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O FICINAS DE T RIGONOMETRIA PARA PROFESSORES DAS E SCOLAS P RIORITÁRIAS Diretoria de Ensino da Região de Jacareí 30 de agosto de 2012.

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1 O FICINAS DE T RIGONOMETRIA PARA PROFESSORES DAS E SCOLAS P RIORITÁRIAS Diretoria de Ensino da Região de Jacareí 30 de agosto de 2012

2 J USTIFICATIVA DO E NCONTRO Numa sociedade como a atual, regida e comandada pela informação, colocam-se a escola e ao ensino aprendizagem da Matemática desafios exigências de mudança. Consequentemente, há necessidade de proceder a alterações no processo de ensino no que respeita à mudança dos seus objetivos, estratégias e tarefas a propor aos alunos em situação escolar, torna-se fundamental que se valorizem modos dinâmicos de aquisição do conhecimento matemático. O reconhecimento e a generalização de conceitos constituem aptidão cada vez mais exigida dos alunos e docentes do mundo atual, sendo imprescindíveis para o estudo de uma realidade cada vez mais complexa.

3 J USTIFICATIVA DO E NCONTRO Para o ensino da Matemática, pode-se imaginar que essas novas exigências não deveriam, trazer maiores transtornos, uma vez que o processo definição/generalização é inerente ao modo de pensar matemático. A reutilização, por sua vez, é ferramenta utilizada rotineiramente na resolução de problemas. É difícil imaginar um problema absolutamente novo, sem qualquer semelhança ou relação com qualquer outro que já haja sido resolvido. (Polya) Entretanto, a experiência da generalização é essencial no aprendizado da matemática, muitos alunos apresentam sérias deficiências para generalizar e reconhecer um objeto matemático. São inúmeros os alunos concludentes do Ensino Médio que não conseguem reconhecer características comuns entre figuras geométricas, ou entre números naturais, inteiros ou racionais.

4 O BJETIVO DO E NCONTRO Sugestão de atividades visando a integração do aluno com a trigonometria. A maioria dos livros didáticos e o próprio Currículo Oficial da SEE aponta como objetivo a trigonometria no triângulo retângulo, como uma aplicação prática de calcular distâncias inacessíveis. A falta do reconhecimento da conteúdo/tema como uma atividade presente em nosso cotidiano desistimula o aprendizado. Esta oficina visa mostrar ao estudante que há trigonometria em nosso cotidiano, e que quase nunca, nos fatos reais, usamos os arcos notáveis. Portanto, se faz necessário para o aluno, a interpretação de tabelas trigonométricas, que são sempre esquecidas e as vezes nem mesmo mencionadas em sala de aula. E o problema básico, e que estará sempre presente em todas as situações é o da resolução de um triângulo.

5 O BJETIVO DO E NCONTRO Partindo desta premissa, nesta oficina vamos abordar a parte inicial da trajetória proposta no Currículo Oficial e trabalhar algumas atividades que podem auxiliar o professor no trabalho em sala de aula. Dividimos as atividades em duas partes. A primeira etapa se faz a partir da apresentação do Teorema de Pitágoras, visando desenvolver no aluno raciocínio lógico. O triângulo e sua conceituação já fazem parte do aprendizado do aluno, desde séries anteriores. Portanto sugerimos o processo de investigação. Nesta etapa, o aluno é estimulado a experimentar a sua própria experiência matemática, discutindo e formulando conceitos. Na segunda etapa, damos ênfase direta a trigonometria no triângulo retângulo. Nesta fase o aluno relaciona os conceitos trigonométricos com um fato real. Faz a interpretação visual, correlacionando o texto com a figura e calcula o ângulo com auxílio da calculadora. E, finalmente, interpreta a tabela trigonométrica.

6 O FICINAS A TIVIDADES

7 TRIÂNGULO DE PITÁGORAS Pitágoras, matemático, filósofo, profeta nasceu na ilha de Samos, na Grécia, no século VI a.C. Existem muitos pontos obscuros sobre a sua história, mas, segundo alguns relatam, ele teria viajado pelo Egito e Babilônia, período durante o qual assimilou informações sobre Matemática e Astronomia, juntamente com várias ideias religiosas. Após retornar à Grécia fundou a Escola Pitagórica. É atribuída a ele a elaboração da primeira demonstração geral de uma propriedade muito especial presente num tipo de triângulos também especiais: o triângulo retângulo, que contém um ângulo de 90º. A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

8 A TIVIDADE 1 a) Construa um triângulo retângulo de com essas medidas 3 cm, 4cm e 5cm; b) Será que o ângulo é reto porque os números são consecutivos? Experimente construir um triângulo com lados 6cm, 7cm e 8cm; c) Você conseguiu construir um triângulo retângulo ou seja, um triângulo com um de seus ângulos retos? Justifique. Na Grécia antiga havia um grupo de pensadores, liderados por Pitágoras que gostava de procurar números em tudo. Eles chegaram a seguinte conclusão: O ângulo reto do Triângulo tem a ver com o Teorema de Pitágoras.

9 SEM DÚVIDA, O TEOREMA DE PITÁGORAS É UM DOS MAIS FAMOSOS DA GEOMETRIA. NO DECORRER DOS SÉCULOS SURGIRAM MUITAS DEMONSTRAÇÕES DESSE TEOREMA. POR VOLTA DO ANO 300 A.C., EUCLIDES, MATEMÁTICO GREGO, USOU ÁREAS DE QUADRADOS EM SUAS DEMONSTRAÇÕES. A MANEIRA TRADICIONAL DE APRESENTAR ESTE TEOREMA É SOB UMA ÓTICA ALGÉBRICA. NESTE PEQUENO ESTUDO TENTAREMOS, PARA FACILITAR A COMPREENSÃO, APRESENTAR TAMBÉM UMA DEMONSTRAÇÃO BASEADA NO CONCEITO DE ÁREAS. ENTÃO, PODEMOS REPRESENTAR ESTE TEOREMA COM A SEGUINTE EXPRESSÃO ALGÉBRICA: VEJAMOS UMA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA, COM OS RESPECTIVOS NOMES DE CADA LADO DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO.

10 COMO VEMOS NAS FIGURAS ACIMA, CATETOS SÃO OS DOIS LADOS (LADOS MENORES DO TRIÂNGULO) QUE FORMA UM ÂNGULO DE 90º, ENQUANTO A HIPOTENUSA (LADO MAIOR) É O LADO OPOSTO A ESSE MESMO ÂNGULO, E QUE LIGA AS DUAS EXTREMIDADES DOS CATETOS. ACIMA, FIZEMOS UMA ÁREA QUADRADA DE CADA UM DOS LADOS DO TRIÂNGULO. AO FORMARMOS UM QUADRADO (QUATRO LADOS IGUAIS), E SUBDIVIDI-LO EM QUADRADOS COM 1 CM, ENTÃO PODEMOS PERCEBER QUE, AO SOMARMOS O RESULTADO DO QUADRADO DO CATETO B, 9, COM O RESULTADO DO CATETO C, 16, ENCONTRAMOS 25, QUE É EXATAMENTE IGUAL AO QUADRADO DA HIPOTENUSA. TAL EQUAÇÃO PODE SER REPRESENTADA POR: 5²= 3²+ 4², OU SEJA, 25= 9+16.

11 A TIVIDADE 2 a) Construa na malha quadriculada um triângulo retângulo formado pela hipotenusa (a) que mede 10 cm, um cateto (b) que mede 8 cm e um cateto (c) que mede 6 cm; b) Construa, também na malha, quadrados que representem as áreas de cada cateto b e c e da hipotenusa a. (em anexo) c) Recorte os 3 quadrados que representam as áreas formadas (a, b, c) e sobre o quadrado de maior área, cole os outros dois de forma que preencha toda a figura. Responda: O que o quadrado maior representa no triângulo construído no item a)? E os outros quadrados? d) Construa outro triângulo retângulo com as medidas dos catetos e da hipotenusa escolhidas por você. Repita os procedimentos dos itens b) e c). As conclusões que você chegou foram as mesmas? Justifique.

12 A TIVIDADE 3 Complete a tabela, colocando o valor correto nos espaços vazios: abca² = b² + c² =

13 A TIVIDADE 4 Interessante porque aborda o Pergaminho de Chou Pei e o O livro de Chui Chang. Um bambu de comprimento 16 é colocado em pé e quebrado a 6 unidades de altura. Sua ponta tocará o chão a que distância? Resposta: ___________________________________

14 A TIVIDADE 5 Aplicação do Teorema de Pitágoras. O teorema no quadrado: Corte dois pedaços de papel com forma quadrada de mesma medida de lado. Dobre um deles ao meio formando dois triângulos e faça uma dobra formando uma diagonal. (papel quadriculado em anexo) a) Que tipo de figura era o contorno do papel que você cortou? Cole abaixo. b) Coloque o papel dobrado sobre o outro, a sobra formou outro triângulo. Que tipo de triângulo você obteve? c) Com a letra representando a medida de um lado do quadrado e d, a medida da diagonal, você consegue um fórmula para a medida d. Que fórmula é essa?

15 AO COLOCAR O PAPEL QUE DOBROU SOBRE O OUTRO, VOCÊ FORMOU DOIS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS. SE VOCÊ ENCONTROU ALGUMA FÓRMULA, CONFIRA COM ESTA, QUE FOI OBTIDA APLICANDO-SE O TEOREMA DE PITÁGORAS: LOGO: SE O LADO DE UM QUADRADO MEDE 10 CM ENTÃO A DIAGONAL DESSE QUADRADO MEDIRÁ: D) USE AS MEDIDAS DO LADO DO QUADRADO QUE VOCÊ FORMOU E CALCULE A MEDIDA DA SUA DIAGONAL. RESPOSTA: ___________________________________

16 A TIVIDADE 6 O Teorema no Triângulo Equilátero. a) Desenhe um triângulo equilátero (todos os lados deverão ter a mesma medida). Recorte-o e dobre-o ao meio. Que tipo de figura você obteve? (papel quadriculado em anexo). b) Em relação a um dos lados do triângulo equilátero, o que representa a dobra que você fez? Se a letra representa a medida de um lado desse triângulo e h, a medida da altura em relação a esse lado, será possível escrever uma fórmula para a altura em função de. Que fórmula é essa? Resposta: ___________________________________

17 VOCÊ OBTEVE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO E A DOBRA QUE FEZ REPRESENTA A ALTURA, A BISSETRIZ E A MEDIANA RELATIVA A UM DOS LADOS DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO. CONFIRA COM A FÓRMULA QUE VOCÊ OBTEVE QUE RESULTOU DA APLICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS NO AHC. ASSIM SE O LADO DE UM TRIÂNGULO MEDE 9 CM, A ALTURA DESSE TRIÂNGULO MEDIRÁ: C) CALCULE A ALTURA DO TRIÂNGULO QUE VOCÊ DESENHOU: _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________

18 A TIVIDADE 7 Aborda o Uso da Tecnologia (a calculadora como ferramenta); a Origem das Palavras ( a História da Matemática como recurso) e Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo ( Torre de Pisa). Atividades em Anexos.

19 CONCLUSÕES Como importante veículo para introduzir conceitos e ideias matemáticas e aprofundar os conteúdos já lecionados em aulas anteriores, torna-se fundamental que o professor proponha aos seus alunos situações que permitam explorar e descobrir a Matemática. Aprender é reconstruir com base na experiência, reconvertendo a informação num bem intelectual (Dewey, 1897), o que leva a reflexão sobre a experiência que desempenha um papel preponderante na educação do indivíduo.

20 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Iracema e Dulce, Matemática na Vida & na Escola – 8ª série, Editora Saraiva; 2. Paiva, Manoel – matemática 1ª Série – Editora Moderna; 3. Bianchini, Edwaldo e Paccola, Herval – Matemática I – Editora moderna. 4. Currículo Oficial do Estado de São Paulo – Ensino Fundamental e Ensino Médio. Sites:


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