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O gradiente de uma função f(x 1, x 2,..., x n ), denotado por  f(x 1, x 2,..., x n ), é um vetor de derivadas parciais da função f(.) :  f(x 1, x 2,...,

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Apresentação em tema: "O gradiente de uma função f(x 1, x 2,..., x n ), denotado por  f(x 1, x 2,..., x n ), é um vetor de derivadas parciais da função f(.) :  f(x 1, x 2,...,"— Transcrição da apresentação:

1 O gradiente de uma função f(x 1, x 2,..., x n ), denotado por  f(x 1, x 2,..., x n ), é um vetor de derivadas parciais da função f(.) :  f(x 1, x 2,..., x n ) = (  f/  x 1,  f/  x 2,...,  f/  x n ) Dado um ponto x k, a direção dada pelo vetor gradiente  f(x k ) é a direção de maior crescimento em torno deste ponto. x k+1 = x k + α.  f(x k ) O vetor gradiente é perpendicular às curvas de nível da função Cálculo da Direção de Caminhada: Gradiente de f(x) 5-13

2 θ  f(x) xx Curva de nível xkxk Qualquer direção  x é uma direção de crescimento sempre que o seu ângulo (θ) em relação ao vetor gradiente é menor do que 90°. Se θ > 90° então  x é uma direção de decrescimento. A direção -  f(x) é a direção de máximo decrescimento neste ponto. Cálculo da Direção de Caminhada: Direção de crescimento e de decrescimento 5-14

3 Cálculo da Direção de Caminhada: Teste sobre a Direção de Caminhada Seja uma função objetivo f(x) e seja x k uma solução. Então uma nova solução dada por x k+1 = x k +  x causa uma variação na função objetivo de aproximadamente:  f   j (  f/  x j )(λ  x j )  λ (  f(x).  x ) (Produto escalar) Se  f(x).  x > 0, então  x é uma direção de crescimento. Caso contrário  x é uma direção de decrescimento. É possível mostrar que :  f(x).  x =  f(x) .  x .cos θ (1) onde  f(x)  é a norma do gradiente. Supondo  f(x) e  x normalizados, então  f(x)  =  x  = 1. Portanto, (1) fica  f(x).  x =cos θ, que tem o valor máximo para θ = 0 °. Ou seja, o máximo crescimento é quando  x =  f(x) 5-15

4 Busca Unidimensional Quanto Caminhar na direção  x? Nova solução : x k+1 = x k + α  x α ? Como a busca é sobre uma única direção, então diz-se que esta é uma busca unidimensional. O valor de α é tal que o valor da função objetivo seja o melhor possível nesta direção. 5-16

5 A busca unidimensional é equivalente a um problema de uma única variável : –Seja o problema : minimizar f(x) =( x 1 ) (x 2 ) 2 + x 1 x 2 - 6x 1 -10x 2, a partir do ponto x k =( 1, 2) T e na direção d k = ( 1, 2) T. Então teremos : x k+1 = x k + α d k = (1, 2 ) T + α (1, 2 ) T = (1+ α, 2+ 2) T (I) Substituindo (I) em f(x), teremos : f(α)= 11(α) 2 - 4α - 15 f(x) agora é função só de α Busca Unidimensional : –Determinar o valor α* que minimiza f(α). Busca Unidimensional 5-17

6 α f(α) α*=4/22 Mínimo de f(α)  f(α)/  α = 0 22 α - 4 = 0 Busca Unidimensional α * = 4/

7 Uma função objetivo f(x) é unimodal se, para quaisquer dois pontos x 1 e x 2 tais que f(x 1 ) < f(x 2 ),  x=(x 1 - x 2 ) é uma direção de crescimento. Uma função objetivo linear é sempre unimodal. Se a função objetivo de um problema de otimização é unimodal, então todo ótimo local irrestrito é também um ótimo global. Observação 1 : Função Unimodal 5-19

8 Observação 2 : Função Unimodal, Conjunto Convexo e Ótimo Global Um CSF é dito convexo se para quaisquer duas soluções factíveis x 1 e x 2 o segmento de reta que une estes dois pontos também pertence ao CSF. O segmento de reta que une os pontos x 1 e x 2 é dado por x = x 1 +λ(x 1 - x 2 ), 0  λ  1. Se todas as restrições de um problema de otimização são lineares, então o CSF é um conjunto convexo. Se a função objetivo de um problema de otimização é unimodal e o CSF é um conjunto convexo, então todo ótimo local é também ótimo global 5-20

9 Obs.3 : Direção de Caminhada em problemas com restrições: Restrições Ativas e Folgadas Em problemas com restrições uma direção de melhoria pode ser infactível. Restrições ativas e restrições folgadas: Supondo que as restrições de um dado problema são constituídas somente das restrições de desigualdade, então, se para uma dada solução factível todas as restrições são satisfeitas na desigualdade, então todas as restrições são ditas folgadas. Caso contrário, se alguma restrição for satisfeita na igualdade, então diz-se que esta restrições é ativa. 5-21

10 Obs.3 : Direção de Caminhada em problemas com restrições: Restrições Ativas e Folgadas A figura a seguir mostra alguns pontos sobre a região factível do problema da RECAP. No ponto x (1) uma restrição está ativa; no ponto x (2) todas estão folgadas; e nos pontos x (3) e x (4) há duas restrições ativas. 5-22

11 Direção de Caminhada em problemas com restrições A direção  x é uma direção factível em problemas com restrições restrições lineares se satisfaz as seguintes condições: i) Para restrições do tipo  j a j x j  b deve-se ter  j a j  x j  0. ii) Para restrições do tipo  j a j x j  b deve-se ter  j a j  x j  0. iii) Para restrições do tipo  j a j x j = b deve-se ter  j a j  x j =


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