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UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Conceitos Básicos.

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Apresentação em tema: "UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Conceitos Básicos."— Transcrição da apresentação:

1 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Conceitos Básicos

2 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Algumas classes especiais de grafo

3 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Hipergrafo Um hipergrafo simples H = (V, P(V) – Ø) é formado por arestas definidas como subconjuntos de V

4 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Digrafo Grafo direcionado ou digrafo possui arestas direcionadas. a e b c d fonte sumidouro

5 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafos Regulares k - Regular: v V, d(v) = k a e b c d 2 - regular d c a b 3 - regular

6 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo altamente irregular Um grafo é altamente irregular se cada um de seus vértices é adjacente a vértices de graus diferentes entre si. d c a b e f

7 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo Nulo ou Trivial Um grafo G = (V,E) é dito nulo se V Ø e E = Ø –Um grafo deve ter pelo menos um vértice. a e b c d

8 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo rotulado ou valorado Rotulado ou valorado em vértices ou arestas: a cada vértice ou a cada aresta é atribuído um rótulo. d c a b

9 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo Completo completo: existe uma aresta ligando cada par de vértices. K1K1 K2K2 K3K3 K4K4

10 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo k-partido k – partido: existe uma partição P = {Y i | i = 1,..., k, Y i Y j = Ø, i j} do seu conjunto de vértices, tal que não existam ligações entre elementos de um mesmo Y i X Y X YZ bipartido 3 - partido

11 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo Bipartido Completo é um grafo bipartido com bipartição (X, Y) em que cada vértice de X é adjacente a cada vértice de Y. –Se |X|=p e |Y|=q, então denotamos tal grafo por K p,q q

12 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo Complementar Seja G um grafo. O grafo complementar G é o grafo que contém as ligações que não estão em G. a b c d G a b c d G

13 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Subgrafos

14 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H G) se V(H) V(G) e E(H) E(G) Quando H G e H G, denotamos H G e dizemos que H é subgrafo próprio de G Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H Um subgrafo gerador de G é um subgrafo H com V(H) = V(G)

15 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Subgrafo Induzido (por vértice) Seja V´ um subconjunto não vazio de V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V'. G[V]: é um subgrafo induzido de G por V´.

16 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Subgrafo induzido (por aresta) Seja E´um subconjunto não vazio de arestas de E. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é o conjunto dos extremos das arestas em E´ é chamado de subgrafo de G induzido por arestas

17 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos G[V\V´] denotado por G-V É o subgrafo obtido a partir de G pela remoção dos vértices em V´ e suas arestas incidentes Se V´={v}, escrevemos G-v ao invés de G-{v}

18 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos G – E' e G + E' G-E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´ G+E´: grafo obtido a partir de G adicionando um conjunto de arestas E´

19 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo u v y wx ea b c d f g h

20 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo u v y wx ea b c d f g h Um subgrafo gerador de G

21 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo u v y wx ea b c d f g h Um subgrafo gerador de G u y wx e b c d g v

22 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo G – {u} u v y wx ea b c d f g h

23 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo G – {u} wx b c d f g h y v u v y wx ea b c d f g h

24 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo u v y wx ea b c d f g h G – {u,w}

25 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo u v y wx ea b c d f g h G – {u,w} d f g h y x v

26 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo G-{a, b, f} u y x ea c d f g h v w b

27 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo G-{a, b, f} y x e c d f g h v w u b

28 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo G-{a, b, f} y x e c d f g h v w u

29 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo G-{a, b, f} y x e c d g h v w u

30 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u v y wx ea b c d f g h

31 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u v y wx ea b c d f g h u v x

32 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u v y wx ea b c d f g h u v x

33 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u v y wx ea b c d f g h

34 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u v y wx ea b c d f g h u y ea d g x v

35 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Subgrafos Disjuntos Sejam G 1, G 2 G G 1 e G 2 são disjuntos (em vértices) se V(G 1 ) V(G 2 ) =

36 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Subgrafos Disjuntos em aresta Sejam G 1, G 2 G G 1 e G 2 são disjuntos em aresta se E(G 1 ) E(G 2 ) =

37 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Clique Subgrafo de um grafo G, que é completo

38 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Relações de Adjacência

39 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Vizinhança de um vértice Vizinho de um vértice x em um grafo G é todo vértice y que é extremo de uma ligação ou aresta incidente a x. Conjunto de vizinhos de x: (x) A informação contida nos conjuntos de vizinhos corresponde à contida no conjunto de ligações. Assim, G = (V, ) corresponde à definição de listas de adjacência.

40 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Incidência de um conjunto O conjunto de arestas incidentes em A V: Inc(A) –Uma aresta incide em A V se os seus vértices extremos não estão simultaneamente em A A = {2,4,5} Inc(A) = {{1,2}, {3,4}}

41 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo Simétrico Seja G = (V,E): (i,j) E (j,i) E, i,j V Ana Bia Carla Aresta: i é irmã de j

42 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Grafo Anti-simétrico Seja G = (V,E): (i,j) E (j,i) E Essa característica não se aplica a grafos não orientados

43 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Isomorfismo entre Grafos Um isomorfismo entre dois grafos é uma bijeção f de V(G) em V(H) tal que {u,v} E(G) {f(u),f(v)} E(H) É possível alterar o nome dos vértices de um deles de forma que fiquem iguais.

44 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo: G H ? v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v5v5 u v x w y G H

45 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo: G H ? v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v5v5 u v x w y G H Para mostrar que dois grafos são isomorfos, devemos indicar um isomorfismo entre eles.

46 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Isomorfismo de subgrafos Dados dois grafos G 1 = (V 1, E 1 ) e G 2 = (V 2, E 2 ), diz-se que G 1 contém um subgrafo isomorfo a G 2 sss existem um subconjunto V V 1 e um subconjunto E E 1 tal que |V| = |V 2 | e |E| = |E 2 | e uma função biunívoca f: V 2 V tal que {u,v} E 2 sss {f(u), f(v)} E

47 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exemplo ab c d e f G1G G2G2 ab c d e f G1G G2G

48 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Exercícios

49 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Os turistas John, Leuzinger, Dufois e Medeiros se encontram em um bar em Paris e começam a conversar. As línguas disponíveis são o inglês, o francês, o português e o alemão. John fala todas as línguas, Leuzinger não fala o português, Dufois fala francês e alemão e Medeiros fala inglês e português. – a) Represente por meio de um grafo todas as possibilidades de um deles dirigir-se a outro, sendo compreendido – b) Represente por meio de um hipergrafo H = (V,W) as capacidades linguísticas do grupo. Qual é o significado das interseções W i W j, onde W k W?

50 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Mostre que existe 10 grafos não triviais com 4 vértices Mostre que não existem grafos k-regulares com k ímpar que possuam um número ímpar de vértices Mostre que não existem grafos de 10 vértices e 24 arestas com d(v) {1,5} v de V.

51 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos Forneça um subgrafo um subgrafo induzido um subgrafo induzido por arestas G – {d} um conjunto independente de arestas G – {e1, e5, e8} uma clique os vizinhos de d subgrafos disjuntos o complementar de G a b c d f e g e 10 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9

52 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos São isomorfos?

53 UFES CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos O número de pessoas que estão em uma festa, que conhecem um número ímpar de pessoas na festa, deve ser par? Descreva o grafo que representa a situação a seguir ou mostre ser impossível descrevê-lo: cada um de 102 estudantes serão associados a 1 de 35 computadores e cada um dos 35 computadores serão usados exatamente por 1 ou 3 estudantes.


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