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1 Para baixar essa aula, acesse:

2 Binômio de Newton Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e astronomia. Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton.

3 3.1- Definição Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b) n, sendo n um número natural, que é chamado de ordem do binômio. Expansão de alguns Binômios: (a + b) 0 = (a + b) 1 = (a + b) 2 = (a + b) 3 = (a + b) 4 = 1 1.a + 1.b 1.a2 + 2.a.b + 1.b2 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4 (a + b) 5 = 1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5 (a + b) 6 = 1.a6 + 6.a5.b + 15.a4.b a3.b a2.b4 + 6.a.b5 + 1.b6 Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

4 Para expandir uma equação binomial, pode-se seguir os passos: 01. Todos os membros terão o termo a e, também, o b. (Ou seja, deve existir o termo a.b em todos os termos). (Ou seja, deve existir o termo a.b em todos os termos). 02. No primeiro termo atribui-se ao expoente de a o valor n e ao expoente de b o valor 0. A seguir diminui-se de 1 o valor do expoente de a e aumenta-se de 1 o valor do expoente de b. Continua-se até o último termo que deve ter o valor 0 no expoente de a e o valor n no expoente de b. 03. A soma dos expoentes de cada termo deve ser igual ao expoente do binômio. 04. Os valores numéricos em cada termo, são chamados de coeficientes binomiais, e são retirados do TRIÂNGULO DE PASCAL Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

5 3.2- Triângulo de Pascal Linha 0 Linha 1 Linha 9 Linha 2 Linha 8 Linha 3 Linha 4 Linha 5 Linha 6 Linha Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

6 3.3- Fatorial O Fatorial de um número natural n (n!), é o produto de todos os números naturais decrescentes de n até 1. Exemplos: 1! = 1 n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ! = 2. 1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 6! = = 720 Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

7 3.4- Termo Geral do Binômio Um termo genérico do desenvolvimento de (a+b) n, sendo p um número natural, é dado por: Onde: é denominado Número Binomial Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

8 3.5- Exemplos Qual é o termo em x 5 no desenvolvimento de (x + 3) 8 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

9 3.5- Exemplos Qual é o desenvolvimento de (2x + 1) 5 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

10 3.5- Exemplos Qual é o 8º termo no desenvolvimento de (3x 3 + 2x) 12 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

11 3.5- Exemplos Qual é o valor, caso exista, termo independente de x no desenvolvimento de (x + 3x 4 ) 7 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

12 3.5- Exemplos Qual é o termo médio no desenvolvimento de (3/x + 2x 2 ) 8 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

13 3.5- Exemplos Qual é a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (x/2 + 3y) 3 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

14 3.5- Exemplos Qual é, caso exista, o termo em x 5 no desenvolvimento de (2x 3 + 3/x 2 ) 4 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA

15 3.5- Exemplos Qual é o último termo no desenvolvimento de (2xy – 3x) 8 ? Binômio de Newton Prof. Junior – COLÉGIO CONTEC– VILA VELHA


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