 2, b 3,..., b n } C = {c 1, c 2, c 3,..., c p } X = {x 1, x 2, x 3,..., x u } O total de agrupamentos possíveis do tipo (a i, b j, c k,..., x t } Total = m n p... t

10 Exemplo De quantas maneiras diferentes uma moça poderá escolher uma saia, uma blusa, um par de meias e um par de sapatos se ela tem 6 saias, 4 blusas, 2 pares de sapatos e 5 pares de meias? SaiaBlusaSapatosMeias 6x4x25x= 240

11 Se for possível repetir elementos no agrupamento formado, teremos: p casas nnnn Total = n n n... n = npnp

12 Exemplo Calcular quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, xxx= casas Quem está aqui! Não pode estar aqui!

13 E se fosse possível repetir algarismos? 6666xxx= 1296 Quem está aqui! Pode estar aqui! 4 casas

14 Calcular quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, xxx 5 casas 2x= 720 Calcular quantos números de 6 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, xxx 6 casas 2x= 7201x 6 fatorial = 6! = 6x5x4x3x2x1

15 Arranjos ou Arranjos Simples Vamos considerar o exemplo: Dado um conjunto de 5 pessoas e vamos escolher 3 delas para formarmos uma diretoria. A primeira escolhida será presidente, a segunda vice e a terceira secretária. De quantas formas isso poderá ser feito? Pessoas = {a, b, c, d, e} abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba abe aeb bae bea eab eba acd adc cad cda dac dca ace aec cae cea eac eca ade aed dae dea ead eda bcd bdc cbd cdb dbc dcb bce bec cbe ceb ebc ecb bde bed dbe deb ebd edb cde ced dce dec ecd edc

16 abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba abe aeb bae bea eab eba acd adc cad cda dac dca ace aec cae cea eac eca ade aed dae dea ead eda bcd bdc cbd cdb dbc dcb bce bec cbe ceb ebc ecb bde bed dbe deb ebd edb cde ced dce dec ecd edc abc abd Porque tem elementos diferentes (c d) Isso é chamado de diferença na natureza dos elementos. abc acb Porque os elementos ocupam posições diferentes; b é vice em abc e secretária em acb e c é exatamente o contrário. Isso é chamado de diferença na ordem dos elementos.

17 Logo, para reconhecer se os agrupamentos formados são arranjos ou não, é só escrever um deles e mudar a ordem de elementos distintos que o compõe. Se o novo agrupamento obtido for diferente do anterior, temos ARRANJOS, se o agrupamento obtido for igual ao escrito, não temos ARRANJOS. Arranjos são agrupamentos que diferem entre si na ordem ou na natureza de seus elementos. No caso anterior, como tiramos de um conjunto de 5 elementos 3 deles para compor uma diretoria, temos Arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3. A 5,3 Simboliza Arranjo. Quantidade de elementos do conjunto dado. Quantidade de elementos agrupados. = 60 Total de possíveis diretorias a serem formadas.

18 Vamos considerar alguns exemplos Quantos números pares formados por 4 algarismos distintos podem ser feitos usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? O conjunto do qual tiraremos os elementos tem 7 termos(n = 7) Usaremos 4 deles, ou seja teremos 4 casas para serem preenchidas. Devemos sempre preencher a casa condicionada Par x5x4x3 = 360 Ou pela fórmula do Arranjo: Assim: = 360

19 Considerando que as placas de um carro tem 3 letras e 4 algarismos e que as letras são retiradas de um alfabeto que tem 26 letras distintas, determinar quantas placas existem formadas por letras distintas e algarismos distintos x25x24x10x9x8x7 = Se for possível repetir letras ou algarismos será possível emplacar veículos auto-motores. Vocês já imaginaram quantos veículos auto-motores tem no Brasil?

20 03) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 quantos números com algarismos distintos existem de 1 até 1000? De 1 até 1000 temos números com 1 algarismo, ou 2 3. Com 1 algarismo: 9 Com 2 algarismo: 98x= 72 Com 3 algarismo: 98x7x= 504 Total = = 585

21 04. Uma pessoa esqueceu sua senha bancária de 6 dígitos, porém, lembra que os dois primeiros dígitos são letras distintas e vogais e os quatro últimos são algarismos pares. Quantas tentativas ela terá que fazer, no máximo, se for possível, para acertar a senha? LetrasAlgarismos x xxx5x 5 Total = 12500

22 Permutações Simples Permutações são agrupamentos feitos com todos os elementos de um conjunto dado sendo que cada agrupamento difere dos demais apenas pela ordem de seus elementos. Dado um conjunto com n elementos vamos fazer todos os arranjos possíveis com n elementos n(n – 1) (n – 2) 321 n casas

23 Na figura temos 4 meninos e uma menina prontos para entrarem no clubinho dos meninos. Logicamente é um dia atípico, visto que a entrada de meninas é proibida, principalmente sendo a Mônica. Mas vão entrar. Se Jeremias é um perfeito cavalheiro e só entra após a Mônica, de quantas maneiras diferentes os cinco podem entrar no clubinho. (Revista Mônica N o 186 – Editora Globo)

24 Calcular a quantidade de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra BRASIL. Brasil tem 6 letras diferentese todas serão usadas 6x5x4x3x2x1 P 6 = 6! = 720 De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem fazer uma fila indiana se duas delas (A e B) pretendem ficar uma ao lado da outra? Consideramos as duas pessoas (A e B) como uma só. Pode ser B e A = 5! = 2402x

25 05. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1, 3, 4, 5 e 8, qual é o lugar ocupado pelo número 54831? Vamos procurar quantos são os números menores do que P 4 = 4! = 24 P 3 = 3! = 6 P 2 = 2! = 2 P 1 = 1! = 1 Total: 89 menores. Lugar ocupado 90 o

26 ! O preenchimento das casas, apresentado nos exemplos anteriores, é um bom método. Devemos lembrar que o seu uso implica em obter agrupamentos diferentes quando mudamos a ordem dos elementos do agrupamento. Observações Como vimos: 0! = 1, 1! = 1 Lembremos como simplificar frações envolvendo fatorial 12! 8! = = Desenvolvemos o maior fatorial até chegar no menor e simplificamos.

27 Vamos considerar o exemplo: Dado um conjunto de 5 pessoas, vamos escolher 3 delas para formarmos uma comissão. Pessoas = {a, b, c, d, e} abcabd abe acd ace ade bcdbcebdecde Combinações Simples ou Combinações Se mudarmos os elementos de lugar nos agrupamentos, os mesmos não mudam. A comissão abc é a mesma acb. abc = bacA ordem não muda o agrupamento. abc abd Os agrupamentos são diferentes na natureza dos elementos.

28 Como calcular o total de combinações simples? Vamos considerar o exemplo de cálculo de arranjo de 5 tomados 3 a 3. abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba abe aeb bae bea eab eba acd adc cad cda dac dca ace aec cae cea eac eca ade aed dae dea ead eda bcd bdc cbd cdb dbc dcb bce bec cbe ceb ebc ecb bde bed dbe deb ebd edb cde ced dce dec ecd edc Vamos observar que de cada coluna aproveitamos apenas uma combinação. 6 = 3! Número de casas fatorial

29 Combinações são agrupamentos que diferem entre si apenas na natureza de seus elementos. Na formação das comissões tínhamos 5 elementos no conjunto e escolhemos apenas 3. C 5,3 5x4x3 3! = = 10 = 5! (5 – 3)!.3! Quantidade de elementos agrupados. Quantidade de elementos do conjunto dado. Total de possíveis comissões a serem formadas. = 5.4.3! 2!3! = 10

30 06. Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem misturas explosivas. 6 serão misturadas Perigo Não usando!!! Não usando uma e usando a outra!!! Trocando as duas incompatíveis!!! = 140

31 Permutação com repetição Partindo do exemplo: calcular o total de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra PIRACICABA. A palavra tem 10 letras. Se todas fossem diferentes a quantidade de anagramas seria igual a 10! = = A letra A aparece 3 vezes. Mudando o A de lugar com ele mesmo, obtém-se 6 palavras (3!) das quais aproveita-se uma. A letra I aparece 2 vezes, logo, mudando de lugar o I com ele obtém-se 2 palavras (2!) e aproveita-se apenas uma, o mesmo ocorre (2) com a letra C. = ! 3!2! = = Para calcular a permutação de n elementos com repetição de um deles vezes, outro vezes, outro vezes e assim sucessivamente, até um vezes tem-se a fórmula:

32 De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 9 cartas distintas de um baralho em 3 montinhos distintos? Grupo 1Grupo 2Grupo 3 3! x x = 280 Mudando um grupo de lugar com outro não acarreta mudança na distribuição.

33 Permutação Circular De quantas maneiras diferentes n pessoas podem se colocar em uma fila circular? P n = (n – 1)!

34 Arranjos Completos Tratando-se de arranjos completos podemos ter elementos repetidos nos agrupamentos. Exemplo: Não existe restrição para numerar uma placa de veículos auto motores. A placa é formada por 3letras de um alfabeto de 26 letras e quatro algarismos escolhidos de zero a nove (10 algarismos). 3 Letras4 Algarismos 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = Placas

35 Combinações Completas Tratando-se de combinações completas podemos ter elementos repetidos nos agrupamentos. As Combinações Completas são pouco usadas nos diversos problemas que temos visto ao longo dos nossos estudos. Ex.: De quantas maneira podemos guardar 7 bombons em uma caixa, sabendo-se que dispomos de 4 sabores diferentes?


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