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Prof. Rajane G Weber C.A. João XXIII - UFJF. Introdução A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana)

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1 Prof. Rajane G Weber C.A. João XXIII - UFJF

2 Introdução A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

3 Um pouco de História O estudo da geometria espacial pelos povos da mesopotâmia (região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Tigre e Eufrates) é datada desde, aproximadamente, dois mil anos antes de Cristo e todo o conhecimento que temos hoje se baseiam em documentos de denominamos papiros. Dentre os principais podemos citar opapiro de Rhind e o papiro de Moscou.

4 PAPIRO DE MOSCOU

5 PAPIRO DE RHIND

6 Fundamentos O espaço É o marco físico que nos rodeia e em que vivemos. Uma casa, uma poltrona e uma maçã, por exemplo, não são corpos geométricos, mas estão no espaço. Os prismas, as pirâmides, o cilindro e a esfera são corpos geométricos no espaço. Em Geometria, o espaço é um conjunto ilimitado de pontos. Nesse espaço consideram-se três dimensões: comprimento, altura e largura.

7 Entes Primitivos –Aceitos sem definição Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

8 Planos: letras minúsculas do alfabeto grego Plano α (alfa)

9 Espaço: é o conjunto de todos os pontos que estão no plano e fora dele. Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever A B

10 Figuras Coplanares e Colineares PONTOS COPLANARES Os pontos A,B,C estão no mesmo plano PONTOS COLINEARES Os pontos P e Q estão sobre a mesma reta

11 Posições relativas de duas retas Se as retas são Coplanares: Concorrentes Paralelas Distintas Ou

12 Perpendiculares

13 Posições relativas de duas retas Se as retas não são coplanares Reversas Ortogonais

14 Posições relativas de dois planos Coincidentes Concorrentes Ou

15 Verificação 1 AB C D E F GH I J 1)Observando a figura,identifique que ente geométrico se refere : a) A,B,C,D,E,...J b)AB, CD, EF,AI,BJ... c)ABCD, ABIJ 2) Verifique se as retas são paralelas,concorrentes ou reversas: a)EF e CD c) BC e BJ b)EF e AD d) AB e HG Pense Bem!!

16 Verificação 2 Considere a figura e responda com V ou F: AB C D E F G H a)AB//DC b) DC//HG c) EF//FG d) CB e HE são reversas e) CF e HE são reversas f) DB e AC são concorrentes g)AB e EF são coplanares h) DB e HF são coplanares i) A e C são colineares j) H e G são colineares e coplanares

17 Sólidos Geométricos Duas caixas de madeira serão construídas com as formas e medidas indicadas nas figuras. 30cm 50cm 40cm 30cm Em qual delas será usada mais madeira? Qual delas terá o espaço interno maior? Problemas como este serão resolvidos com o estudo dos sólidos geométricos

18 1- POLIEDROS Para saber mais sobre este tipo de sólido geométrico, clique no sólido ao lado.

19 VÍDEO SOBRE POLIEDRO 1 POLIEDROS DE PLATÃO

20 VÍDEOS SOBRE POLIEDROS QUADRADO,CUBO & Cia

21 PRISMAS Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta r secante a esses planos e uma região poligonal convexa A1A2A3...An contida em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a r, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo pertencente a β:

22 ELEMENTOS DO PRISMA bases (polígonos); faces (paralelogramos); arestas das bases (lados das bases); arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases); vértices (pontos de encontro das arestas); altura (distância entre os planos das bases).

23 TIPOS DE PRISMA.As arestas laterais têm o mesmo comprimento.. As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.. As faces laterais são retangulares. Prisma reto

24 TIPOS DE PRISMA As arestas laterais têm o mesmo comprimento. As arestas laterais são oblíquas ao plano da base. As faces laterais não são retangulares. Prisma oblíquo

25 Nomenclatura São nomeados de acordo com o polígono da sua base: PrismaBaseEsboço geométrico Triangulartriângulo Quadrangularquadrado

26 Classificação Pentagonalpentágono Hexagonalhexágono

27 Prisma Regular É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. Exemplo: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero.

28 Paralelepípedo Reto-Retângulo Todo prisma reto cujo polígono das bases são retângulos é chamado de paralelepípedo reto- retângulo.

29 Medida de uma diagonal de um paralelepípedo reto- retângulo Medida de uma diagonal de um paralelepípedo reto- retângulo Consideramos um paralelepípedo reto- retângulo, que tem as dimensões, comprimento, largura e altura, sejam as medidas a, b e c. Sejam d e D as medidas de uma diagonal da base e de uma diagonal do

30 Continuação Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A1A8A6, temos:

31 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A5A8A6, temos:

32 Finalizado: Substituindo (II) em (I), temos:


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