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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Curso de Licenciatura em Matemática à Distância A irracionalidade das raízes inexatas.

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Apresentação em tema: "UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Curso de Licenciatura em Matemática à Distância A irracionalidade das raízes inexatas."— Transcrição da apresentação:

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Curso de Licenciatura em Matemática à Distância A irracionalidade das raízes inexatas

2 Analisando um caso particular... √2 é irracional? Suponhamos que √2 fosse racional, então teríamos p, q Є Z com mdc (p,q) = 1 tais que √2 = p/q (definição de número racional).

3 Daí: √2= p/q ↔ 2 = p 2 / q 2 ↔ 2q 2 =p 2 Isso mostra que p 2 é par. Então p é par.

4 Digamos p = 2k, com K Є Z. Substituindo na equação anterior ( p 2 =2q 2 ) temos: (2k) 2 = 2q 2 ↔ 4k 2 = 2q 2 ↔ q 2 = 2k 2 Mas então p e q são ambos divisíveis por 2. Absurdo!!! Pois mdc (p,q) = 1. Isso mostra que q 2 é par, então q é par.

5 Portanto √2 não é racional. Logo é irracional.

6 Será que qualquer raiz inexata é um número irracional?

7 Esta demonstração é similar à anterior. Analisando √p onde p é número primo e p>1... Se √p fosse racional, teríamos √p = m/n, com m e n primos entre si. Então: √p= m/n ↔ p = m 2 / n 2 ↔ pn 2 =m 2

8 Isso mostra que m 2 é divisível por p. Logo, m também é divisível por p, ou seja, m=rp. (r Є Z) Daí: p 2 r 2 = pn 2 ↔ pr 2 = n 2 Significando que n também é divisível por p. O que é absurdo, pois m e n seriam ambos divisíveis por p e desta forma, m/n não seria fração irredutível.

9 Portanto, √p não é racional. Logo, é irracional.

10 Como todo número inteiro tem sua fatoração em números primos concluímos que toda raiz quadrada inexata é um número irracional. Podemos continuar o raciocínio para provar que toda raiz inexata é irracional.

11 Exemplos: a)√18 = √3 2.2 = √3 2.√2 = 3√2 b)√50 = √5 2.2 = √5 2. √2 = 5 √2 c)√21 = √7.3 = √7. √3 d)Raiz cúbica de 2 e)Raiz quinta de 7


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