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ORIGEM Estão freqüentemente no nosso cotidiano. Tratam de decisões sobre onde encontrar facilidades em uma rede, considerando a demanda, visando otimizar.

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2 ORIGEM Estão freqüentemente no nosso cotidiano. Tratam de decisões sobre onde encontrar facilidades em uma rede, considerando a demanda, visando otimizar determinado critério. Esse problema começou a ser estudado por Alfred Weber em Weber seguiu a linha de pesquisa sobre a seleção de locais de facilidade tendo como objetivo minimizar os custos sobre transporte e a distância.

3 APLICAÇÕES Esses problemas tratam da questão de onde localizar uma facilidade e podem ser aplicados para tomar decisões em situações como: Onde construir escolas, hospitais, fábricas. Como posicionar policiais nas ruas, de modo que atenda à maioria da população. Também é usado na hora de instalar uma antena de telefonia celular.

4 TRABALHOS RELACIONADOS Geomarketing: Modelos e Sistemas, com Aplicações em Telefonia. Paulo Sérgio Sampaio de Aragão - Tese de Mestrado Universidade Estadual de Campinas. Distribuição de gás natural no Brasil: Um enfoque crítico de minimização de custos. Eduardo Rocha Praça – Tese de Mestrado Universidade Federal do Ceará.

5 MODELOS MATEMÁTICOS Formulação matemática do problema de máxima cobertura: Church e Revelle (1974) apresentaram a formulação matemática deste problema. A fomulação é a que se segue:

6 Problema de localização de máxima cobertura Consiste em escolher locais para instalar facilidades de forma que o maior número de clientes (pontos de demanda) sejam cobertos, e saber qual cliente será atendido por qual facilidade. O PLMC procura cobrir áreas de demanda. Não faz restrição de capacidade. Não exige que todas as áreas de demanda sejam cobertas.

7 Problema de localização de máxima cobertura

8 v(PLMC) = Max Di yi (1) i E N sujeito a xj yi para todo i E N(2) jENi xj = p(3) j EM xj E {0, 1}, para todo j E M, (4) yi E {0, 1}, para todo i E N(5)

9 Problema de localização de máxima cobertura Onde: S : distância de serviço - a área de demanda é coberta se está dentro desta distância; N = {1, 2,..., n} : conjunto de pontos de demanda; M = {1, 2,..., n} : conjunto de poss´ıveis facilidades; Di : a demanda de população da área i; p : número de facilidades a serem localizadas; dij= a menor distância do nó i ao nó j; Ni = {j E J | dij S}; yi recebe 1 se a área de demanda é coberta, caso contrário recebe 0 xj recebe 1 se a facilidade deve ser localizada em j, caso contrário recebe 0

10 Problema de localização de máxima cobertura Nesse Modelo acima descrito, a função objetivo (1) procura maximizar a população coberta. A restrição(2) diz que a área de demanda j E J é coberta e se há pelo menos uma facilidade dentro da distância S. A restrição (3) limita o número de facilidades a p. E as restrições (4) e (5) definem as variáveis de decisão a {0,1}.

11 Algoritmo HLA p/ PLMC Heurística aplicada ao PLMC (HLA)

12 Algoritmo HLA p/ PLMC Dados J conjunto dos vértices facilidades = {j1,..., jp} e Ck conjunto de vértices do agrupamento k = {v1,...v|Ck|} | Ck | cardinalidade de Ck Enquanto (solução-inicial melhora) faça Para k = 1,..., p Para i = 1,..., | Ck | Troque facilidade jk por um vértice vi; Calcule o valor sol correspondente ao novo valor de cobertura; Se sol é melhor que solução inicial então ¸ Faça melhor vértice vi; Faça solução-inicial sol; Fim Se; Fim Para; Se houver melhor vértice então; Atualize J; Fim Se; Fim Para; Fim Enquanto;

13 Algoritmo HLA p/ PLMC

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16 Modelo matemático para o Problema das P-medianas O problema das p-medianas pode ser formulado como um problema de programação inteira binária. Dado um grafo descrevendo uma dada instância, obtida através da aplicação do algoritmo de Floyd (Beasley, 1993) e um conjunto resultante de vértices. N = {1,..., n} podemos descrevê-lo da seguinte maneira:

17 Modelo matemático para o Problema das P-medianas v(PM) = Min dijXij(1) iEN jEN sujeito a Xij = 1; i E N(2) jEN Xjj = p(3) jEN Xij Xii i, j E N (4) Xij E {0, 1}, i E N, j E N (5)

18 Modelo matemático para o Problema das P-medianas Onde: N = {1,...,n} é o índice dos objetos a serem alocados; p : número de medianas; [dij ] é a matriz de distâncias; Xij recebe 1 se o vértice i é atribuído ao vértice j, caso contrato yij recebe 0.

19 Modelo matemático para o Problema das P-medianas Nesse modelo as restrições 2 e 4 vértice j seja atribuído somente a um vértice i, que deve ser uma mediana. A restrição 3 assegura o número exato de medianas a serem localizadas e a restrição 5 indica a condição binária de atribuições.

20 Trabalho Prático - 1 Função Objetiva: Minimizar a distância entre os vértices e as Medianas. Escolha da Mediana.

21 Modelo matemático para o Problema das P-medianas


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