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2008.11 Soluções Numéricas de Sistemas Não Lineares Método Iterativo Linear.

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Apresentação em tema: "2008.11 Soluções Numéricas de Sistemas Não Lineares Método Iterativo Linear."— Transcrição da apresentação:

1 Soluções Numéricas de Sistemas Não Lineares Método Iterativo Linear

2 Diversas Equações Nos tópicos de solução de equações, aprendemos resolver a equação: f(x) = 0 Em diversas situações, precisamos resolver problemas onde mais de uma variável e mais de uma equação estão interligadas:

3 Sistema 2x2 Consideremos o caso de duas variáveis e duas incógnitas:

4 Método Iterativo Linear (Analogia com caso de uma variável) Para o caso de uma variável queríamos: f(x) = 0 Reescrevíamos na forma: x = ψ(x) E obtínhamos o seguinte processo iterativo:

5 Método Iterativo Linear (Analogia com caso de uma variável) Para o caso de uma duas variáveis queremos: Reescrevemos na forma: :

6 MIL para Sistemas Não Lineares (Convergência) Condições suficientes (mas não necessárias) para convergência: a) F,G e suas derivadas parciais de primeira ordem são contínuas numa vizinhança V da raiz (x,y) b) As seguintes desigualdades são satisfeitas: |Fx| + |Gx| k 1 < 1 |Fy| + |Gy| k 2 < 1 para todo ponto (x,y) pertencente à vizinhança V. c) (x 0,y 0 ) pertence à V.

7 MIL para Sistemas Não Lineares (Exemplo) Exemplo: Podemos reescrever este sistema na forma:

8 MIL para Sistemas Não Lineares (Cont.) F e G satisfazem as condições de convergência ? Tomemos por exemplo o ponto (x 0,y 0 ) = (0.9,1.1) Em (0.9,1.1): |Fx| + |Fy| = 0.76 < 1 |Gx| + |Gy| = < 1 Se (x 0, y 0 ) está na vizinhança de uma raiz, então a condição c) está garantida

9 MIL para Sistemas Não Lineares (Cont.) Exemplo Convergindo para (1,1) - que é raiz do sistema.

10 Referências Ruggiero, M. A. G., Lopes, V. L. R., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, Pearson/Markron Books, 2a. Edição, Cláudio, D. M. e Martins, J. M., Cálculo Numérico Computacional, Ed. Atlas, Barroso, L, Barroso, M.M.A., Campos Filho, F. F., Cálculo Numérico com Aplicações, Ed. Harbra, 1987.


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