UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ONDAS E LINHAS ELETROMAGNÉTICAS RELAÇÕES.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ONDAS E LINHAS ELETROMAGNÉTICAS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS EM MATERIAS HETEROGÊNEOS, ANISOTRÓPICOS, NÃO-LINEARES E DISPERSIVOS. [AE 1.7.] OLGA LIRA DANTAS DO AMARAL EE

2 CONCEITOS BÁSICOS RELAÇÕES CONSTITUTIVAS são relação entre as variáveis termodinâmicas ou mecânicas de um sistema físico. Geralmente envolvem duas grandezas físicas e são expressas como uma proporcionalidade simples, usando um parâmetro (propriedade do material) como multiplicador. Quando tem-se comportamentos não-lineares ou grandezas descritas por tensores, equações constitutivas mais elaboradas são necessárias. O objetivo delas é construir o elo de ligação entre o estado de tensão e o estado de deformação.

3 CONCEITOS BÁSICOS MATERIAIS HETEROGÊNEOS são todos materiais que não apresentam as mesmas propriedades em toda a sua extensão, a variação da posição afeta propriedades. MATERIAIS ANISOTRÓPICOS têm suas propriedades mecânicas dependentes da direção da solicitação. A anisotropia é uma propriedade inerente da estrutura atômica / molecular do dielétrico e pode ser decorrente de um estado de plastificação do material.

4 CONCEITOS BÁSICOS MATERIAIS NÃO-LINEARES possuem parâmetros dependentes do estado atual de tensão ou deformação. O comportamento não linear implica a não proporcionalidade entre a tensão e a deformação. MATERIAIS DISPERSIVOS são materiais dependentes da freqüência. A dependência de freqüência se dá porque quando um campo elétrico variável ​​no tempo é aplicado, a resposta de polarização do material não pode ser instantânea.

5 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS DE UMA FORMA GERAL
B = μ0H, onde: D= densidade de fluxo elétrico; E= intensidade de campo elétrico; B= densidade de fluxo magnético; H=intensidade de campo magnético; ε0 = × 10−12 farad/m; μ0 = 4π × 10−7 henry/m; Sendo: ε0 = permissividade do vácuo; μ0 = permeabilidade do vácuo;

6 Das duas quantidades ε0 e μ0, podemos definir duas constantes físicas, chamadas, c0 (velocidade da luz)  e η0  (impedância no vácuo): c0 = = 3 × 108 m/sec, η0 = = 377 ohm; A permissividade ε e permeabilidade μ estão relacionados com o tensor susceptibilidade elétrica χ e magnética χm do material da seguinte forma: ε = ε0(1 + χ ); μ = μ0(1 + χm);

7 A susceptibilidade é medida da polarização elétrica e magnética das propriedades do material. Para as densidades de fluxo elétrico e magnético, temos: D = ε E = ε0 (1 + χ)E = ε0E + ε0χE = ε0E + P B = μ0(H + M)= μ0(H + χmH)= μ0(1 + χm)H = μH, Onde:  P = ε0Eχ é a polarização dielétrica do material, que é, o momento de dipolo elétrico médio por unidade de volume; M = χmH é a magnetização, isto é, o momento magnético médio por unidade de volume.

8 A permeabilidade e permissividade relativas e o índice refração de um material, são definidos por:
de modo que n2 =  Podemos relacionar a velocidade da luz e a impedância do material, no vácuo, da seguinte forma: Para um material não magnético, temos  , e a impedância torna-se simplesmente 

9 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS
Em MATERIAIS HETEROGÊNEOS, a permissividade  ε depende da localização r dentro do material: D(r, t)= ε0 (r)E(r, t). Em MATERIAIS ANISOTRÓPICOS, ε depende das direções x, y, z  e as relações constitutivas podem ser escritas na forma de matriz (tensor):

10 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS
Em MATERIAIS NÃO-LINEARES, as relações constitutivas podem depender da magnitude do campo elétrico E, onde ε está em função de E aplicado na fórmula: Efeitos não-lineares são desejáveis ​​em algumas aplicações, tais como vários tipos de efeitos ópticos elétricos usados ​​em moduladores de luz e retardadores de fase para alterar a polarização. A conseqüência típica de não-linearidade é causar a geração de maiores harmônicos, já que o campo elétrico é função seno ou cosseno.

11 Escrevendo E na forma complexa , E =  , substituímos na equação anterior, temos:
A frequência de entrada w é substituída por w, 2w, 3w, e assim por diante. Em um sistema de transmissão de ondas múltiplas, essas não-linearidades causarão o aparecimento de novas frequências. As quais interferem no canal original, efeito chamado crosstalk. A presença de uma não-linearidade cúbica E3 causará o aparecimento de frequências ωi +ωj −ωk, as quais são mais prováveis de serem confundidas com o crosstalk devido ao curto espaçamento das frequências, como exemplo temos as ondas de rádio.

12 Materiais cuja permissividade elétrica ε depende da frequência ε (w) são referidos como MATERIAIS DISPERSIVOS. A dependência de frequência decorre da aplicação de um campo elétrico variável ​​no tempo, nesse caso, a resposta de polarização do material não é instantânea. Podemos ver as relações constitutivas como um sistema, onde E e D são respectivamente, o sinal de entrada e o sinal de saída. O valor de D é então calculado pela convolução de E com ε:

13 que se torna multiplicativa no domínio da frequência:
Todos os materiais são, de fato, dispersivos. No entanto, ε (w)  tipicamente apresenta forte dependência em w apenas para determinadas freqüências.  Uma das principais conseqüências da dispersão material é o espalhamento de pulso, isto é, o progressivo alargamento de um pulso, uma vez que se propaga através de um material. Este efeito limita a taxa de dados em que pulsos podem ser transmitidos.

14 Existem materiais que são não-lineares e dispersivos ao mesmo tempo, eles suportam certos tipos de ondas não-lineares,  chamadas sólitons, na qual o efeito de propagação de dispersão é exatamente cancelado pela não- linearidade. As densidades ρ, J representam densidade de carga livres e de corrente num meio material. A polarização induzida P e a magnetização M podem ser feitas usando as relações constitutivas e depois explicitando-as nas equações de Maxwell: D = -ε0E B = μ0H

15 Identificamos as densidades de corrente e a de carga, devido à polarização do material como:
Da mesma forma, a quantidade Jmag=∇ ×M pode ser identificada como densidade de corrente de magnetização (ρmag = 0). A corrente total e densidade de carga são:

16 Meio com Índice Negativo
As equações de Maxwell não excluem a possibilidade de um ou de ambos índices ε, μ serem negativos.  Meios com índices negativos, tem ε e μ simultaneamente negativos, ε <0 e μ <0.  Veselago foi o primeiro a estudar essas propriedades eletromagnéticas não usuais, como os materiais com um índice de refração negativo, as inversões do Efeito Doppler e da lei de Snel. As propriedades do novo material e suas aplicações têm gerado um grande interesse de pesquisa. Em 2006, pesquisadores do Imperial College, provaram que é possível sintetizar materiais que apresentem índices de refração negativos.

17 Receberam o nome de "metamateriais”
Receberam o nome de "metamateriais”. A palavra metamaterial designa materiais que possuem propriedades não naturais. Eles foram  fabricados em laboratórios e são construídos por matrizes periódica de fios e anéis ressonadores divididos e por elementos de linha de transmissão. As propriedades ópticas dos metamateriais atuam no caminho das ondas eletromagnéticas que os atravessam. Essa tecnologia depende diretamente do desenvolvimento da nanotecnologia cada vez mais sofisticada. Objetos revestidos de cobertura metamaterial poderiam se tornar invisíveis, por essa razão essas pesquisas tem recebido grande incentivo governamental.

18 Referência S. J. Orfanidis, Electromagnetic Waves and Antennas, Piscataway, NJ: Rutgers University, 2010. M. O. Sadiku, Elements of Electromagnetics, 5th Ed.,       New York, NY: Oxford University Press, 2009.