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A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Na Grécia antiga, entre os anos de 180 a.C. e 125 a.C., viveu Hiparco, um matemático que construiu a primeira.

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2 A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

3 Na Grécia antiga, entre os anos de 180 a.C. e 125 a.C., viveu Hiparco, um matemático que construiu a primeira tabela trigonométrica. Esse trabalho foi muito importante para o desenvolvimento da Astronomia, pois facilitava o cálculo de distâncias inacessíveis, o que lhe valeu o título de PAI DA TRIGONOMETRIA.

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5 Por que usar a Trigonometria?

6 * Seria impossível medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. * Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. * Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

7 ASTROLÁBIOTEODOLITO Um dos mais antigos instrumentos científicos, que teria surgido no século III a.C. A sua invenção é atribuída ao matemático e astrônomo grego Hiparco. Instrumento geodésico, que serve para levantar plantas, medir ângulos reduzidos ao horizonte. ONTEMHOJE

8 USANDO ÂNGULOS PARA MEDIR ALTURAS Com a ajuda de um transferidor e de um canudinho de refrigerante podemos medir o ângulo necessário para calcular alturas como a de um prédio, de uma árvore ou uma torre. Esse ângulo é chamado ÂNGULO DE ELEVAÇÃO.

9 Propriedades do Triângulo Retângulo: 1-Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares. 2-Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.

10 3-Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura é obtida tomando a base como a hipotenusa.

11 altura

12 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

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14 hipotenusa cateto oposto sen = cateto oposto hipotenusa

15 hipotenusa cos = cateto adjacente hipotenusa cateto adjacente

16 tg = cateto oposto cateto adjacente cateto adjacente cateto oposto

17 sen = cateto oposto hipotenusa cos = cateto adjacente hipotenusa tg = cateto oposto cateto adjacente

18 Observe uma pessoa que sobe dois tipos de rampa: Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou tem aclive maior, pois seu ângulo de subida é maior (55º > 30º)

19 Vejamos agora a seguinte situação problema: Sem conhecer os ângulos de subida, como saber qual das duas rampas é mais íngreme? Para situações como essa, que envolvem lados e ângulos de um triângulo retângulos, é que buscaremos soluções a partir de agora.

20 Índice de Subida Para cada ponto P de uma subida, temos uma altura, um percurso e um afastamento. PontoAlturaAfastamento A 1m2m A 1m2m B 2m4m B 2m4m C 4m8m C 4m8m 2m 4m 1m 2m A B C Índice de Subida = Altura. = 1 Afastamento 2 8m 4m

21 Vejamos o problema Inicial: Na 1ª Rampa: índice = 3/4 = 0,75 Na 2ª Rampa: índice = 5/7 = 0,714 Portanto a 1ª Rampa é mais íngreme do que a segunda, pois 0,75 > 0,714

22 TABELA TRIGONOMÉTRICA Ângulosencostg 10, , , , , , , ,998630, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,974370, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,344328

23 Ângulosencostg 300,50, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,629320, , , , , , ,754710, , , , , , , , ,719340, ,

24 A Idéia de Tangente Tangente O índice de subida, em uma rampa, chamaremos de Tangente em um Triângulo Retângulo. Tg x = Cat.Oposto Cat. Adjacente

25 Exercício Um avião levanta vôo e sobe fazendo um ângulo de 15º com a horizontal. A que altura ele estará e qual a distância percorrida quanto sobrevoar uma torre a 2 Km do ponto de partida?

26 tg 15º = CO CA 0,268 = x 2000 x = 536m Altura: Distância:cos 15º = CA H 0,966 = 2000 d d = 2070,39m x d

27 Profº José Marcos


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