A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Edward HermannLógica e Computação 1 Definibilidade em Lógica (I) Fórmulas sobre LEstruturas para L Uma linguagem não-lógica L Mod( ) Mod => 1- Um conjunto.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Edward HermannLógica e Computação 1 Definibilidade em Lógica (I) Fórmulas sobre LEstruturas para L Uma linguagem não-lógica L Mod( ) Mod => 1- Um conjunto."— Transcrição da apresentação:

1 Edward HermannLógica e Computação 1 Definibilidade em Lógica (I) Fórmulas sobre LEstruturas para L Uma linguagem não-lógica L Mod( ) Mod => 1- Um conjunto de fórmulas define uma classe de estruturas 2- Axiomatização de uma Classe de estruturas

2 Edward HermannLógica e Computação 2 Questões Naturais : 1- Todo conjunto de fórmulas (sobre L) define uma classe de estruturas ?? 2 - Qual o conjunto de fórmulas que define a classe de todas as estruturas para uma linguagem L ? 3- Toda classe de estruturas é definível por um conjunto de fórmulas, ou seja todas as classes de estruturas são elementares ?? 4- Toda classe de estruturas é definível por uma única fórmula ?? => Existem classes não elementares

3 Edward HermannLógica e Computação 3 Teorema da Completude: |= se e somente se |- Teorema da Compacidade: é finitamente satisfatível sss é satisfatível finitamente satisfatível = Para todo finito com tem-se sat. => A Classe das estruturas (para L fixa) infinitas não é definível por nenhuma fórmula. (isto é, não é elementar) => A Classe das estruturas (para L fixa) finitas não é definível por nenhum conjunto de fórmulas

4 Edward HermannLógica e Computação 4 Definibilidade em Lógica (I) Estrutura S Fórmulas para L S Para cada estrutura S tem-se a linguagem L S da estrutura Th(S) Th Cn 1- Definibilidade de uma estrutura !!!! 2- Axiomatização da Teoria de uma Estrutura

5 Edward HermannLógica e Computação 5 Q Definibilidade em Lógica (I) Homomorfismo de Estruturas S1 S2 h PPhPh s h(s) f(a,b) a b h(a) h(b) h(f(a,b)) |S1| f P |S2| g Q h = f h (h(a),h(b)) = g(h(a),h(b)) fhfh PhPh

6 Edward HermannLógica e Computação 6 Subestruturas e Extensões Def. Sejam S1 e S2 duas estruturas tais que a função de inclusão S1 S2 é um homomorfismo. Diz-se que S1 é subestrutura de S2, e que S2 é uma extensão de S1. Def. Sejam S1 e S2 duas estruturas e h: S1 S2 um homomorfimo bijetivo (injetivo e sobrejetivo), então h é dito ser um isomorfimo de estruturas e S1 é dita ser isomorfa a S2 (S1 S2) => Estruturas isomorfas satisfazem as mesmas fórmulas ??? => Estruturas que satisfazem as mesmas fórmulas são isomorfas ??? Definibilidade em Lógica (I)

7 Edward HermannLógica e Computação 7 Definibilidade em Lógica (I) Teorema do homomorfimo: Seja h homomorfismo de S1 em S2 (estruturas para L) Vars|S1| |S2| h h |= P(t1,...,tn) |= P(t1,...,tn) P S1 P S2 sss 1. Se não possui quantificadores nem a igualdade. |= |= sss 2. Se não possui quantificadores mas sim a igualdade e h é um homomorfismo injetivo t1=t2 S1 S2 a b h(a)=h(b) 3. Se possui quantificadores e mas não a igualdade e h é um homomorfismo sobrejetivo xx h(|S1|) S1 S2 c

8 Edward HermannLógica e Computação 8 Definibilidade em Lógica (II) Definibilidade em uma estrutura: (x1,...,xn) uma fórmula na linguagem da estrutura S (x1,...,xn) define uma relação n-ária (um subconjunto de S n ) [[ (x1,...,xn) ]] = { / ai |S| e |= (x1,...,xn) } Exemplos: 1. Em : [[ y(suc(y)=x)]]={0}, [[ z ( y(suc(y)=z) (suc(z)=x)]]={1} e [[suc(suc(x1)=x2)]]={ / a1+2=a2 e a1,a2 N} 2. Em : [[ y(+(y,x)=y]]={0}, [[ y( (y, y)=x)]]={r / r R e r 0}, [[ y((x1+y=x2) (+(y,y) y))]]={ / r1

9 Edward HermannLógica e Computação 9 Homomorfismo e Definibilidade Definibilidade em Lógica (II) Def. Um Automorfismo é um isomorfismo (homomorfismo bijetivo) de uma estrutura nela mesma. Corolário: Seja S uma estrutura e h:S S um automorfismo, então A S n é definível, se e somente se, h(A) S n é definível. ==> O Corolário acima é uma boa ferramenta para mostrar que algumas relações/conjuntos não são definíveis. Exemplos: 1- Na estrutura nenhum conjunto diferente do vazio e do N é definível (em particular o número zero não é definível). Qualquer função bijetiva é um automorfismo em N. 2- Em a adição não é definível, pois o a função: f(3)=2, f(2)=3 e f(x)=x caso contrário, é um automorfismo em que não preserva a adição.

10 Edward HermannLógica e Computação 10 Definibilidade em Lógica (II) Relações de extensibilidade própria entre estruturas sobre N.


Carregar ppt "Edward HermannLógica e Computação 1 Definibilidade em Lógica (I) Fórmulas sobre LEstruturas para L Uma linguagem não-lógica L Mod( ) Mod => 1- Um conjunto."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google