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Professor Dejahyr - CSDB Números Complexos 2ª Parte Professor Dejahyr.

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1 professor Dejahyr - CSDB Números Complexos 2ª Parte Professor Dejahyr

2 professor Dejahyr - CSDB Potências de i Potências de i Se, por definição, temos que i = -1, então: Se, por definição, temos que i = -1, então: i 0 = 1 i 1 = i i 2 = -1 i 3 = i 2.i = -1.i = -i i 0 = 1 i 1 = i i 2 = -1 i 3 = i 2.i = -1.i = -i i 4 = i 2.i 2 = -1.-1=1 i 5 = i 4.1= 1.i = i i 6 = i 5.i = i.i = i 2 = -1 i 7 = i 6.i = (-1).i = -i i 4 = i 2.i 2 = -1.-1=1 i 5 = i 4.1= 1.i = i i 6 = i 5.i = i.i = i 2 = -1 i 7 = i 6.i = (-1).i = -i Soma = 0

3 professor Dejahyr - CSDB Observamos que no desenvolvimento de i n (n pertencente a N, de modo que os valores se repetem de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos i n basta calcularmos i r onde r é o resto da divisão de n por 4. Observamos que no desenvolvimento de i n (n pertencente a N, de modo que os valores se repetem de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos i n basta calcularmos i r onde r é o resto da divisão de n por 4. Exemplo: i / 4 dá resto 3, logo i 63 = i 3 = -i

4 professor Dejahyr - CSDB 02. Obtenha a) i i i i 1008 = i 3 + i 1 + i 2 + i 0 = i 3 + i 1 + i 2 + i 0 = - i + i – = 0 - i + i – = 0b) 12 parcelas têm soma zero

5 professor Dejahyr - CSDB Módulo de um número complexo Dado z = a+bi, chama-se módulo de z | z | = (a 2 + b 2 ), conhecido como ρ Módulo de um número complexo Dado z = a+bi, chama-se módulo de z | z | = (a 2 + b 2 ), conhecido como ρ Interpretação geométrica Como dissemos anteriormente, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira Interpretação geométrica Como dissemos anteriormente, a interpretação geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

6 professor Dejahyr - CSDB Forma Geométrica

7 professor Dejahyr - CSDB

8 Da interpretação geométrica, temos que: que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo. z = ρ.(cos ө + i. sen ө)

9 professor Dejahyr - CSDB Exemplo: Considere o número complexo z = i e calcule: a)Módulo de z: b) O argumento principal de z:

10 professor Dejahyr - CSDB c) A forma trigonométrica: z = ρ.(cos ө + i. sen ө) z = 6.( cos150º + i.sen 150º)

11 professor Dejahyr - CSDB Possibilidades de se trabalhar com números complexos: Forma algébrica Afixo Forma geométrica Forma trigonométrica

12 professor Dejahyr - CSDB Operações na forma trigonométrica a) Multiplicação b) Divisão

13 professor Dejahyr - CSDB Potenciação Radiciação

14 professor Dejahyr - CSDB Exercícios Resolvidos 01 - Sejam os complexos z 1 = (2x+1) + yi e z 2 = -y + 2i Determine x e y de modo que z 1 + z 2 = 0 Temos que: z 1 + z 2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0 logo, é preciso que: 2x y =0 e y + 2 = 0 Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

15 professor Dejahyr - CSDB 02 - Determine x, de modo que z = (x+2i).(1+i) seja imaginário puro Efetuando a multiplicação, temos que: z = x + (x+2)i + 2i 2 z = (x-2) + (x+2)i Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x = 2

16 professor Dejahyr - CSDB 03 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)? Efetuando a divisão, temos que: z = (2+ i) / (7-3i). (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58 O conjugado de Z seria, então

17 professor Dejahyr - CSDB 04 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i Efetuando-se a divisão, temos: z = [(1+i). -i] / -i 2 = (-i –i 2 ) = 1 - i Para a forma trigonométrica, temos que: z = 2.( cos 315º + i sen 315º ) x y 1 ө = 315º


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