A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova Direta e Prova por contrapositivo.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova Direta e Prova por contrapositivo."— Transcrição da apresentação:

1 1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova Direta e Prova por contrapositivo

2 2 Demonstração de Teoremas – Ex1  Teorema: Sejam a,b ∈ R. Se 0 ≤ a < b então a 2 < b 2  O que queremos provar é: ∀ a,b ∈ R. 0≤a

3 3 Receita de bolo  Para demonstrar um teorema:  Entenda o enunciado, identifique as hipóteses e a conclusão  Expresse o teorema como uma fórmula da Lógica de Predicados  Construa a prova passo a passo, tendo como base as regras de Dedução Natural que vimos anteriormente.

4 4 Demonstração de Teoremas  Teorema: Sejam a,b ∈ R. Se 0 ≤ a < b então a 2 < b 2 Prova: Sejam a e b números reais arbitrários e suponha 0≤a

5 5 OBSERVAÇÃO  Teorema: Sejam a,b ∈ R. Se 0 ≤ a < b então a 2 < b 2 Note que 0 ≤ 5 < 7 ➝ 5 2 < 7 2 é uma instância do teorema acima. Provar que uma ou várias instâncias são verdadeiras não significa ter provado o teorema!

6 6 Exercício  Teorema: Sejam x,y ∈ R tais que x>3 e y 5.  Quais são as hipóteses e a conclusão do teorema?  Apresente algumas instâncias do terorema  Construa uma prova para esse teorema.

7 Conjectura – Verdadeira ou Falsa?  Conjectura: Sejam x,y ∈ R tais que x>3. Então x 2 – 2y > 5.  A conjectura é falsa ou verdadeira?  Apresente um contra-exemplo que mostra que essa conjectura é falsa. x = 4, y = 6 pois então temos 4 2 – 2.6 = 2 < 5 7

8 8 Não se esqueça  Para mostrar que uma conjectura é verdadeira (é um teorema) devemos construir uma prova da mesma.  Para mostrar que uma conjectura é falsa, basta apresentar um contra- exemplo para a mesma.

9 9 Estratégias de Prova - Direta  A estratégia de prova usada no exemplo anterior é: Prova Direta: Para provar uma asserção da forma x ➝ y, suponha x e prove y [x] ⊢ y {→I} x → y

10 10 Exercícios  Prove que, para todo n ∈ N, se n é impar então 3n+9 é par.  Prove que se a e b são números racionais, então a-b é racional  Prove que se n é par então n 2 é par

11 11 Prova por contrapositivo  Teorema: Para todo n ∈ Z, se n 2 é par, então n é par.  Queremos provar: ∀ n ∈ Z. par(n 2 ) ➝ par(n)  Mais precisamente: ∀ n ∈ Z.( ∃ k ∈ Z.n 2 =2k) ➝ ( ∃ k ∈ Z.n=2k)  Infelizmente, a estratégia de prova direta não nos ajuda neste caso…

12 12 Prova por Contrapositivo Para provar uma asserção x ➝ y, podemos provar a asserção equivalente ¬y ➝ ¬x, ou seja, supomos ¬y e provamos ¬x  Teorema: Para todo n ∈ Z, se n 2 é par, então n é par.  Ao invés de provar par(n 2 ) ➝ par(n), vamos provar o contrapositivo ¬par(n) ➝ ¬par(n 2 ), isto é, impar(n) ➝ impar(n 2 ), ou seja: ( ∃ k ∈ Z.n=2k+1) ➝ ( ∃ k ∈ Z.n 2 =2k+1)

13 13 Prova por contrapositivo  Teorema: Para todo n ∈ Z, se n 2 é par, então n é par. Prova: Por contrapositivo. Seja n ∈ Z arbitrário e suponha n impar, isto é, n=2k+1, para algum k ∈ Z. Então n 2 = (2k+1) (2k+1) = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 +2k) + 1 ou seja, n 2 é impar Portanto, se n 2 é par, então n é par

14 Exercícios  Sejam a,b,c ∈ R e a > b. Prove que, se ac ≤ bc, então c ≤ 0.  Prove que se m e n são inteiros e mn=1, então ou m=1 e n=1, ou m=−1 e n=−1.  Prove que, se x é um número irracional, então √x é um número irracional. 14


Carregar ppt "1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova Direta e Prova por contrapositivo."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google